2019-2020学年重庆市沙坪坝区第七中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
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重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题一、选择题（本大题共12小题） 1.若直线经过(1,0)A、(B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 120︒ 『答案』C『解析』直线经过A(1,0)，两点，∴ 直线AB的斜率21k ==-,设直线的倾斜角为a,tan a ∴=,[0,)a π∈，2a π≠,60a ︒∴=,∴ 直线AB 的倾斜角60a ︒=.故选: C.2.若a ，b ，c 是空间三条直线，//a b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交 『答案』D『解析』如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，AB 与BC 相交，11A B 与BC 是异面直线， 11//AB A B ，AB 与1AA 相交，11A B 与1AA 是相交直线，a ∴，b ，c 是空间三条直线，//a b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是异面或相交．故选：D ．3.圆A ：224210x y x y ++++=与圆B ：222610x y x y +--+=的位置关系是（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含 『答案』C『解析』圆A ：224210x y x y ++++=的圆心坐标()2,1A --，半径12r ==，圆B ：222610x y x y +--+=的圆心坐标()1,3B，半径23r ==，5AB ∴==，125AB r r =+=，∴圆A 与圆B 外切．故选：C．4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ）A. 643πB. 1283πC.64π D.『答案』A『解析』设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r∴l =，由题意得，侧面积2S rl r π===侧，解得4r =，l ∴=4h ==，∴圆锥的体积2116444333V Sh ππ==⨯⨯⨯=， 故选：A ． 5.过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A.()()22314x y -++= B.()()22314x y ++-= C.()()22114x y -+-=D.()()22114x y +++=『答案』C『解析』本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A故选C6.下列命题中，,m n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥． 正确的命题是（ ） A. ①③ B. ②③C. ①④D. ②④『答案』C『解析』对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m 与平面α内的任意一条直线垂直，由n α知，存在直线b α⊂内，使n b ，所以,m b m n ⊥⊥，故①正确；对于②，平面α与平面β可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m 与n 可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m αγγ⊥， ，正确．故正确命题为①④，选C. 7.直三棱柱111ABC A B C -中，若90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值等于（ ）A. B. 25C. 45D.『答案』C『解析』以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,A 0，0)，1(0,B 0，2)，(0,B 0，0)，1(0,C 1，2)，1(1,AB =-0，2)，1(0,BC =1，2)，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111455AB BC cos AB BC θ⋅===⋅⋅．∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45．故选：C ．8.已知直线2x y +=与圆22x y a +=交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点， 若OA OB OC +=，则a 的值为（ ） A. 2B.C. 4D. 8『答案』D 『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,.C x y联立222x y x y a +=⎧⎨+=⎩，化为22440x x a -+-=， 直线2x y +=与圆22x y a +=交于A 、B 两点， ()16840a ∴∆=-->，解得2a >．122x x ∴+=，121242y y x x ∴+=--=．()()()121200,2,2,.OC OA OB x x y y x y ∴=+=++==2200448a x y ∴=+=+=．故选：D ．9.已知点A 为圆22(3)(2)1x y ++-=上的点，点B 的坐标为()1,1，P 为x 轴上一动点，则AP BP+的最小值是（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6『解析』如图，设圆22(3)(2)1x y++-=的圆心为C，则()3,2C-，半径1r=．点()1,1B关于x轴的对称点()'1,1B-，连接'B C，交圆C与A，交x轴于P，则AP BP+的最小值为'14B C r-==．故选：B．10.如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )A. 12B.122+C.32D.12+『答案』D『解析』由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的表面积为4π，故鸡蛋（球）的半径为1，2=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为1 2，故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为1 22+11.已知点(),P x y 是直线20(0)kx y k ++=>上一动点，P A 、PB 是圆C ：2220x y x +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A. 2B.2C.D. 12『答案』D『解析』圆C ：222220(1)1x y x x y +-=⇒-+=，圆心()1,0C ，半径为1.如图，PA PB =，CB PB ⊥，CA PA ⊥，122PACB S PA CA PA∴=⋅⋅⋅=四边形． 2PACB S ≥，2PA ∴≥．22221PC PA CA PA =+=+，25PC ∴≥，即点Cd ∴==，整理得()2210k -=，解得：12k =．故选：D ．12.在正三棱锥S ABC -中，M ，N分别是SC ，BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =则正三棱锥SABC -外接球的体积是( ) A.B. 12πC. 24πD.『答案』A『解析』M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，//MN SB ∴，MN AM ⊥，可得SB AM ⊥，取AC 中点P ，连接,SP BP ，由,SA SC BA BC ==得,SP AC BP AC ⊥⊥， 而SPBP P =，则AC ⊥平面SBP ，SB ⊂平面SBP ，∴SB AC ⊥，AMAC A =，SB ∴⊥平面SAC ，SA 、SC ⊂平面SAC ，SB SA ∴⊥，SB SC ⊥，易证SAB SAC ∆≅∆，SA SC ∴⊥，SA ∴、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．侧棱SA =∴正三棱锥S ABC -的外接球的直径为：2R ==R =，故正三棱锥S ABC -外接球的体积是343R π=，故选：A ．二、填空题（本大题共4小题）13.已知两条直线1l ：210x ay +-=，2l：40x y -=，且12//l l ，则满足条件a 的值为______．『答案』-2 『解析』由于直线12l l //，则()1421a ⨯-=⨯，解得2a =-，故『答案』为：2-． 14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面11BB D D所成的角等于____．『答案』6π『解析』正方体1111ABCD A B C D -中，连接11A C 交11B D 于点M ，连接MB ，由题可得：11A C ⊥11B D ，11A C ⊥1BB ,所以直线11A C ⊥平面11BB D D,所以直线1BC 与平面11BB D D所成的角等于MBC 1∠,设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a，所以12MC =，1BC =，所以1111sin 2MC MBC BC ∠==,所以16MBC π∠=15.如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积分别是______和______．『答案』 (1). 68.π (2). 140.3π『解析』由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：5=， 21142822S ππ=⨯⨯=球，2)35(55S ππ=+⨯=圆台侧，25S π=圆台底．故所求几何体的表面积为：8352568ππππ++= 圆台的上底面积14S π=，下底面积225S π=所以14254523V πππ⎡⎤=⨯=⎣⎦圆台 又314162233V ππ=⨯⨯=半球 所以旋转体的体积为161405233V V πππ-=-=圆台半球故『答案』为：68π；1403π．16.已知圆C ：22(4)(3)4x y -+-=和两点(),0A m -，(),0(0).B m m >若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则m 的最小值为______ 『答案』3『解析』根据题意，点(),0A m -，(),0(0)B m m >，则AB 的中点为()0,0，2AB m =，则以AB 的中点为圆心，半径12r AB =⨯的圆为222x y m +=，设该圆为圆O ，若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则圆C 与圆O 有交点，必有22m OC m -≤≤+，即2525m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，又由0m >，解可得：37m ≤≤，即m 的最小值为3； 故『答案』为：3．三、解答题（本大题共6小题）17.已知直角ABC 的顶点坐标()30A -,，直角顶点()1,2B -，顶点C 在x 轴上．（1）求点C 的坐标； （2）求ABC斜边中线的方程．【解】（1）直角ABC 的顶点坐标()30A -,，直角顶点()1,2B -，顶点C 在x 轴上，设(),0C m ，则02021311AB CB k k m ++⋅=⋅=----，求得2m =，故C()2,0．（2）斜边AC 的中点为1(,0)2M -，BM 的斜率为0241312+=---， 故BM 的方程为41032y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即4320x y ++=． 18.如图, 正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E 是AC 的中点.(1)求证: 平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(2)若AA 1, AB =2, 求三棱锥A -BEC 1的体积.【解】（1）正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ABC ∆为正三角形，E 是AC 的中点，所以BE AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11ACC A ，交线AC ，BE ⊆平面ABC ，所以BE ⊥平面ACC 1A 1，BE ⊆平面BEC 1，所以平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1； （2）三棱锥A -BEC 1的体积11111121332A BEC C ABE ABE V V S CC --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯=所以三棱锥A -BEC 1的体积19.已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（1）求圆的方程； （2）若直线()500ax y a -+=≠与圆相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点()2,4P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解】（1）设圆心为()(),0M m m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以42955m -=，即42925m -=．即42925m -=或42925m -=-，解得272m =或1m =，因为m 为整数，故1m =，故所求的圆的方程是22(1)25-+=x y ； （2）设符合条件的实数a 存在，0a ≠，则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为()124y x a =-++，即240x ay a ++-=．由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()1,0M 必在l 上．所以10240a ++-=，解得34a =．检验：当34a =时，直线AB 的方程为34200x y -+=，圆心到直线AB45=<，合乎题意.故存在实数34a =，使得过点()2,4P -的直线l 垂直平分弦AB ．20.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1PA AD AB ===，2BC =．()1若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ； ()2若90PAB ∠=︒，求二面角B PD C --的余弦值．【解】()1证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF ，DF ，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==，//AD BC ，且1AD =，//EF AD ∴，且1EF AD ==，∴四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ∴，AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，//AE ∴平面PCD ．()290PAB ∠=，PA AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PA ⊂平面PAB ，PA ∴⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，AD AB ∴⊥，则AP 、AB 、AD 两两垂直，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()1,2,0C 、()0,1,0D 、()0,0,1P ， ()0,1,1DP =-，()1,0,1BP =-，()1,1,0BD =-，()1,1,0DC =，设平面BDP 的法向量(),,n x y z =，则00n BP x z n BD x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,1n =， 设平面PCD 的法向量(),,m a b c =，则00m DP b c m DC a b ⎧⋅=-+=⎨⋅=+=⎩，取1a =，得()1,1,1m =--， 设二面角B PD C --的平面角为θ，则1333m n cos m nθ⋅⋅===⋅，∴二面角B PD C --的余弦值为13．21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上．（I ）当3SE ED =时，求证SD ⊥平面;AEC（II ）当二面角S AC E --的大小为30时，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值． 【解】（Ⅰ）在平行四边形ABCD 中，由1AD =，2CD =，120BAD ∠=︒，易知CA AD ⊥，又SA ⊥平面ABCD ，所以CA ⊥平面SAD ,∴SD AC ⊥， 在直角三角形SAB中，易得SA =在直角三角形SAD 中，，2SD =，又3SE ED =，∴，可得AE==.∴SD AE ⊥， 又∵，∴SD ⊥平面AEC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,CA SA ⊥,CA AE ⊥， 可知EAS ∠为二面角E AC S --的平面角，30EAS ∠=，此时为SD中点.过A 作AF CD ⊥,连结SF ,则平面SAF ⊥平面SCD , 作AG SF ⊥,则AG ⊥平面SCD ,连结EG ,可得AEG ∠为直线AE 与平面SCD 所成的角．因为AF =,SA =所以AG ==.在Rt AGE ∆中，， 直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为.解法二：依题意易知CA AD ⊥，SA ⊥平面ACD ．以A 为坐标原点，AC 、AD 、SA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则易得())()(0,0,0,,0,1,0,A C D S ，（Ⅰ）由:3SE ED =有30,4E ⎛ ⎝⎭， 易得{0SD AC SD AE ⋅=⋅=，从而SD ⊥平面ACE ． (Ⅱ)由AC ⊥平面SAD ，二面角E AC S --的平面角30EAS ∠=︒.又30ASD ∠=︒，则为SD 的中点，即130,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 设平面SCD 的法向量为(),,n x y z =则30,{0.n DC x y n SD y ⋅=-=⋅==，令1z =,得()n =，从而011cos ,AE n AE n AE n⋅⋅===，直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为.22.在平面直角坐标系中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l被圆1C 截得的弦长与直线2l被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解】(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d1，＝1，化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－7 24.所求直线l的方程为y＝0或y＝－724(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－1k(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－1k x－y＋n＋1k m＝0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．，化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因为关于k的方程有无穷多解，所以有2080{{3050m n m nm n m n－－＝，－＋＝，或－－＝＋－＝，解得点P坐标为313,22⎛⎫-⎪⎝⎭或51,22⎛⎫-⎪⎝⎭.。
