江苏省南通市海安高级中学高三高考全真模拟试卷二(2020年3月)(南通密卷)语文试题

第1页（共26页）页）2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ． 2．（5分）复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有 辆．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ． 5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 ． 答对题数 4 8 9 10 人数分布11216．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为 ．7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．上述命题中为真命题的是 （填写所有真命题的序号）．8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8πα+= ．10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD=u u u r u u u r g ．11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知0a >，0b >，且111a b +=，则32ba b a ++的最小值等于 ．13．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点分别为两半圆上的动点（不含端点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u rg的最大值为 ．14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC ∆面积的最大值．16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u r g 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．19．（16分）已知函数()xf x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．（1）求1l ，2l 之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x m x f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20．（16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【选做题】.本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g．四.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 在曲线4cos :3sin (x C y θθθ=⎧⎪=⎨⎪⎩为参数）上，直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），求P 到直线l 距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y zyz zx xy x y z ++++…． 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上．（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置．26．在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r ，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：OA OB u u u r u u u rg的值； （2）证明：FM AB u u u u r u u u rg 为定值．2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I {|12}x x << ． 【解答】角：Q 集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， {|12}A B x x ∴=<<I ．故答案为：{|12}x x <<．2．（5分）复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 四 象限． 【解答】解：(1)1z i i i =-=+Q ，∴1z i =-，则复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限． 故答案为：四．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有 80 辆．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60)内的汽车的频率为(0.010.03)100.4+⨯=．∴时速在区间[40，60)内的汽车有0.420080⨯=（辆)．故答案为：80．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 35．【解答】解：Q 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球， 基本事件总数2510n C ==，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数11326m C C ==，∴摸出1个黑球和1个白球的概率63105m p n ===．故答案为：35．5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 225 ．答对题数 4 8 9 10 人数分布1121【解答】解：根据表中数据，计算平均数为1(489210)85x =⨯++⨯+=，方差为22222122[(48)(88)(98)2(108)]55s =⨯-+-+-⨯+-=．故答案为：225． 6．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为 25 ．【解答】解：第一次循环得到155T =⨯=，10i =； 第二次循环得到51050T =⨯=，15i =；第三次循环得到5015750T =⨯=，20i =； 第四次循环得到7502015000T =⨯=，25i =； 此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出25i =． 故答案为：25．7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．上述命题中为真命题的是 ①④①④ （填写所有真命题的序号）． 【解答】解：选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； 选项②错误，若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m 与n 可能平行可能相交； 选项③错误，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 与n 可能平行或异面； 选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若//m α，m β⊂，n αβ=I，则//m n ．故答案为：①④①④8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 16162529尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）【解答】解：设该妇子织布每天增加d 尺，由题意知，3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =尺． 故答案为：1629．9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8πα+= 213+ ．【解答】解：cos 2cos()4παα=+Q ，cos()2cos()8888ππππαα∴+-=++，cos()cos sin()sin 2cos()cos 2sin()sin 88888888ππππππππαααα∴+++=+-+， 化为：cos()cos 3sin()sin 8888ππππαα+=+，1tan()83tan 8παπ∴+=，Q 22tan 8tan1418tanπππ==-，解得tan218π=-．121tan()833(21)πα+∴+==-， 故答案为：213+． 10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD =u u u r u u u rg52- ．【解答】解：以A 为原点，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系， 设(,)O m n ，(,0)B a ，(0,)D b ，则(,)C a b ， 2OA =Q ，4OC =，5AC =，∴222222254()()16a b m n m a n b ⎧+=⎪+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：132am bn +=． 又(,)OB a m n =--u u u r ，(,)OD m b n =--u u u r，∴22135()()()422OB OD m m a n n b m n am bn =-+-=+-+=-=-u u u r u u u rg． 故答案为：52-．11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 5(2-，2)- ．【解答】解：关于x 的方程||()1x x a -=， 显然0x =方程不成立， 可得1||a x x =-，设1()||f x x x =-，则1,20()1,0x x x f x x x x ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪->⎩，画出()f x 的图象，可得当522a -<<-时，y a =和()y f x =的图象有3个交点，即关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，故答案为：5(2-，2)-．12．（5分）已知0a >，0b >，且111a b +=，则32b a b a ++的最小值等于 11 ． 【解答】解：已知0a >，0b >，且111a b+=，则1111323()2()b b a b a b a a b a b a ++=++++，33955211a b ab b a ab =+++=…，故答案为：1113．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点分别为两半圆上的动点（不含端点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u rg 的最大值为 4 ．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得(0,0)A ，(4,0)B ，(8,0)C ，以AB 为直径的半圆方程为22(2)4(0,0)x y x y -+=>>，以AC 为直径的半圆方程为22(4)16(0,0)x y x y -+=>>， 设(22cos ,2sin )M αα+，(44cos ,4sin )N ββ+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得(22cos BM BN α=-+u u u u r u u u rg ，2sin )(4cos αβg ，4sin )0β=，即有8cos 8(cos cos sin sin )0βαβαβ-++=，即为cos cos cos sin sin βαβαβ=+， 即有cos cos()βαβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即2αβ=， 则(22cos AM CN α=+u u u u r u u u r g ，2sin )(44cos αβ-+g，4sin )β 88cos 8cos 8(cos cos sin sin )αβαβαβ=--+++288cos 16cos 16cos 16cos αβββ=--+=-2116(cos )42β=--+，可得1cos 02β-=，即3πβ=，23πα=时，AM CN u u u u r u u u r g的最大值为4．故答案为：4．14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 (,2)-∞- ．【解答】解：关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3] 及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，可得323x x ax b -+<-的最小值， 即为3234x x ax -+<-， 可得243a x x x<--的最小值， 设24()3f x x x x=--，[1x ∈，3]， 导数为24()32f x x x '=-+， 可得12x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 23x <<时，()0f x '<，()f x 递减，又f （1）2=-，f （3）43=-，可得()f x 在[1，3]的最小值为2-， 可得2a <-．即有a 的范围是(,2)-∞-． 故答案为：(,2)-∞-．二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（1）(1tan )(1tan )2A B ++=Q tan tan 1tan tan A B A B ∴+=-g， tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+∴=-+=-=--，34C π∴=（2）ABC ∆Q 得外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2sin 2c R C ==， 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-， 代入数据可得2222a b ab =++ 22(22)ab ab ab +=+…， 222ab ∴+…，ABC ∴∆得面积11221sin 22222S ab C -==+g …， ABC ∴∆面积的最大值为：212-16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．【解答】解：（1）因为//EF 平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC ⋂平面ABD AB =， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =I ，AE 、DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED ．17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．【解答】解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =，FPN θ∠=，所以3tan NF θ=， 所以11(13tan )322APNSNA PF θ∆==+⨯g ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）在直角MEP ∆中，因为PE ，3EPM πθ∠=-，所以tan()3ME πθ=-， 所以11(33tan())1223APM S MA PE πθ∆==+-⨯g ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 所以31tan tan()3223APN APM S S S πθθ∆∆=+=+-+，[0θ∈，]3π，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）（注：定义域错误扣1分） （2）因为3133tan tan tan()3tan 322322(13tan )S πθθθθθ-=+-+=+++．⋯（9分） 令13tan t θ=+，由[0θ∈，]3π，得[1t ∈，4]，⋯⋯⋯⋯⋯（11分）所以23443433()23323t t S t tt-+=+=++⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）3433222333t t ⨯⨯⨯+=+…． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）当且仅当233t =时，即23tan 3θ-=时等号成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15分）此时，233AN =，323min S =+．答：当233AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为323+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（16分） 18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u rg 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1）3m =，椭圆22:19x E y +=，两个焦点1(22,0)F -，2(22,0)F设(,)K x y ，1(22,)F K x y =+u u u u r ，2(22,)F K x y =-u u u u r，2221212(22,)(22,)881KF KF FK F K x y x y x y y ==+-=+-=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u rg g g ，11y -Q 剟， ∴12KF KF u u u r u u u u rg 的范围是[7-，1]（4分）（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得12121212()()9()()0x x x x y y y y +-++-=，12121212()()190()()y y y y x x x x +-+=+-，即190OM lk k +=g ，故19OM l k k =-g ；（8分）（3）Q 直线l 过点(,)3m m ，∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且13k ≠． 设(P P x ，)P y ，设直线:()(0,0)3m l y k x m m k =-+≠≠，即:3m l y kx km =-+，由（2）的结论可知1:9OM y x k=-，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+，（10分）由()3my k x m =-+与19y x k=-，联立得222933(,)9191m km k m km M k k ---++．（12分）若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以02p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，479k ±=． 所以当479k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形．（16分）19．（16分）已知函数()xf x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．（1）求1l ，2l 之间的距离； （2）若存在x 使不等式()x mx f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【解答】解：（1）()x f x ae '=，1()g x x '=，()y f x =的图象与坐标轴的交点为(0,)a ， ()y g x =的图象与坐标轴的交点为(,0)a ， 由题意得(0)f g '='（a ），即1a a =，又0a >Q ，1a ∴=．（2分）()xf x e ∴=，()g x lnx =，∴函数()y f x =和()y g x =的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：10x y -+=，10x y --=，∴两平行切线间的距离为2（4分）（2）由()x mx f x ->，得x x mx e ->，故x m x xe <-在[0x ∈，)+∞有解，令()xh x x xe =-，则()max m h x <，当0x =时，0m <； 当0x >时，1()1()2xh x x e x'=-+Q ，0x >Q ，∴112222x x x x +=g …，1x e >， 1()22xx e x∴+>，故()0h x '<，即()h x 在区间[0，)+∞上单调递减， 故()(0)0max h x h ==，0m ∴<， 即实数m 的取值范围为(,0)-∞．（8分） （3）解法一：Q 函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()|()()|xF x f x g x e lnx =-=-，(0,)x ∈+∞，1()xF x e x∴'=-，设x t =为()0f x '=的解， 则当(0,)x t ∈，()0F x '<；当(,)x t ∈+∞，()0F x '>，()F x ∴在(0,)t 单调递减，在(,)t +∞单调递增，1()t t tt F x min e lnt e ln e t e ∴=-=-=+，f 'Q （1）10e =->，1()202f e '=-<，∴112t <<，故11() 2.25222t min F x e t e =+=+>+=， 即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．（16分） 解法二：由于函数()y f x =和()y g x =的偏差：()|()()|xF x f x g x e lnx =-=-，(0,)x ∈+∞， 令1()xF x e x =-，(0,)x ∈+∞；令2()F x x lnx =-，(0,)x ∈+∞， 1()1x F x e '=-Q ，211()1xF x x x-'=-=，1()F x ∴在(0,)+∞单调递增，2()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 11()(0)1F x F ∴>=，22()F x F …（1）1=， 12()()()2xF x e lnx F x F x ∴=-=+>，即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2（16分）20．（16分）设数列{}na 的前n 项和为nS ，23nnS a +=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}nb 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由23n n S a +=，① 得1123n n S a --+=，(2)n …，② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即11(2)3n n a a n -=…． 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即11()3n n a -=，*n N ∈．（2）①由11()3n n a -=，可得对于任意*n N ∈．有2111211111()()()333333n n n n n b b b b n ----+++⋯+=+-，③则22212311111()()()363333n n n n n b b b b n -----+++⋯+=+-，2n …，④ 则2311123111111()()()()233333n n n n n b b b b n -----+++⋯+=+-，2n …，⑤ 由③-⑤得21(2)n b n n =-…， 对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈．②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则1121214(1)333n n n n nn n n c c +-+---=-=， 所以当1n =时，1n nc c +=，即12c c =，当2n …时，1n n c c +<，即{}n c 在2n …且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>⋯，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈， 由于12345c c c c c =>>>>⋯， 可不妨设s p r <<，则2(*)psrc c c =+，即1112(21)2121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈，且s p r <<，则1s p -…且2p …， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -…，即12212333s p s p ----…， 因为12103r r r c --=>，所以11122(21)2121233333p s r p p s r p --------=+>，即122(21)2333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p …且*p N ∈，所以2p =或3p =， 当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r …时，21r c c <=， 此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意．当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==， 代入(*)式得19r c =．因为数列{}nc 在2n …且*n N ∈上单调递减，且519c =， 4r …，所以5r =．综上所述，数列{}nc 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g．【解答】证明：连结AC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠． ⋯⋯⋯⋯（3分） 因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =． 于是EAB ACD ∠=∠． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠． 所以ABE CDA ∆∆∽． 于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD =g g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 所以2AB BE CD =g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）四.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值．【解答】解：（1）由21[]32A =，det （A ）223110=⨯-⨯=≠，所以A 可逆， 设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则21103201a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ， 则21a c +=，20b d +=，320a c +=，321b d +=， 解得2a =，1b =-，3c =-，2d =，∴121[]32A --=-． （2）由AXB =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴12x y =⎧⎨=⎩．， （也可由AX B =得到214327x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即24327x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1)2x y =⎧⎨=⎩． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 在曲线4cos :3sin (x C y θθθ=⎧⎪=⎨⎪⎩为参数）上，直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），求P 到直线l 距离的最小值．【解答】解：直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），的普通方程为：60x y --=．P 到直线l 距离为：|4cos 3sin 6||5cos()6|22θθθα--+-=，其中3tan 4α=． 当cos()1θα+=时，表达式取得最小值：22．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y zyzzx xy x y z ++++…． 【解答】证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y y xyz zx z x y z +=+…① 同理可得 2y z xz yx x +…② 2z x xy yz y +…③当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得：111x y z yz zx xy x y z++++… 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上．（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值；（2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置．【解答】解：（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(4A ，0，0)，1(4,0,22)A ，1(0,4,22)B ， 因为113A M MB =，所以(1,3,22)M ，所以1(4,0,22)CA =u u u r ，(3,3,22)AM =-u u u u r，所以111439cos ,39||||2426CA AM CA AM CA AM -〈〉===-u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u r g ． 所以异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值为3939； （2）由(4A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0,0,22)C ， 得(4,4,0)AB =-u u u r，1(4,0,22)AC =-u u u u r，设平面1ABC 的法向量为(,,)n a b c =r，由100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g 得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为(1,1,2)n =r， 因为点M 在线段11A B 上，设(,4,22)M x x -，所以(4,4,22)AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒， 所以1|cos ,|sin302n AM 〈〉=︒=u u u ur r ，由||||||cos ,n AM n AM n AM =〈〉u u u u r u u u u r u u u ur r r r g ，得221|1(4)1(4)222|2(4)(4)82x x x x -+-+=-+-+gg g g g ，解得2x =或6x =，为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点(2,2,22)M 是线段11A B 的中点．26．在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：OA OB u u u r u u u rg的值； （2）证明：FM AB u u u u r u u u rg 为定值． 【解答】解：（1）设221212(,),(,)44x x A x B xQ 焦点(0,1)F∴221212(,1),(,1)44x x AF x FB x =--=-u u u r u u u rQ AF FB λ=uu u r u u u r ∴122221221212110114444x x x x x x x x λλλ-=⎧⎛⎫⎛⎫⎪-+-=⎛⎫⎨ ⎪ ⎪-=-⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩消得 ()121212104x x x x BR x x ⎛⎫-+=≠⎪⎝⎭Q 化简整理得， 124x x ∴=-221212144x x y y ∴==g∴12123OA OB x x y y =+=-u u u r u u u rg（定值） （2）抛物线方程为21142y x y x '=∴= ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为22121122112424x x y x x x y x x x =-+=-+和即221212 1211,1 24242x x x xy x x y x x M+⎛⎫=-=--⎪⎝⎭和联立解出两切线交点的坐标为∴2222221221212121(2)(,)02422x x x x x x x xFM AB x x+---=--=-=u u u u r u u u rg g （定值）。

2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(3月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={1,2，3，4}，B={1,3，5，7}，则A∩B=______．2.在复平面内，复数1+i对应的点位于第______象限．i3.5000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70km/ℎ的汽车数量为______ ．4.袋中装有3个红球，2个白球，某人一次从中摸出两个小球，则摸出的两个小球颜色相同的概率为________．5.在一次知识竞赛中抽取10名选手，成绩分布情况如表：成绩4分5分6分7分8分9分10分人数分2013211布则这组样本的方差为_______.6.如图所示的流程图中，输出的结果是______ ．7. 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中(1)若a ⊥α，a ⊆β，则α⊥β； (2)若a//α，α⊥β，则a ⊥β；(3)若a ⊥β，α⊥β，则a//α； (4)若a ⊥α，b ⊥α，则a//b ．其中所有真命题的序号是______．8. 《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪，书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加______ 尺．(一月按30天计)9. 若sinα=3sin(α+π6)，则tan (α+π12)=____.10. 如图，已知O 为矩形 P 1P 2P 3P 4 内的一点，满足 OP 1=4，OP 3=5，P 1P 3=7，则 OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______11. 方程(12)x =|lnx|的解的个数为______．12. 若a >0，b >0，且1a +1b =√ab ，则a 3+b 3的最小值为______ ．13. 如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD ⊥AB ，AD =DC =12AB =2，点N 是CD 边上一动点，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．14. 当x ∈[−2,1]时，不等式ax 3−x 2+4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______．二、解答题（本大题共12小题，共162.0分）15. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsin(B +C)=acos(π6−B)．(1)求tan(B +π4)的值；(2)若b 2=ac ，△ABC 的面积为3√3，求△ABC 的周长．16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，ΔPBC 为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC ⊥PB ，平面PBC ⊥平面ABC ．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)已知E为PO的中点，F是AB上的点，AF=λAB.若EF//平面PAC，求λ的值．17.如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，EF将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍．设EC=x百米，EF=y百米．(1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置；(2)试求x的值，使直路EF的长度y最短．18.已知点A(0,−2)，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，求ΔOPQ面积的取值范围。

2020届高三阶段检测（二）语文一、语言文字运用（12分）1．在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是(3分) ()到了宋代，苏东坡写雨总是令人▲ 。

他用诗写雨：“黑云翻墨未遮山，白雨跳珠乱入船。

”将夏天的雨写得▲ ，也是一派大家风度。

他用词写雨：“归去，也无风雨也无晴。

”这风雨自然不只是自然界的风雨。

到了▲ 的境界，人，已经活在了风雨之上。

A．无与伦比淋漓尽致超然物外B．无法企及穷形尽相超然物外C．无与伦比穷形尽相随心所欲D．无法企及淋漓尽致随心所欲2．在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是(3分) ()真正美丽的生命执着地追求着真善，，，。

，，，永远百折不回、乐观坚强地奔向大海，直到最后一滴。

①涂改自己灵动的线条②使之化为尘埃③除非用烈火将其燃为灰烬④否则美丽的生命就像一条清澈的小溪⑤它不会趋炎附势地扭曲自己的形象⑥更不会让自己美丽的底色染上尘污A．①③②④⑤⑥B．①⑥③②⑤④C．⑤①⑥③②④D．⑤③②④①⑥3．下列选项中，名句使用最恰当的一项是（3分）（）A．小周毕业多年后邂逅当年同窗好友，感慨地说：“曾经沧海难为水，除却巫山不是云。

”B．吴先生面对争强好胜、惹是生非的小孙子，谆谆教诲道：“力行近乎仁，知耻近乎勇”。

C．郑老师深谙“不愤不启，不悱不发”之道，因此教学中十分注重引导学生自主思考。

D．王助理的方案被领导否定，心情郁闷，同事安慰说：“夏虫不可语冰，井蛙不可语海。

”4．下面是作家迟子建参与讨论“现实主义”创作时的一段叙述，对此理解不正确的一项是(3分)()我曾去煤矿采访过，所以在写作以煤矿为背景的《世界上所有的夜晚》时，落笔就不慌张。

为了创作《额尔古纳河右岸》，我追踪放养驯鹿的鄂温克部落一直到人迹罕至的大兴安岭深处，体味他们的生活，倾听他们原生态的歌声。

写作《群山之巅》时，我更是调动了多年的生活储备，否则，我小说中的龙盏镇就没有生机，无法建构。

A．好作品都与现实密不可分。

江苏省海安高级中学2020届高三英语第二次模拟考试试题第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题;每小题1分，满分5分）听下面5段对话.每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What kind of pet does the woman suggest?A. A dog.B. A fish。

C。

A cat.2. Which place is the woman looking for？A。

A grocery store。

B. A movie theater。

C. The railway station.3。

What did the man buy for the woman's birthday?A. A fruit cake。

B。

Some apple pies. C. A bunch of flowers。

4. What is the relationship between the speakers？A。

Classmates. B。

Parent and child。

C. Teacher and student。

5. Where is the woman?A。

In a car. B。

In an elevator（电梯）. C. In a bookstore。

第二节(共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白.每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题.6。