数列中的放缩法讲解学习

1 高中数列放缩法技巧大全

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩

例1.(1)求nkk12142的值; (2)求证:21153nkk.

解析:(1)因为121121)12)(12(21422nnnnn,所以122121114212nnnknk

(2)因为22211411214121214nnnnn,

所以35321121121513121112nnknk

技巧积累:(1)2221441124412121nnnnn

(2)1211211(1)(1)(1)(1)nnCCnnnnnnn

(3))2(111)1(1!11)!(!!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr

(4)25)1(123112111)11(nnnn

(5)nnnn21121)12(21 (6)

nnn221

(7))1(21)1(2nnnnn 2 (8) nnnnnnn2)32(12)12(1213211221

-可编辑修改-

数列型不等式的放缩技巧九法

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考

性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力， 因而成为高考压轴题及各级 各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项 的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：

利用重要不等式放缩

均值不等式法

设 Sn .1 2 2 3 .n(n 1).求证 n(： ° Sn (n 1)2

__2__

解析 此数列的通项为ak

k k 1 . k(k 1) k _k(k

1

—? 2 1),k 1,2,

Sn ，:.

(k》，

即 n(n 1) S n(n 1)

-2n 2-

注：①应注意把握放缩的 n (n 1)2

2

“度” 2

:上述不等式右边放缩用的是均值不等式

若放成...k(k 1) k 1则得 Sn 2 (k 1) (n 1)(n 3) (n ° ，就放过“度”了! 一 2 k 1

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

1 n 1 nQ 1 1

a1 an .2 2 a1 an a1 an an ---------------- \ ------------------- n n

其中，n 2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

4

一，且f (x)在［0 , 1］上的最小值为

5 已知函数f(X) 1

bx 1 a 2 ，若 f(1)

求证: f (1)

f (2) f (n)

简析 f(x) 4x

4x

2) (1 1

1 4x

1

2 Cn

简析不等式左边cn 例3求证c：

n 2 n 1 -

n n1 2 2 2 = n C；

Cn2

n 1 2 2 c：

c； 1 1 盯2

1 -(x 2?2x

1 1 n — (1 — 4 2

n 1 n 2_(n

C；； 2n

第 1 页 共 5 页“放缩法”在数列求和中的基本策略放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。所谓放缩的技巧：即欲证BA，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使BCA，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。常用的放缩技巧有：（1）若,AtA,AtA,0t（2,n1nnn2,1n11n,1n),0n(nn)1n(n22n1)1n(n11n1n1).1nn(2n1nn21nn2)n1n(2),1n(n11n1)1n(n1（3）若,Rmba、、则.bmaba,mbaba（4）221211!n1!31!211.211n（5）.n12)n11n1()3121()211(1n131211222（6）11nn1n11n11n1n212n11n1或n212n11n1.21n2nn21n21n21（7）nnnn1n1n1n131211等等。注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,DC,CB,BA则DA。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知求证：*21().nnanN*122311...().23nnaaannNaaa证明： 111211111111.,1,2,...,,2122(21)23.222232kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa第 2 页 共 5

用放缩法证明数列中的不等式

制作人：任世龙 18-11-15

前言：放缩是一种能力，如何做到“不大不小”，把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！

为常数）；④③②为常数）①种：其基本结构形式有如下kkanfanfakkaniiniiniinii();();(;(41111

一．放缩目标模型----可求和

）：变）：变）：变）：例（一）形如NniiNnNniNnkaniiniiniininnii(223(11212(221(121111111

方法总结一：

若可直接求和则先求和再放缩；若不能求和则放缩为能求和的数列通项。

能求和的常见模型：等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等，常见的为等比模型和裂项相消模型

)(351312113)(471312112)(21312111)(21)12)(1215313112222222222NnnNnnNnnNnnn：求证求证变：求证变：求证变（：求证例

方法总结二：

放缩时，常常“留一手”，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩。

125111)1(),1(2)(45)12151311122112222nnnnbababanbnnaNnn求证：已知：练习（：求证练习

3)1(,122}{31niiinnnnaaaa求证：中：已知数列练习

常见的裂项放缩技巧：

)2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(2.6)1(21222112)1(2.52)1(1-(12.4111)1(1)1(1111.3)121121(2)12)(12(4144441.2)1111(21)1)(1(1111.1111222110222222nnnnnnnnnnnnnCCCCCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn）的整数部分：求例1001312113S