§3.4基本不等式第2课时

[小组合作型] 利用基本不等式比较代数式的大小
(1)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋ bc＋ca 的大小关系是______．
(2)给出下列命题： ①若 x∈R，则 x＋1x≥2； ②若 a＞0，b＞0，则 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b； ③若 a＜0，b＜0，则 ab＋a1b≥2； ④不等式yx＋xy≥2 成立的条件是 x＞0 且 y＞0.其中正确命题的序号是 ________．
用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
图 3-4-1 现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每 间虎笼面积最大？
【精彩点拨】 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题是在 4x＋6y＝36 的前提 下求 xy 的最大值．
【自主解答】 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
(2)只有当 x>0 时，才能由基本不等式得到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a>0，b>0 时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有 lg a>0，lg b>0，故 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b 不一定成立，故②错误；当 a<0，b<0 时，ab>0，由基本不等式可得 ab＋a1b ≥2 ab·a1b＝2，故③正确；由基本不等式可知，当yx>0，xy>0 时，有yx＋xy≥2 yx·xy ＝2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故④错误．
而 ab≤a＋2 b，故
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
不等式的证明

4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4800 z 150 120( 2 3 x 2 3 y ) =240000+720(x+y) 3
由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,
因此xy=1600,
由基本不等式与不等式性质，可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m 则 2(x+y)=36，x+y=18 由
xy x y 18 9 2 2
矩形菜园的面积为xy m2 xy≤81
可得
等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的 面积最大，最大面积为81m2
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容 积为4800m3，深为3 m。如果池底每平方米的造价为 所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形 150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能 时总造价最低,最低造价为297600元 使总造价最低？最低造价为多少元？ 解：设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z元,根据题意，有

第三章 不等式3.4.2 基本不等式第二课时（王乙橙）一、教学目标1.核心素养: 通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.2.学习目标（12a b+≤（2）熟练应用基本不等式求最值；（3）能够应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 3.学习重点通过师生共同研究，进一步掌握基本不等式2a b+≤，并会用此不等式求最大、最小值. 4.学习难点基本不等式求最值中取等的条件；“一正二定三相等”中定值的运用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1.基本不等式ab ≤a+b2及其应用，注意常用的一些结论：(1)a 2+1 2a (2)a +1a 2(a >0) (3)b a +a b 2(a,b 同号) （4）2___()2a b ab +2.预习自测1、已知x 、y 都是正数，xy =15，则x ＋y 的最小值为答案：2、已知x 、y 都是正数，x +y =15，则xy 的最大值为 答案：22543、已知x 、y ＞0，且x +y =1,则P =x +1x +y +1y 的最小值为 .答案：5 二、解答题3、设x 、y 满足x +4y =40,且x,y ∈R +,求lg x +lg y 的最大值. 解析：2,,4404040,10.lg lg lg(404)lg lg(404)lg 4(10)0,10.100(10)lg 4(10)lg 4lg1002210,5,20lg lg 2.x y R x y x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y +∈+=∴=-><∴+=-+=-⋅=-><∴->-+⎡⎤∴-≤⨯==⎢⎥⎣⎦-===∴+即又等号成立时的最大值为（二）课堂设计 1.知识回顾比较两个不等式222a b ab +≥2a b+的异同点 2.问题探究问题探究一 如何利用函数单调性求最值●活动一 例1 已知函数f (x )＝x ＋ax (a >0).(1)证明：f (x )在区间(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数； (2)求f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值. 【解析】 (1)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)＋(a x 2－ax 1)＝(x 2－x 1)＋a (x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－ax 1x 2)＝(x 2－x 1)x 1x 2(x 1x 2－a )，当0<x 1<x 2≤a 时，x 1x 2<a . ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). 当x 2>x 1≥a 时，x 1x 2>a .∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1).故f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. ∴函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的图像如图所示.(2)由(1)可知f (x )在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (a )＝2a .【点拨】基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b 均大于0)求最值(值域)时，必须具备“一正、二定、三相等”的条件.如果“相等”条件不具备就可能造成错解.为了解决这个问题，我们引进一个函数f (x )＝x ＋ax (a >0)，利用它的单调性来完善上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的补充. ●活动二 思考：函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值是不是2？如不是，应为多少？ 【解析】 不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1，但此式不成立.应用单调性求解：设t ＝x 2＋2(t ≥2)，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴最小值为2＋12＝322. ●活动三 思考：求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值. 【解析】 令t ＝sin x ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1].由例1(1)知函数f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,2]上是单调减函数，∴f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,1]上也单调递减.∴f (t )≥f (1)＝5，故y min ＝5.问题探究二 如何利用基本不等式求代数式的最值●活动一 思考：x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值. 【解析】 ∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·(x ＋2y )＝3＋x y ＋2y x ≥3＋2x y ·2yx ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y xx ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝2－1y ＝1－22时取等号.故1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.●活动二 思考：x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.方法一 【思路分析】 减少元素个数.根据条件1x ＋9y ＝1解出y ，用只含x 的代数式表示y ，代数式x ＋y 转化为只含x 的函数，再考虑利用基本不等式求出最值. 【解析】 由 1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.∵x >0，y >0，∴y >9. x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0， ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号. 又1x ＋9y ＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 【思路分析】 在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法.【解析】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x>0，y>0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号.又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.【点拨】(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小.多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值.(2)注意“1”的代换技巧.(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2 4.∴1x＋1y≥2xy≥82＝4 2.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立.●活动三及时回馈：(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值.【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋2 2.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.问题探究三●活动一思考：若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的范围；(2)a＋b的范围.【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3，即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号.(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.令t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 【点拨】利用方程的思想是解决此类问题的常规解法. 第②问也可用如下方法解之：由已知b ＝a ＋3a －1>0， ∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6. ●活动二 思考：正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________.【解析】 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18. 问题探究四 利用基本不等式证明不等式●活动一 思考：已知a,b,c,d 都是实数，且+=1,+=1,求证：≤1.【证明】 ∵a,b ，c ，d 都是实数，所以22222222222a cb d ac bd ac bd ac bd ++++++≤+≤+=又∵+=1,+=1,∴≤1.●活动二 思考：a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.【解析】 b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ). ∵a >0，b >0，c >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.同理，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2. ∴b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.【点拨】解题过程中，把数、式合理地分拆，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧.在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律.●活动三 思考：(1)已知a 、b 、c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc . (2)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】（1） 左边＝a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)≥a ·2bc ＋b ·2ca ＋c ·2ab ＝6abc ＝右边，∴不等式成立. （2）∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 3.课堂总结 【思维导图】【重难点突破】利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑. （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值. （3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”. 4.随堂检测1.下列函数中，最小值为4的函数是( )A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81 【知识点：基本不等式，取等条件】 解：C2.已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2则1x ＋13y 的最小值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3【知识点：基本不等式，对数运算性质】 解：C3. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C.5D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.4.已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：(－∞，94]5.设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，对数运算性质】解：[6，＋∞)（三）课后作业基础型自主突破1.若x，y∈R，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值()A.10B.6 3C.4 6D.18 3 【知识点：基本不等式，指数式】解：D2.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）.A.－3B.2C.3D.8 【知识点：基本不等式，取等条件】解：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C3.若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为_____.【知识点：基本不等式】解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号.答案94.已知a>3，求a＋4a－3的最小值为.【知识点：基本不等式，配凑】解：75.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值.【知识点：基本不等式】 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立. 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 能力型 师生共研1. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.2.已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为（ ）A.72B.4C.16136D.172【知识点：基本不等式】解：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号.又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D3.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【知识点：基本不等式】解 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案：64.设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x ＝32，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫即x 2＝1＋y 22时，x 1＋y 2取得最大值324.探究型 多维突破1.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94 【知识点：基本不等式综合应用】解：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值. z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C2.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.1B.6C.9D.16【知识点：基本不等式综合应用】解：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1， 所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ， 所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B自助餐1.设0,0a b >>，若2是22a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为( )A.8B.4C.2D.1【知识点：基本不等式，等比数列】解：D2.（2013·重庆卷）(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92 C.3 D.3 22【知识点：基本不等式】解：B因为－6≤a≤3，所以(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时等号成立，故选B.3.设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为()A.3＋2 2B.6C.4 2D.2 2【知识点：基本不等式】解：A4.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n使得a m a n＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32 B.53 C.94 D.256【知识点：基本不等式，等比数列】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). 因为a m a n＝4a1，所以q m＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以1m＋4n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝32.当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值等于32.答案：A6.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.6，＋∞)【知识点：基本不等式，恒成立】解：D7.已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：由a ＋b 2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤ 2×(3x )2＋(2y )2＝2×3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号. 答案：2 58.若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：因为不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，所以16≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y min .令f (x )＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y (a >0)，则f (x )＝a ＋4＋ay x ＋4xy ≥a ＋4＋2ay x ·4xy ＝a ＋4＋4a ，当且仅当x y ＝a2时取等号，所以a ＋4a ＋4≥16，解得a ≥4， 因此正实数a 的最小值为4. 答案：49.下列命题中正确的是________(填序号). ①y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－43； ②y ＝sin 2x ＋4sin 2x 的最小值是4； ③y ＝2－3x －4x (x ＜0)的最小值是2－4 3. 【知识点：基本不等式综合应用】解：①正确，因为y ＝2－3x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x ＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立.②不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋4 t，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.③不正确，因为x＜0，所以－x＞0，最小值为2＋43，而不是2－4 3. 答案：①10.已知a>b>c，若1a－b＋1b－c≥na－c，求n的最大值.【知识点：基本不等式】解：方法一∵1a－b＋1b－c≥na－c，且a>b>c，∴n≤a－ca－b＋a－cb－c＝(a－c)2(a－b)(b－c).∵对a、b、c上式都成立，∴n≤[(a－c)2(a－b)(b－c)]min.又∵(a－c)2(a－b)(b－c)≥(a－c)2[(a－b)＋(b－c)2]2＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.方法二∵a>b>c，∴a－ca－b＋a－cb－c＝(a－b)＋(b－c)a－b＋(a－b)＋(b－c)b－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.11.（2015高考重庆）设,0,5a b a b>+=,.【知识点：基本不等式】解：23由222ab a b≤+两边同时加上22a b+得222()2()a b a b+≤+两边同时开方即得：a b+≤0,0a b>>且当且仅当a b=时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）. 12.为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10。

2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前