解析几何-9.1直线的倾斜角与斜率(学案)

第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程班级__________ 姓名_________ 【概念自查】一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”，并举反例)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．() 【知识梳理】参考《优化方案》P1451．直线的倾斜角与直线的斜率(1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α。

注：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°(2)直线l倾斜角α的范围是．(3)直线的倾斜角α与斜率k的关系：①．②．（数形结合来解释）2．直线方程的五种形式例1 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A.[)0，πB.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π(2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点， 则直线l 斜率的取值范围为 ．【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B .(2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B (2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞【考点突破】考点2 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.【考点突破】 考点3 直线方程的综合问题例3 已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB u u u r u u u r⋅=-． 求抛物线C 的方程；例4 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．【解】 如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则y ＋3x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接P A ，PB ，则k P A ≤k ≤k PB .易得A (1，1)，B (－1，5)，所以k P A ＝1－（－3）1－（－2）＝43，k PB ＝5－（－3）－1－（－2）＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43.1．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝03x ＋y ＋3＝0.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－ab x－c b .易知－a b <0且－cb>0，故ab >0，bc <0. 3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B.直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．4．(2019·广东惠州质检)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜15B ．－1<k <12C ．k ＞15或k ＜－1D ．k ＜－1或k >12解析：选D.设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．6．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 答案：3x ＋4y ＋15＝07．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________． 解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .所以a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或18．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3，4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3，3k ＋4，由已知，得(3k＋4)×⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6， 所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解】 法一：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，将点P (3，2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋（－9k ）＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.。

直线的倾斜角与斜率【教学目标】直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系【教学重点】直线的倾斜角和斜率的概念，两点的直线斜率的计算公式．【教学难点】直线的斜率和倾斜角之间关系的理解，并求斜率和倾斜角的范围．【教学过程】一、知识梳理： 1．直线的斜率（1）斜率的定义：已知两点),(),,(2211y x Q y x P ，如果21x x ≠,那么直线PQ 的斜率为______=k ；如果21x x =,那么直线PQ 的斜率___________. （2）直线的斜率与直线的方向的对应关系：（1）定义:在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为 ；倾斜角的范围为 ．3．斜率k 与倾斜角α的关系：二、基础自测：1．直线l 经过原点和点(-1，-1)，则它的倾斜角是 ．2．若直线的方程是(m 2-2m -3)x +(2m 2+m -1)y =m +5(m ∈R )，其倾斜角为45°，则实数m 的值为 ． 3．经过两点(,2),(,21)A m B m m --的直线的倾斜角为60•，则m 的值为 ．4．直线x sin α－y ＋1＝0（R ∈α）的倾斜角的取值范围是 ．三、典型例题： 反思：例1．（1）已知两点)6,4(),2,1(B A ，则直线AB 斜率为_________；（2）已知直线l 的倾斜角为120，则l 的斜率为__________.【变式拓展】（1）已知两点)2,(),2,1(+a a B A ，求直线AB 斜率；（2）已知直线l 倾斜角的正弦值是23，求l 的斜率.例2．已知直线l 的倾斜角⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,6ππα，求l 的斜率的取值范围.【变式拓展】（1）已知直线l 的倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈65,22,4ππππα，求l 的斜率的取值范围；（2）已知直线l 的斜率k 存在，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,33k ，求l 的倾斜角的取值范围.例3．已知直线l 过)3,1(-P ，且与以)3,3(),2,2(--B A 为端点的线段相交，求l 的倾斜角和斜率的取值范围.【变式拓展】已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点， 则k 的取值范围是________．四、课堂反馈：1．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点.则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 2．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是 ． 3．已知点A (－1，－5)，B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍， 则直线l 的斜率为 ．4．（1）若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ．（2）直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是 ．五、课后作业： 学生姓名：___________ 1．经过两点(,6),(1,3)A m B m -的直线的斜率是14，则m 的值为 ． 2．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________．3．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π则k 的取值范围是________．4．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 5．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝ ．6．（1）直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的取值范围 ．（2）已知直线l 的斜率k 存在，且11k -≤≤，则l 的倾斜角α∈ ．7．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 ． 8．函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．9．已知点A (2，3)，B (－5，2)，若直线l 过点P (－1，6)，且与线段AB 相交， 求直线l 倾斜角的取值范围．10．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1),(2,2)-，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点，求实数m 的取值范围.11．已知曲线14+=xe y 上任意一点P 处的切线的倾斜角为α，求α的取值范围.12．某实验室某一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()9sin1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？。

直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。

2. 让学生掌握直线的斜率计算公式，能够计算直线的斜率。

3. 让学生了解直线的倾斜角与斜率之间的关系，能够运用关系解决问题。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率计算公式，直线的倾斜角与斜率之间的关系。

2. 教学难点：直线的倾斜角与斜率之间的关系的运用。

三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究直线的倾斜角与斜率之间的关系。

2. 利用数形结合法，让学生在几何图形中观察和理解直线的倾斜角与斜率。

3. 运用实例分析法，让学生通过实际问题运用直线的倾斜角与斜率之间的关系。

四、教学准备：1. 教学课件：直线的倾斜角与斜率的定义及计算公式。

2. 教学素材：几何图形、实际问题。

3. 教学工具：黑板、粉笔、直尺、圆规。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习平面几何中直线的基本概念，引导学生进入直线的倾斜角与斜率的学习。

2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解如何求直线的倾斜角。

3. 讲解直线的斜率：介绍直线的斜率计算公式，讲解如何计算直线的斜率。

4. 探究直线的倾斜角与斜率之间的关系：引导学生通过几何图形和实际问题，探究直线的倾斜角与斜率之间的关系。

5. 巩固知识：通过实例分析，让学生运用直线的倾斜角与斜率之间的关系解决问题。

6. 课堂小结：总结直线的倾斜角与斜率的概念、计算方法和关系。

7. 布置作业：布置有关直线的倾斜角与斜率的练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了直线的倾斜角与斜率的概念和计算方法，以及是否能够运用关系解决问题。

如有问题，要及时调整教学方法，提高教学质量。

七、课时安排：本节课安排2课时，第一课时讲解直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法，第二课时讲解直线的倾斜角与斜率之间的关系和巩固知识。

八、教学评价：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对直线的倾斜角与斜率的掌握程度。

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。

因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。

2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。

我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。

同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。

二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。

我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。

2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。

同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。

三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。

2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。

3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。

4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。

二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。