新安中学2020-2021学年度(上)高二年级期末考试数学试卷(理科普通) (时间:120分钟 满分:150分)一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知点(1,2)P ,(3,0)Q ,则线段PQ 的中点为( ) A. (4,2) B. (2,1) C. (2,4) D. (1,2) B利用中点坐标公式直接求解出PQ 的中点的坐标. 因为点(1,2)P ,(3,0)Q ,所以PQ 的中点的横坐标为1322+=,纵坐标为2012+=,所以线段PQ 的中点为(2,1),故本题选B.本题考查了中点坐标公式,熟记中点坐标公式是解题的关键.2. 已知直线的倾斜角为45,在y 轴上的截距为2,则此直线方程为( ) A. 2y x =-- B. 2y x =- C. 2y x =-+ D. 2y x =+D由题意可得直线的斜率和截距,由斜截式可得答案.解:∵直线的倾斜角为45°,∴直线的斜率为k =tan45°=1, 由斜截式可得方程为:y =x +2,故选D . 本题考查直线的斜截式方程,属基础题.3. 若直线20x y a -+=始终平分圆22440x y x y +-+=的周长,则a 的值为( ) A. 4 B. 6 C. -6 D. -2C利用圆的性质可得直线平分圆的周长,必经过圆心,根据圆的一般方程的到圆心坐标,代入直线方程求得a 的值.圆22440x y x y +-+=的圆心坐标为()2,2-, 直线平分圆的周长,必经过圆心,∴点()2,2-在直线20x y a -+=上,420,6a a ∴++==-,故选:C.根据圆的一般方程求圆心坐标,220dx x y ey f ++++=22(40)d e f +->的圆心坐标为,22d e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 4. 命题“0x R ∃∈,320010x x -+>”的否定是( ) A. x R ∀∈,3210x x -+≤ B. x R ∀∈,3210x x -+> C. 0x R ∃∈,320010x x -+≤ D. 不存在0x R ∈,320010x x -+≤A根据特称命题的否定,直接得出结果.命题“0x R ∃∈,320010x x -+>”的否定是“x R ∀∈,3210x x -+≤”.故选:A.本题主要考查特称命题的否定,属于基础题型.5. 已知直线l :10x y -+=与圆C :224210x y x y +--+=交于A 、B 两点,则||AB =( )A. 2B.C. 4D. B由圆的方程可得圆心坐标和半径,根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离,根据勾股定理可求得答案.∵圆C 的圆心(2,1)C ,半径为2,圆心C 到直线l :10x y -+=的距离为d ==∴||AB == B.6. 若直线(1)2m x y m +++=与直线42180x my m +++=平行,则实数m 的值等于( ) A. 1 B. 2- C. 1或2- D. 1-或2-A利用两直线平行斜率相等且截距不相等或斜率都不存在即可求解. 直线(1)2m x y m +++=的斜率为()11k m =-+,斜率存在, 直线42180x my m +++=的斜率为:242k m=-, 若两直线平行则()412m m-+=-,即220m m +-=,解得:2m =-或1m =,当2m =-时两直线重合,所以1m =,故选:A7. 已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是( )A. 221167x y +=B. 221167x y +=或221716x y +=C. 2251162x y +=D. 2251162x y +=或2212516x y +=B由题可求出,a b ,讨论焦点位置写出椭圆方程. 因为34,4a e ==,所以c =3, 所以b 2=a 2-c 2=16-9=7. 因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是221167x y +=或221716x y +=.故选:B. 8. 已知椭圆22194x y +=的左右焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上的点,且12=PF ,则2PF =( )A. 1B. 2C. 3D. 4D利用椭圆的定义,由122PF PF a +=即可求解.由椭圆22194x y +=,则3a =, 所以1226PF PF a +==, 所以2624PF =-=.故选:D9. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率是2,则其渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x =C. 20x y ±=D. 20x y ±=A利用离心率求得ba,由此求得渐近线方程.依题意2,c ba a ===y =0y ±=.故选:A 本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法,属于基础题.10. 命题p :“35m <<”是命题q :“曲线22135x y m m+=--表示椭圆”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件C根据椭圆的标准方程,满足305035m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩,求出m 的取值范围,再利用充分条件、必要条件的定义即可求解.曲线22135x y m m+=--表示椭圆, 可得305035m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩,解得35m <<且4m ≠,所以35m <<不能推出35m <<且4m ≠,反之则成立,所以“35m <<”是命题q :“曲线22135x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件.故选:C 11. 已知椭圆2219x y +=的两个焦点分别为1F ,2F ,点P 在椭圆上且120PF PF ⋅=,则12PF F △的面积是( ) A. 12B.C.D. 1D求出两个焦点1F ,2F 的坐标,12Rt PF F 中,由勾股定理及椭圆的定义得1232PF PF =,从而求得12PF F △的面积1212PF PF 的值. 由题意可得:3a =,1b =,c =所以()1F -,()1F ,12Rt PF F 中,由勾股定理可得:()222212121242c PF PF PF PF PF PF =+=+-,所以2212442c a PF PF =-,所以(22124432PF PF ⨯=⨯-,所以122PF PF =, 所以12PF F △的面积是12112122PF PF =⨯=,故选:D 关键点点睛:本题关键点是利用120PF PF ⋅=得12PF PF ⊥,再利用勾股定理及椭圆的定义,()222212121242c PF PF PF PF PF PF =+=+-,122PF PF a +=,求出1232PF PF =,即可求出面积.12. 已知1F ,2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点,A 是椭圆C 的右顶点,离心率e为12.过1F 的直线l 上存在点P ,使得PA x ⊥轴,且12ΔF F P 是等腰三角形,则直线l 的斜率()0k k >为( ).A. B.12C.D. C【分析】通过离心率可得2a c =,再利用几何关系可得(2)P c ,从而可得斜率. 根据题意可得12c e a ==,得2a c =, 由12F F P 可得212||=||F P F F (因为12F F P ∠显然为钝角). 所以2||=2|F P c ,又2=2||a c c F c A c -=-=.所以||PA ==. 所以(2)P c , 所以23k c c ==+.故选:C.二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.)13. 直线1:260l x by --=与直线2:0l x y a ++=的交点为()2,2,则a b +=________.5-(2,2)为直线1l 和直线2l 的交点,即点(2,2)在两条直线上,分别代入直线方程,即可求出a ,b 的值,进而得a+b 的值.因为直线1:260l x by --=与直线2:0l x y a ++=的交点为()2,2,所以220a ++=,22260b ⨯--=,即4a =-,1b =-,故5a b +=-. 本题考查求直线方程中的参数,属于基础题.14. 若双曲线223x y m -=的虚轴长为2,则实数m 的值为__________.3-或1分别讨论0m >,0m <两种情况,根据双曲线的虚轴长,即可得出结果. 因为双曲线223x y m -=的虚轴长为2,①当0m >时,双曲线方程可化为2213x y m m -=1m =,得1m =;②当0m <时,双曲线方程可以化为2213y x mm -=--,得3m =-; 故实数m 的取值为3-或1. 故答案为:3-或1.15. 已知条件p :11x -<<,q :x m >,若q 是p 的必要条件,则实数m 的取值范围是________.1m ≤-根据q 是p 的必要条件,即可得出实数m 的取值范围.解:条件:11p x -<<,:q x m >,q 是p 的必要条件, 1m ∴-.故答案为:1m -.本题考查充分条件、必要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.16. 若方程22132x y k k +=+-表示椭圆,则k 的取值范围是_______.113,,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据方程的形式可得关于k 的不等式组,从而可得k 的取值范围.由题设可得302032k k k k+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩,解得113,,222k ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:11(3,)(,2)22--⋃-.三.解答题:(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. 已知()1,2A ,直线l 经过直线250x y +-=与直线20x y -=的交点P . (1)若直线l 与直线3250x y ++=平行,求直线l 的方程; (2)当点A 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程. (1)3280x y +-=;(2)10x y --=.(1)先求出两直线的交点P 的坐标,设所求直线l 的方程为320x y C ++=,将点P 的坐标代入可得答案.(2)当AP l ⊥时,点A 到直线l 的距离最大,从而可求出答案. 解:联立250x y +-=与20x y -=,解得2,1x y ==,即(2,1)P(1)直线l方程为320x y C ++=,将()2,1P 代入得620,8c C ++=∴=-∴直线l 的的方程为3280x y +-=(2)当点A 到直线l 的距离最大时,AP l ⊥.21112AP k -==-- 1l k ∴= ∴直线l 的的方程为11(2)y x -=⋅-,化简得10x y --=.18. 已知p :22a -<<,q :关于x 的方程20x x a -+=有实数根. (1)若q 为真命题,求实数a 的取值范围;(2)若p ∨q 为真命题,q ⌝为真命题,求实数a 的取值范围.(1) 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦; (2)1,24⎛⎫⎪⎝⎭(1)利用判别式,即可得出答案;(2)根据已知条件,得到p 真q 假,即可得出答案.(1)x 的方程20x x a -+=有实数根,得140a ∆=-≥,即14a ≤, ∴若q 为真命题,实数a 的取值范围为:1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)∵“p q ∨”为真命题,“q ⌝”为真命题,∴p 真q 假2214a a -<<⎧⎪⎨>⎪⎩,解得:124a <<,∴1,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题考查了由命题的真假求参数的取值范围,考查了由复合命题的真假判断命题的真假,属于中档题。