数形结合巧解不等式与方程问题
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数形结合巧解不等式与方程问题
题型一 数形结合解决方程的根的个数问题
1.对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关
于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
解析 由定义可知，f(x)＝作出函数f(x)的图象，
如图所示．由图可知，当0
令解得x＝. ∴ 2.已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2， 则方程f(x)＝lg x解的个数是 ( ) A．5 B．7 C．9 D．10 .答案 C解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lg x，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点． 题型二 数形结合解不等式问题 3. 已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 答案 D解析 函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立． ②当a>0时，只需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立． ③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2. 综上所述：－2≤a≤0.故选D. 4.已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围 是________． 答案 (0,1)∪(1,4)解析 根据绝对值的意义， y＝＝在直角坐标系中作出该函数的图象，如 图中实线所示．根据图象可知，当0 5.设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，则实数a的取值范围为________________. .解 f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1， 变形得≤x＋1－a， 令y＝， ① y＝x＋1－a. ①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)， 即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为，纵截距为1－a的平行直线系． 设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：y＝x＋b(b＞0)， 则圆心(－2,0)到AT的距离为d＝， 由＝2得，b＝6或－(舍去)． ∴当1－a≥6即a≤－5时，f(x)≤g(x)．
