高等数学试题2

高等数学试题及其参考答案一、填空题（每小题2分，共１０分）________ １１．击数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋──────的定义域为_________√１－ｘ2_______________。

２．击数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝_____________。

４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。

ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ4二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的括号内，１～１０每小题3分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设击数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－──②１＋──③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄ ｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘ ｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ）-1① ０ ② １ ③ ２ ④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3 ＋ ｙ3 ＋ ｘ2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn ＋１ ∞９．设ａn ≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ）n→∞ａn=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／──────求ｙ' 。

《高等数学》专业 学号 姓名一、判断（每小题 2 分，共 20 分）1. f(x)在点x 0处有定义是f(x)在点x 0处连续的必要条件. ( )2. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. ( )3. y=f(x)在x 0处可导,则y=|f(x)|在x 0处也可导. ( )4. 初等函数在其定义域内必连续. ( )5. 可导函数f(x)的极值点一定是f(x) 的驻点. ( )6. 对任意常数k,有⎰dx x kf )(=k ⎰dx x f )(. ( )7. 若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界. ( )8. 若f(x,y)在区域D 上连续且区域D 关于y 轴对称,则当f(x,y) 为关于x 的奇函数时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(=0. ( )9. )(y '2=-2x -e x的通解中含有两个独立任意常数. ( )10. 若z=f(x,y)在P o 的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P 0连续. ( )二、填空（每空 2 分，共20 分）1.∞→x lim [xsin x 1+x1sinx+(x x +2)x ]= . 2. 函数f(x)=x x -3在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值ξ= .3. 设f(x)=⎩⎨⎧≥+<00x x a x e x 当a= 时,f(x)在x=0处连续.4. 设z=e y x 22+ ,则dz | (0,0)= .5. 函数f(x)=e x -x -1在 内单调增加;在 内单调减少.6. 函数32y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极值.7.dx d⎰ba x 2sin dx = 其中a,b 为常数.8. f '(x)=1且(0)0f =,则⎰dx x f )(= . 9.若I=⎰⎰102),(xx y x f dx dxdy 交换积分次序后得 .三、计算（每小题 5 分,共 40 分）1. 求0lim →x (21x -xtgx1) ； 2. dt t t x e ⎰1ln +dt t y )3(cos 1⎰+=2,求dy ； 3. 求dx x x ⎰+)1(1； 4. 求dx x ⎰--143111 ； 5. 求dx xe x ⎰∞+-02； 6. 设z=ln(x 2+y 2) 求x z ∂∂,y x z ∂∂∂2； 7. 计算 I=⎰⎰D xdxdy .其中D 是由圆x2+y 2=4围成的区域；8. 求微分方程-ydx+(x+y 3)dy=0的通解.四、应用题(每题7分,共14分)1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.2. 求由y=x1,x=1,x=2与x 轴所围成的图形的面积及该图绕x 轴旋转一周的旋转体的体积.五、证明(本题6分)证明:当x >0时,不等式1+x x +>121成立. 高等数学参考答案一、判断正误（每题2分，共20分）1 √ ；2 √ ；3 ╳ ；4 ╳ ；5 √ ； 6╳ ； 7 √ ； 8 √ ； 9 ╳ ； 10 ╳.二、填空题（每题4分，共20分）1. 21e +；2. 2 ；3. 1 ；4. 2dx ；5.[0)∞，+，,0]∞（- ；6. 230b ac -<；7.0； 8. 212x c + ； 9. 10(,)y dy f x y dx ⎰⎰ .三、计算题与证明题（共计60分）1. 2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=20tan lim tan x x x x x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭=30tan lim x x x x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭=20sec 1lim 3x x x →-⎛⎫= ⎪⎝⎭202sec tan 1lim 63x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2. 方程两边同时对x 求导得：则 ln (cos 3)0xx x e e y y e'++= (cos 3)0x y ++=cos 3x y y '=-+ cos 3x dy dx y =-+3. ⎰=21d x +⎰=2=c 4、 令212tx t dx tdt ==-=- 当 34x =时12t =；当1x =时0t = 原式=11221t dt t --⎰=112200122111t dt dt t t =+--⎰⎰ =1202[ln 112ln 2t t +-=- 5.⎰⎰∞+-∞+-'-=0202)21(dx e x dx xe x x ⎰∞+-+∞----=0202)21()21(dx e e x x x 414102=-=+∞-xe 6. 2222222)(1y x x y x y x x z +='++=∂∂ 2222222)(42)(2y x xy y y x x y x z +-=+-=∂∂∂ 7.令 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，⎰⎰⋅=πθθ2020cos rdr r d I 0]31[][sin cos 2032020202=⋅==⎰⎰r dr r d ππθθθ8.解： 21y x y dy dx =-)(121c dy e y e x dyy dy y +⎰⎰⎰=-)21(2c y y +=∴ 原方程的通解为：)21(2c y y x +=四、（每题7分，共14分）1.解：设长方形的长和宽分别为x 和y ，面积为s ，则202=+y x 即 y x 220-= 2220y y xy s -== )0(>y0420=-='y s ，得5=y04<-=''s∴当长10=x M ；宽5=y M 时，面积最大。

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。

解：选D 。

()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。