2020年中考数学专题复习 圆课件

动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是
.
C P
Q
当 PQ 最小时，Q 应在直线 OP 与半圆的近交点处。
A
O
B
例 5.如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 的中
点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P、Q 分别是边 BC 和半圆上的
动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是
圆外一点到圆上任意一点的最短或最长距离
B
OO A
PP
PA的长度就是最短距离，PB的长度就是最长距离.
圆外一点到圆上任意一点的最短或最长距离


例 5.如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 的中
点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P、Q 分别是边 BC 和半圆上的
动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是
.
C
P
M
Q
分析：P 是圆外一点，Q 是圆上 一点，通过刚刚的结论，我们 就可以知道，当 PQ 出现极值时， P、Q、O 三点在同一直线上。
A
O
B
例 5.如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 的中
点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P、Q 分别是边 BC 和半圆上的
O D
过圆内一点且与过该点的直径垂直的弦最短
O
C'
D'
B
DC
B' A
y C
P O
分析：y＝kx－3k＋4 可以变形 成 y＝k(x－3)＋4，无论 k 为何值， B 当 x=3 时，y=4，对于函数图像来 A x 说就是必定经过点（3，4）.

2．圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形 ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之 和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图3， 在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°， 可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意 一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直 平分线的交点)．
【经典母题】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内 一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度 的最小值为_______.
[解析] ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2. ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
[思维方法] 根据线段BA与线段BQ关于线段BP所 在的直线对称可知，点Q在以点B为圆心，AB长为 半径的圆上运动，即点Q的运动轨迹是一段圆弧， 然后画出草图，再矩形的性质求出∠ABQ＝120°， 再由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC， 最后根据S阴影部分＝S四边形ABQD－S扇形ABQ ＝S四边形ABOD＋S△BOQ－S扇形ABQ可求出答 案．
小专题5辅助圆问题
类型一 定点定长作圆 方法解
读 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 (如图1)．依据的是圆的定义：圆是所有到定点的 距离等于定长的点的集合．
推广：如图2，点E为定点，点F为线段BD上的动 点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点 B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的 一段圆弧．若遇到求最值问题，可利用两点间线段 最短或垂线段最短解决。
12．如图，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内 接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD， BC上，若AE＝3，求EF的长．

(1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)求证：BD2＝AC·BF.
图 Z13－3
证明：(1)∵AC＝BC，CD 是圆的直径， ∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD， ∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°， ∵OD 是圆的半径，∴EF 是⊙O 的切线； (2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠DCB＝90°， ∴∠BDF＝∠DCB，∴△BCD∽△BDF， ∴BBDF＝BBDC，∴BD2＝BC·BF， ∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF.
图 Z13－7
解：(1)如答图①，连结 BC，AC，AD， ∵CD⊥AB，AB 是直径， ∴A︵C＝A︵D，CE＝DE＝12CD＝3， ∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB， ∴△ACE∽△CBE，∴ACEE＝CBEE，∴13＝B3E， ∴BE＝9，∴AB＝AE＋BE＝10， ∴⊙O 的半径为 5；
图 Z13－5
解：(1)证明：如答图，连结 OC. ∵PE 是⊙O 的切线，∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC 平分∠BAD；
中考变形4答图
(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB＝3PB.理由： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC， ∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC， ∵∠P 是公共角，∴△PCB∽△PAC， ∴PPAC＝PPBC，∴PC2＝PB·PA， ∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB， ∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
图 Z13－8
解：(1)如答图，连结 OC， ∵CD 与⊙O 相切于点 C，∴∠OCD＝90°. ∴∠OCB＋∠DCF＝90°. ∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B， ∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；

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二 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1．圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的⑪__弧____相等、所对的 ⑫__弦____相等、所对的⑬___弦__心__距___相等．如图，在⊙O 中，若∠
︵︵
AOB＝∠COD，则AB ＝CD ，AB＝CD，OM＝ON. 2．圆心角定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一
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(1)对称性：圆既是中心对称图形(圆心是对称中心)，也 是轴对称图形(任何一条直径所在的直线都是它的对称 轴)．
(2)旋转对称性：圆是旋转对称图形(绕圆心旋转任何一 个角度都与原图形重合)．
(3)同圆或等圆的半径相等． (4)圆的直径等于同圆或等圆半径的2倍． (5)弧的度数等于它所对圆心角的度数．
(D)
A．4
B．2 2
C． 3
D．2 3
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7．(2019·江苏连云港中考)如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝ 6，∠BAC＝30°6，则⊙O的半径为_____.
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8．(2019·湖南娄底中考)如图，C、D两点在以AB为直径的圆 上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝__1___.
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(1)圆：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，这个 定点叫做①__圆__心____，这个定长叫做②__半_径_____.圆心确 定圆的③_位_置______，半径确定圆的④___大_小____.
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；圆上任意一条 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半 圆．小于半圆的弧叫做⑤___劣_弧____，大于半圆的弧叫 做⑥__优__弧____.
推 周角是 ○23 __9_0_°____； ___9_0_°___；