第2讲数或数列的排列规律

第2讲--数或数列的排列规律

1 / 4 课题：第二讲 数列的排列规律

参考内容 数学奥林匹克三年级上册“六、分析数之间的规律”；

数学奥林匹克教材（普及版）三年级上册“三、找规律填数”；

通用数学奥林匹克数学教材三年级 “二、分析数之间的规律”。

小学数学奥林匹克起跑线三年级分册“五、找简单数列的规律”

教学要求 1、使学生通过观察、发现数、数列或数组的内在规律性，以作为解决问题的依据，并根据规律来推断结果。

2、培养学生的敏锐观察力和严密的逻辑推理能力。

教学重点 观察、发现数列的变化规律。

教学难点 观察的全面性，规律得出适用的全面性。

思想方法 1、寻找各项与项数间的关系；2、考虑相邻项之间的关系。3、归纳总结出一般的规律。

一般步骤 顺序对这列数中相邻的几个数进行同样的某种四则运算，将它们的运算结果依次写下来组成新的一列数（通常这列数的变化规律是比较明显的），通过对这列数变化规律的分析，从而了解原来那列数的变化规律。

教学过程

1、导入：

（1）在上一讲的内容里，我们向同学们介绍了如何观察与分析图形之间的变化规律，你学会了哪些方法？

（2）在这一讲中，主要介绍如何分析数之间的变化规律。（板书课题）

2、例1 观察分析下面各列数的变化规律，然后填空。（相邻看）

（1）5，9，13，17，（ ）； （2）10，12，16，22，（ ）；

（3）1，4，9，16，（ ）； （4）2，4，8，16，（ ）；

（5）4，5，7，11，19，（ ）。

分析与解 分析一列数的变化规律，一般是顺序对这列数中相邻的几个数进行相同的四则运算，根据计算结果进行比较，从中找到规律。

第（1）题依次用后一个数减去相邻的前一个数，差都是4，所以应填21。

第（2）题依次用后一个数减去相邻的前一个数，它们的差依次为：2，4，6，那么下一个差便应该是8，所以应填30。

第（3）题由于1＝1×1，4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4，所以下一个数应为5×5，填25。像这样的一列数，称作“完全平方数列”，请你记住它，因为它的用途很大。

第（4）题因为2＝2，4＝2×2，8＝2×2×2，16＝2×2×2×2，因此下一个数应为5个2相乘，填32。也可以这样分析：从第二个数开始，每个数都是相邻前面数的2倍，所以空白处填16×2＝32。 第2讲--数或数列的排列规律

2 / 4 第（5）题由于5－4＝1，7－5＝2，11－7＝4，19－11＝8，观察1，2，4，8这列数，一个数的2倍便是它后面的数，所以8后面应是16，而19＋16＝35，所以应填35。

3、试一试：观察分析下面各列数的变化规律，然后填空。

（1）5，9，13，17，（ ）； （2）10，12，16，22，（ ）；

（3）1，4，9，16，（ ）； （4）2，4，8，16，（ ）；

4、 例2 观察下面各数列的变化规律，然后进行填空：（隔着看、分开看）

（1）7，14，10，12，14，9，19，5，（ ），（ ）；

（2）7，8，10，（ ），22，38；

（3）5，14，41，122，（ ）；

（4）1，2，3，5，8，13，21，（ ）；

（5）1，2，2，4，8，32，（ ）。

分析与解

（1）表面上看这列数规律不明显，那是因为我们的眼光只局限于“相邻的两个数”之间，仅对这两个数依次进行计算、比较结果。现在我们隔着看，将这列数分成两列数，即7，10，14，19，（ ）；14，12，9，5（ ）。第一列数7，10，14，19，它们相邻两数之差依次为3，4，5，所以下一个数应为：19＋6＝25；而第二列数14，12，9，5，相邻两个数的差（大数减小数）依次为2，3，4，所以第二列数中下一个数应为：5－5＝0。因此，两个空格中的数依次为25、0；

（2）“空项”出现在一列数的中间比出现在这列数的最后分析规律要困难一些，因为这列数在“空项”处断开，则我们分析这列数的变化规律时，往往也在此断开，不易往下进行。解这类题的步骤一般是将“空项”两边的几个数的规律先各自找出来，然后再在“空项”处试验填数，看看此数填进去后，能否使前后两边数的规律统一起来。在这列数中，前面三个数中相邻的两数之差为1，2，后面的两数之差为16，如果插进去一个数，将会又产生两个差，即1，2，（ ），（ ），16，不难看出这两个空分别填4，8，就使差所构成的这列数1，2，4，8，16规律统一，而10＋4＝14，14＋8＝22，所以应填14；

（3）观察相邻两数，发现5×3－1＝14，14×3－1＝41，41×3－1＝122，也就是说前一个数的3倍比后一个数多1。所以应填365；

（4）前面两个数之和等于相邻后面的数，如1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，8＋13＝21，所以应填34；这是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。

（5）前面两个数之积等于相邻后面的数，如1×2＝2，2×2＝4，2×4＝8，4×8＝32，所以应填256。

5、试一试：观察下面各数列的变化规律，然后进行填空： 第2讲--数或数列的排列规律

3 / 4 （1）3，5，3，10，3，15，（ ），（ ）。

（2）1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。

（3）2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。

6、例3下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？

分析与解

方法1：注意观察，发现这些数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数列，所以第 100个数组中的第 1个数为100；这些数组的第2个分量 3，6，9…也构成等差数列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300；同理，第3个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。

方法2：因为题目中问的只是和，所以可以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18，第3组：3+ 9+ 15= 27…，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。

7、试一试：下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5）…问：这100个数组内所有数的和是多少？

8、例4 在下列各图中填出所缺的数：

（1）如图1：

（2）如图2：

分析与解

（1）作这种题一般先看一个图形中各数之间的关系，然后再看其他图形中的数是否也有这个关系，最后使几个图形中的关系统一，便找到了规律。注意到圆中上面两个数的和等于下面两个数的积，因此第一个空白处应填（13＋8）÷3＝7，第二个空白处应填7×2－5＝9；

（2）用外边三个三角形内的数去凑中心三角形内的数，实际上，外边三个三角形内的数的积等于中心三角形内的数的2倍，因此，空白处应填4×3×6÷2＝36；

9、试一试：在下列各图中填出所缺的数：

（1）如图3： 第2讲--数或数列的排列规律

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（2）如图4：

10、小结：通过对上面四个例题的分析，可以总结出下面几点：

（1）对一列数变化规律的分析，一般的思考步骤是：顺序对这列数中相邻的几个数进行同样的某种四则运算，将它们的运算结果依次写下来组成新的一列数（通常这列数的变化规律是比较明显的），通过对这列数变化规律的分析，从而了解原来那列数的变化规律。

（2）有时要将一列数分成两列数，分别考察它们各自的变化规律。

（3）对于几列数组成一组数变化规律的分析，需要同学们灵活地思考，规律没有一成不变的，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就换另一种方法接着分析。

（4）对于找到的规律，那么它应该适合这列数中的所有数，不能只适用于前面几个数，而不适合于这列数中的其他数。

（5）对于那些分布于某些图形中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的入手点。

11、阅读：小学数学奥林匹克起跑线三年级分册“五、找简单数列的规律”

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

2020年5月18日