工程博弈论课程作业

博弈论作业

3.两个人分蛋糕博弈，但有先后次序，由甲负责分为两份，但乙先挑，在以下情况下分析其理性结局是什么（假设蛋糕无限可分，而且双方都知道以下事实），并分析局中人是否愿意更换角色：

（3）更一般，甲认为奶油蛋糕价值a元，冰激凌蛋糕值b元，a大于b，乙相应评价则分别是c和d，c大于d；

（4）蛋糕上有一颗樱桃（不可分割），假设甲喜欢樱桃，认为它值10元，蛋糕值10元，而乙不喜欢樱桃，认为蛋糕值20元。

解：（3）设结果是甲、乙得到的奶油蛋糕占奶油蛋糕总量的比例为p、1-p,甲、乙得

到的冰淇淋蛋糕占冰淇淋蛋糕总量的比例为q、1-q。由乙是挑冰淇淋的人可知：

cp+dq《 c(1-p)+d(1-q),即cp+dq《 (c+d)/2,又0《p《1，0《q《1，则由线性规划得：甲的收益为w=ap+bq,最大值为在p=(c+d)/2c,q=0时，w=a(c+d)/2c,，或是p=0,q=(c+d)/2d时，w=b(c+d)/2d（取其较大者）

（4）同（3），用樱桃代替奶油蛋糕，蛋糕代替冰激凌蛋糕，由20q《10，p=1或0，0《q《1可得，甲的最大收益w=10(p+q)的最大值在p=1,q=1/2时，w=15

4.有一种双人的游戏局势如下：在一个大于1x1的表格中每个格子处放了一根火柴，每个人每次一定要拿走其中一根，而同时表格的右上角（包括右边和上方）的所有火柴都被拿掉，两人轮流进行，谁将火柴全部清空谁就输。试证明先行者一定能获胜。

解：由题意知：只有拿走左下角火柴的人才会输，故先行者可设法迫使对手拿这根火柴从而获胜，其策略为先拿走第n-1行，第2列的那根火柴，记为（n-1,2）接下来，不管对手拿哪根火柴，不妨设为（a,b）,都拿对应的火柴(b,a)，所以对手最后必会被迫拿起（n,1）这样先行者就胜利了。

博弈论基础作业

、名词解释

纳什均衡占优战略均衡纯战略混合战略子博弈精炼纳什均衡

贝叶斯纳什均衡 精炼贝叶斯纳什均衡 共同知识

见PPT

二、问答题

1. 举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。

囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等

等；

以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，

一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。 给定其 他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。 否则自己的升学率就比其他学 校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学 校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因此学生的负担越来越重。

请用同样的方法分析其他例子。

智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析 信息，散户跟随大户的操作策略

以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定 散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。 但是不论大户是选择分析 还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户 知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随， 而给定散户跟随，大户 只有自己分析。

请用同样的方法分析其他例子。

2. 请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。

破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让 自己决一死战变得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可 以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就 无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路， 由于有退路，对方就不会殊死 抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也 会付出更大的代价。

3. 当求职者向企业声明自己能力强时， 企业未必相信。但如果求职者拿出自

己的各种获奖证书时，却能在一定程度上传递自己能力强的信息。 这是为什么？ 由于口头声明几乎没有成本，因此即便是能力差的求职者也会向企业声明自 己能力强。当然能力强的人也会声明自己的能力强。 也就是说不同类型的求职者 为了赢得职位会做出同样的声明。 这样口头声明就不能有效的传递信息， 因此企 业不会轻易相信。而求职者拿出获奖证书就成了一个信号博弈。 由于获得证书是 要付出代价的，但代价却引人而异。能力强的个人可以相对轻易获得证书， 而能 力弱的个人却很难获得证书，以至于能力弱的人认为化巨大的代价获得证书， 从 而获得企业的职位是不划算的，因此干脆就不要获奖证书。因此获奖证书就成为 个人能力的信号。

博弈论

生活中每个人如同棋手，其每一个行为如同在一张看不见的棋盘

上布一个子，精明慎重的棋手们相互揣摩、相互牵制，人人争赢，变

综复杂的相互影响中得出最合理的策略。 事实上，博弈论正是来自于 古老的游戏或曰博弈如象棋、扑克等。数学家们将具体的问题抽象化， 通过建立自完备的逻辑框架、体系研究其规律及变化。

面对如许重重迷雾，博弈论怎样着手分析解决问题，怎样对作为 现实归纳的抽象数学问题求出最优解、从而为在理论上指导实践提供 可能性呢？现代博弈理论由匈牙利大数学家冯诺伊曼于 20世纪20年

代开始创立，1944年他与斯特恩合作出版的巨著《博弈论与经济行 为》标志着现代系统博弈理论的经济学家奥斯卡 摩根初步形成。对 于非合作、纯竞争型博弈，诺伊曼所解决的只有二人零和博弈 --好比

两个人下棋、或是打乒乓球，一个人赢一着则另一个人必输一着， 净 获利为零。在这里抽象化后的博弈问题是，已知参与者集合 （两方）， 策略集合（所有棋着），和盈利集合（赢子输子），能否且如何找到一 个理论上的解”或平衡”，也就是对参与双方来说都最 合理”、 最优的具体策略？怎样才是 合理” ？应用传统决定论中的 最小最 大”准则，即博弈的每一方都假设对方的所有功略的根本目的是使自 己最大程度地失利，并据此最优化自己的对策，诺伊曼从数学上证明， 通过一定的线性运算，对于每一个二人零和博弈，都能够化多端的棋局。博弈是研究棋手们 出棋”着数中理性化、逻辑化的

部分，并将其系统化为一门科学。 换句话说，就是研究个体如何在错

找到一个 最 小最大解”。通过一定的线性运算，竞争双方以概率分布的形式随机 使用某套最优策略中的各个步骤，就可以最终达到彼此盈利最大且相 当。当然，其隐含的意义在于，这套最优策略并不依赖于对手在博弈 中的操作。用通俗的话说，这个著名的最小最大定理所体现的基本 理 性”思想是 抱最好的希望，做最坏的打算”。

智猪博弈是经济学中经常讲的一个经典博弈实例。这个例子讲的 是：猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有个踏板， 每踩一下踏板，在远离踏板的猪圈的另一边的投食口就会落下少量的 食物。如果有一只猪去踩踏板，另一只猪就有机会抢先吃到另一边落 下的食物。当小猪踩动踏板时，大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光 所有的食物；若是大猪踩动了踏板，则还有机会在小猪吃完落下的食 物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。

博弈论大作业

2009121202 鲁晓晓

博弈论的渊源十分清晰，它的主要概念是由冯·诺依曼和摩根斯坦在1944年引入的。而在此之后，最早对博弈论的发展起到关键作用，甚至是奠基作用的应该就是约翰·纳什了。纳什在博弈论领域堪称巨擘。在我对博弈论的学习中，一直认为他才是博弈论的创始人。纳什博士彪炳千秋之作当属“纳什均衡”理论了。下面，我们举一个例子来具体说明纳什均衡。

我们寝室除我之外有5个人，而她们都去参加11月11日的光棍节舞会，刚好，在舞会上有另外5为均有相同目的的男生。于是，我们面临着一场博弈。究竟我的室友会有怎样的境遇呢？我们可以分析下：首先我们假设舞会现场时男生主动邀请女生跳舞，而且并不存在两男或多男争一女的情况。那么，决定我的室友最终被邀请的因素就是外貌了，我们可以讲五位男生的外貌从高到低依次记为男A、男B、男C、男D、男E；同理，我的室友们被记为女A、女B、女C、女D、女E。我们都知道外表的美丽会带来内心的高傲，这里我们也就默认是这样。反之亦然。所以我们可以认为越是外表美丽的人被邀请成功的可能性就越小。因此，我们设定，被成功邀请的可能性由小到大用1、2、3、4、5来表示，即A类男女为1，B类男女为2„„E类男女为5，那么：

男A 男B 男C 男D 男E

女A 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1

女B 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2

女C 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3

女D 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4

女E 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

我们可以发现，在男A的选择中，他理应放弃女A，因为很明显（男A，女A）的收益太小。同理男B不选女A、女B；男C不选女A、女B、女C；男D不选女A、女B、女C、女D；男E似乎谁都不该选，所以，最后的最优组合是（男A，女B）、（男B，女C）、（男C，女D）、（男D，女E）。理论告诉我们，适应的错位选择是极大欢喜的。但是在最后，我要说明的是关于女A和男E的问题了，如果以上案例是在封闭环境下进行的话，会有两种可能产生：1、女A别无选择，为了保全面子只能选择男E；2、男E自知自身条件不足，难受异性青睐，于是决定放手一搏，邀请最漂亮的女A。而这两个动力的合力产生了一个让人啼笑皆非却又经常看到的结果：癞蛤蟆成功吃到了天鹅肉！