五年级奥数基础教程最大公约数与最小公倍数小学如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1,a2,…,a n的最大公约数通常用符号（a1,a2,…,a n）表示,例如,（8,12）=4,（6,9,15）=3。
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。
自然数a1,a2,…,a n的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,a n]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数。
题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。
所以（144,180,240）=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。
例2 用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少？分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48,450-414=36,498-414=84。
★小学五年级奥数专题讲解之“最大公约数”同学们知道，24的约数有：1，2，3，4，6，8，12，24；42的约数有：1，2，3，6，7，14，21，42.几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数.24和42的公约数有：1，2，3，6.几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数.24与42的最大公约数是6，记作（24，42）＝6.16，72，84的最大公约数是4，记作（16，72，84）＝4.如果两个自然数的最大公约数是1，那么就称这两个数互质.例如（4，9）＝1，称4与9互质.对于自然数a、b，有［a，b］×（a，b）＝a×b.问题1有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，怎样利用它们从一桶油中倒出6升油来？分析油从27升与15升两个容器中倒进倒出而得到6升油，就是用27与15经过若干次加减运算后得到数6.解（27，15）＝3.15＝12×1＋3，2×15＝27＋3，3＝2×15－27，6＝4×15－2×27.所以，向小容器里倒4次油，每倒满后就向大容器里倒，大容器注满了就往桶里倒.当大容器第二次倒满时，小容器里剩下的就是6升油.问题2一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？分析要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求75与60的最大公约数.解（75，60）＝15.（75÷15）×（60÷15）＝5×4＝20.答：可裁成20张.问题3甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54、48、72.现要在各班分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同.问锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班共有多少个小组？分析要使各小组的人数相等且人数最多，就是求54、48、72的最大公约数.解（54，48，72）＝6.（54＋48＋72）÷6＝29.答：锻炼小组的人数最多是6，这时甲、乙、丙三班共有29个小组.问题4工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坯1680个，第三批毛坯2098个.现平均分给工人，分别剩7个、3个、5个.问加工的工人最多有多少？分析所求工人的最多人数是1788-7＝1781、1680-3＝1677、2098-5＝2093三个数的最大公约数.解1788-7＝1781，1680-3＝1677，2098-5＝2093.（1781，1677，2093）＝13.答：加工的工人最多有13人.问题5有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米.现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段？分析先求出三根钢管各自的长度，再求出这三根钢管长度数的最大公约数.解依题意，第三根钢管的长度是第二根钢管长度的2.4倍.280÷（2.4-1）＝200.200×1.2 ＝240.240×2＝480.（200，240，480）＝40.（200＋240＋480）÷40＝23.答：共可以截成23段.问题6有320个苹果、240个桔子、200个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？分析所求果品的份数，就是320、240、200的最大公约数.解（320，240，200）=40.320÷40=8，240÷40=6，200÷40=5.答：用这些果品最多可分成40份.在每份礼物中，有8个苹果、6个桔子、5个梨.问题7已知甲、乙两数的比为5∶3，并且它们的最大公约数与最小公倍数的和是1040.求甲数和乙数.分析因为5与3互质, 所以甲数=最大公约数×5，乙数=最大公约数×3.它们的最小公倍数=最大公约数×5×3.解最大公约数为1040÷（15＋1）=65.65×5=325，65×3=195.答：甲数为325，乙数为195练习1.某校订购了数学、语文、英语资料各228册、114册、84册现平均分成若干份，每份中这三种资料的数量分别相等那么最多可分成几份？2.某商店经销某种货物，去年总金额为36963元，今年每件货物的售价（单价）不变，总金额为 59570元.如果单价（以元为单位）是大于1的整数，问单价是多少元？3.现有铁丝三根，一根长12米，一根长18米，一根长42米.要把三根铁丝截成同样长的若干段且都不许有剩余，每段最长为几米？一共可以截成多少段？4.把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5∶3的长方形纸，且没有剩余.问最少可截成几张？5.有一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米.要把这块木料锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，且不能有剩余.问可锯成几块？6.已知两个不相等（且都不为1）的自然数的最小公倍数是42，这样的两个数一共有几组？请分别写出来.。
第1讲最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a 的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。
题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。
所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。
例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48，450-414=36，498-414=84。
作者： 方升座作品编号： 58001984419960354创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之最大公约数和最小公倍数练习题一. 填空题。
1. a b 和都是自然数，如果a b ÷=10，a b 和的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
2. 甲=⨯⨯235，乙=⨯⨯237，甲和乙的最大公约数是（ ）×（ ）＝（ ），甲和乙的最小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（ ）。
3. 所有自然数的公约数为（ ）。
4. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
5. 在4、9、10和16这四个数中，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数，（ ）和（ ）是互质数。
6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（ ）。
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
**9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（ ）。
10. 根据下面的要求写出互质的两个数。
（1）两个质数（ ）和（ ）。
（2）连续两个自然数（ ）和（ ）。
（3）1和任何自然数（ ）和（ ）。
（4）两个合数（ ）和（ ）。
（5）奇数和奇数（ ）和（ ）。
（6）奇数和偶数（ ）和（ ）。
二. 判断题。
1. 互质的两个数必定都是质数。
（）2. 两个不同的奇数一定是互质数。
（）3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。
（）4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。
（）⨯=，m一定是质数。
（）5. a是质数，b也是质数，a b m三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13（）13和6（）4和6（）5和9（）29和87（）30和15（）13、26和52 （）2、3和7（）四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
