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微分几何的基本概念与应用微分几何是一个研究曲线、曲面及其通一化的理论，它是现代数学与现代物理学的重要分支之一。
在微分几何中，我们将曲线、曲面或高维流形等几何对象看作是具有流形结构的集合，并研究这种结构的性质。
微分几何有广泛的应用，例如在物理学的广义相对论中，描述时空的曲度；在计算机图形学中，处理三维图形的形状及其变换等。
微分几何主要包括流形、向量场、张量场等概念，下面将进行详细介绍，并简要讨论其应用。
1. 流形流形是微分几何研究的主要对象，它是一个具有局部欧几里得空间特征的空间。
流形可以用一族图（也称为图册）覆盖，每个图可以看作是一个欧几里得空间的局部，每个图与其他图有重叠的部分，使得整个流形可以作为一个覆盖了欧几里得空间的集合。
该定义下的流形可以是曲线、曲面或高维的流形。
例如，一个二维球面可以用两个正交的半圆覆盖。
因此，在每个半圆上，我们可以定义一个坐标系，使得球面的点可以表示为两个参数的函数。
这种表示方式称为参数化，每个参数代表球面上的一个度量。
使用这种方式，我们可以定义球面上的曲线长度、面积等概念。
2. 向量场在流形上定义的向量可以看作是在每个点的切空间（即在该点处和流形相切的欧几里得空间）上的向量。
在微分几何中，我们研究的是向量场（即在整个流形上定义的向量的集合），其通常由局部欧几里得坐标系或切向量场定义。
向量场对于微分几何的应用非常广泛，例如在物理学中，我们可以用向量场来描述质点的运动轨迹及其速度。
在三维图形的计算机图形学中，我们可以用向量场来表示顶点的法向量、图像的形状变换等。
3. 张量场张量在微分几何中具有重要的地位。
在流形上定义的张量是循环多线性映射，可看作是向量的向量。
张量的级别（即张量包含的可以表示为零个或多个向量和共形的数）称为张量的阶。
张量和向量不同，因为它们不仅可以表示在切空间中的量，还可以表示在切空间之间的量。
张量场在应用领域中也具有重要地位，例如在天体物理学中，广义相对论描述的时空曲度可以用曲率张量来表示；在计算机视觉中，我们可以使用两个张量场来表示图像的方向和曲率。
微分几何及其在相对论物理学中的应用作为一门研究微小变化的分支学科，微分几何的发展离不开数学和物理学两个学科的交叉融合。
它不仅有很多深奥的理论和公式，还有很丰富的应用。
在本文中，我们将讨论微分几何的基础知识以及它在相对论物理学中的应用。
一、微分几何的基础知识微分几何是研究流形上的微分结构与拓扑性质的数学分支学科。
那么什么是流形呢？简单来说，流形就是在局部上看起来像欧几里得空间的空间。
例如曲面、超曲面等。
微分几何的一个重要概念是切空间，简单说就是在点上的切向量的集合。
这个概念非常重要，因为它允许我们将流形看作一个线性空间。
微分几何中的另一个重要概念是联络。
联络允许我们定义方向和曲率的概念。
方向和曲率对于理解物理世界中的各种现象非常重要。
二、微分几何在相对论物理学中的应用将微分几何应用于物理学的领域，最著名的莫过于德国数学家爱因斯坦创建的广义相对论。
广义相对论是一种解析经典物理学的理论框架，它描述了物质、能量和时空之间的相互关系。
广义相对论中，时空被看作是一个四维的黎曼流形，其中时间被看作第四维，它的度量由夸克度规张量所描述。
因此，广义相对论需要使用微分几何中的曲率和联络概念。
在广义相对论中，质量和能量曲率会改变时空的几何形状和测度。
由于质量和能量引起了时空的曲率，因此我们可以通过观察质量和能量的分布来测量曲率。
在广义相对论中，一个物体在弯曲的时空中的运动被称为测地线。
这种运动可以用微分几何中的切向量和联络的概念来描述。
这是广义相对论中另一个重要的概念。
总结本文给出了微分几何的基本概念和在广义相对论中的应用。
微分几何是一门充满理论和实际应用的数学学科，它在很多领域都有重要的应用，其中包括物理学、天文学、生物学和工程学等。
虽然本文只讨论了微分几何在相对论物理学中的应用，但是它的重要性和广泛性无法被低估。
高等数学中的微分几何基础概念详解微分几何是数学中一个研究空间曲面、空间曲线的分支学科，它通过微积分的手段来研究几何性质。
微分几何在工程、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在微分几何中，微分是一个核心的概念。
本文将深入讲解微分几何中的基础概念，并介绍一些重要的定理和公式。
1. 曲面的切空间切空间是微分几何中一个十分重要的概念。
它描述了一个曲面在某一点的切平面和切向量的集合。
我们可以将曲面看成一个低维空间中的子集。
在该点上，我们可以找到一个切向量和切平面，这个切向量垂直于切平面。
切平面是切向量构成的空间，它是当前点曲面的局部近似。
2. 爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定是微分几何中一个重要的记法。
它规定了当一个下标在式子中出现了两次时，那么它就代表着一个对该下标求和的操作。
据此，我们可以省略求和符号从而简化求和表达式。
在微分几何中，爱因斯坦求和约定被广泛地使用。
3. 一阶微分在微分几何中，一阶微分是我们研究的一个重要概念。
它是一种线性映射，它将一个标量场映射成一个切向量场。
一阶微分展示了曲面局部的变化率，因此在几何学上它是不可或缺的。
4. 曲面上的长度、面积和体积曲面上的长度、面积和体积是微分几何中的重要概念。
长度指的是一个空间曲线的长度，面积指的是一个平面曲面的面积，而体积则指的是一个三维曲面的体积。
在微分几何中，它们的计算是通过对弧长、曲率半径和偏微分方程进行求解得到的。
5. 积分曲线积分曲线是微分几何中一个重要的概念。
它是一个渐进曲线，它沿着向量场的方向和大小发展，并趋近于另一个点。
积分曲线描述了一个向量场在时空曲面上的发展过程。
通过积分曲线，我们可以了解空间曲面上的逐点性质。
6. 概率微分几何概率微分几何是微分几何的一个分支领域，它通过量化空间曲面上的随机性质来分析它们的变化。
概率微分几何在概率论、统计学、金融、信号处理等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，概率微分几何被用来开发新的图像处理和机器学习算法。
详解微分几何的基本定义和应用微分几何是一门研究曲线、曲面以及高维流形等几何对象的学科，它在数学、物理学、工程学和计算机科学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将从微分几何的基本定义入手，详细讲解其应用于不同领域的相关内容。
一、微分几何的基本定义微分几何主要研究的对象是流形，它是由许多小块拼合而成的几何对象。
下面我们来看一下流形的基本定义和分类。
1. 流形的定义如果一个集合能够用多个坐标系覆盖，并且在不同坐标系下的局部坐标具有连续性和许多基本性质，则称这个集合为流形。
例如，曲面是一个二维流形，三维空间则是一个三维流形。
2. 流形的分类流形根据其连续性和可微性可以分为不同类型。
其中，最常见的是可微流形，它的定义如下：如果一个流形是所有可微函数可以定义在其上的最大集合，那么这个流形就称为可微流形。
也就是说，可微流形上定义了一个切空间，该切空间是连续的，同时在不同坐标系下的变换也是连续的。
二、微分几何的应用微分几何在物理学、工程学和计算机科学等领域广泛应用。
接下来我们将以不同领域为例，简单介绍微分几何的应用。
1. 物理学中的应用微分几何在物理学中的应用非常广泛，尤其是在广义相对论中，可微流形的概念被广泛用于描述时空的曲率。
同时，微分几何的工具也被广泛应用于对引力场和宇宙学时空的建模和分析。
例如，流形的形状可以用于描述黑洞和宇宙膨胀等问题，而曲率则可以用于计算引力的方程和电磁场的等效力。
2. 工程学中的应用微分几何在工程学中的应用也非常广泛，尤其是在计算机辅助设计(CAD)和制造(CAM)领域中，流形的概念被广泛应用于描述线性和非线性的曲面和形状。
例如，通过对曲率和法线的计算，可以对某种材料的表面进行优化设计，并提高其生产效率和质量。
3. 计算机科学中的应用微分几何在计算机科学中的应用也非常广泛，尤其是在计算机视觉和机器学习领域中。
例如，利用流形和曲率计算，可以实现图像和视频的立体重建和形状估计。
同时，流形的概念也被应用于神经网络和深度学习中，用于实现对数据流形的分析和处理。
数学中的微分几何理论微分几何理论是数学中的一个重要分支，它主要对曲线、曲面及其它通常被称为“几何体”的对象进行研究。
微分几何理论的基本方法是利用微积分和线性代数的知识来分析曲率、切向量、法向量等几何量。
微分几何理论起源于十九世纪初的欧几里德几何学，但真正发展起来要追溯到十九世纪末的黎曼几何学。
黎曼几何学是基于德国数学家伯纳德·黎曼提出的一份关于非欧几里德空间的论文。
这份论文引起了震惊人心的反响，因为它推翻了许多人们一直以来都认为是真理的常识。
黎曼几何学的基本思想是，在一个曲面上任选一点，通过这个点引入一些基本量，如切向量、法向量、曲率等，并定义了一些基础概念，如曲线的弧长、切平面等。
然后用微积分和线性代数的方法考虑这些量的变化率和相互关系，得出了许多奇特的结论。
其中，最为著名的当属“黎曼曲率张量”，它揭示了在非欧几里德空间中直线不一定是最短路径这一惊人事实。
黎曼几何学的思想很快就被应用到曲线及其它几何体的研究中。
其中最为典型的例子就是考虑一个由曲线构成的曲面。
我们可以在曲面上任选一点，引入切向量和法向量，并定义曲率、曲率半径等概念。
接着，利用微积分和线性代数的方法来研究这些概念的变化率和相互关系，从而得到了曲面的许多几何性质。
除了黎曼几何学，微分几何理论还受到了分析几何学和拓扑学的影响。
分析几何学主要研究基本量的微积分性质，如导数、偏导数等。
拓扑学则主要研究几何体的性质，如连通性、欧拉数等。
这些学科的相互融合，为微分几何理论的发展奠定了坚实的基础。
微分几何理论的应用十分广泛，特别是在物理学中。
以广义相对论为例，它描述了引力场的作用，并将引力等效于一个四维的时空几何的曲率。
这种时空曲率是微分几何理论的一个重要应用，它使得广义相对论成为了当代物理学的重要分支。
总之，微分几何理论是数学中一项深奥而重要的研究领域，它主要研究曲线、曲面及其它通常被称为“几何体”的对象，并利用微积分和线性代数的方法来分析它们的几何量。
微分几何的理论与应用微分几何（Differential geometry）是研究曲线、曲面以及流形等对象的性质和应用的数学分支学科。
在现代物理学和工程学等领域中，微分几何是一门极为重要的工具性学科。
在该领域已经有许多伟大的学者付出了艰辛的探索和研究，在高维空间和广义相对论等领域中得到了广泛应用。
一、微分几何的概念及发展历程微分几何是研究曲线、曲面以及流形等对象的性质和应用的数学分支学科，起源于高斯等学者的研究。
它发展的主要难点是高维度空间的研究，由于其复杂性很大，所以在目前仍是有待深入研究的领域。
由于其应用价值极高，所以引起了许多研究者的关注和研究。
二、微分几何的重要性微分几何作为一个重要的数学分支，在现代物理学和工程学等领域中发挥着重要作用。
近年来，随着计算能力和计算机技术的提高，微分几何正在得到越来越广泛的应用。
由于其性质复杂且运算高度抽象，所以具有很强的工具性。
在大规模计算、机器学习、自然语言处理、人工智能等领域均得到了应用，尤其是在机器学习和人工智能中的神经网络的架构设计、优化方法中，微分几何学理论成为实现机器学习算法的根本基础。
三、微分几何在物理学中的应用在物理学中，微分几何扮演着非常重要的角色，特别是在空间和时间的相对性理论中。
广义相对论是利用微分几何所建立的一种描述太阳系和宇宙的理论。
在相对论框架中，重力场是动力学和几何的交互作用，可以通过几何工具来描述其性质、演化、变形等，成为广义相对论领域研究的核心。
微分几何的工具在测量、空间定位、物体运动的模拟等方面，均有着广泛的应用。
四、微分几何在工程学中的应用微分几何在工程学中的应用也非常广泛，如在许多科研领域中要求对形态进行描述和分析，用于形状识别、图像处理等领域，并且可以在地质勘查、机械制造、飞行器设计、建筑、船舶设计等领域中得到应用。
例如，在机器人定位和导航、工业机器人中的路径规划和运动装置的控制等方面，都需要用到微分几何的理论。
五、未来发展方向当前，微分几何的研究仍有很大发展空间，随着计算机技术的飞速发展、大数据技术的出现，微分几何将更好地结合实际应用场景，发挥出更大的应用价值。
微分几何中的曲线与曲面微分几何是现代数学的重要分支之一，研究的对象是曲线和曲面。
曲线与曲面是微分几何的基础概念，本文将通过介绍曲线和曲面的定义、性质和应用等方面，探讨微分几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质在微分几何中，曲线是指一条连续的路径，可以用数学模型来描述。
常用的曲线方程有参数方程、隐式方程和显式方程等形式。
1. 参数方程曲线的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中t是参数，f(t)、g(t)和h(t)是关于t的函数，描述了曲线在坐标系中的运动轨迹。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲线的几何特性。
2. 隐式方程曲线的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲线上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲线的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
3. 显式方程曲线的显式方程形式为：z = f(x, y)其中f是关于x、y的二元函数。
显式方程描述了曲线在平面上的投影，可直观地展示曲线的形状和特征。
曲线的性质包括长度、弧长、切线、曲率等。
长度是曲线上两点之间的距离，弧长是曲线上一部分的长度。
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线，切线的方向与曲线在该点的切向量方向一致。
曲率是描述曲线的弯曲程度的量，曲率越大，曲线越弯曲。
二、曲面的定义与性质曲面是三维空间中的二维对象，可以用数学模型来描述。
常用的曲面方程有参数方程和隐式方程等形式。
1. 参数方程曲面的参数方程形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中u和v是参数，描述了曲面在坐标系中的位置。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲面的几何特性。
2. 隐式方程曲面的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲面上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲面的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
数学中的微分几何与黎曼几何微分几何和黎曼几何都是数学中重要的分支领域，在研究几何形状和曲线运动等方面发挥着关键作用。
本文将介绍微分几何和黎曼几何的基本概念、理论和应用。
一、微分几何的基本概念微分几何是研究多维空间中曲线、曲面等几何对象的性质和变化规律的数学分支。
它基于微积分学的方法和概念，涉及到切线、切平面、曲率等重要概念。
1. 切线和切平面曲线是微分几何研究的基本对象之一。
在曲线上的每一点都可以有一个切线，切线代表了曲线在该点的切向。
切平面则是曲面上一个点处的切线构成的平面。
切线和切平面的研究为我们分析曲线和曲面的性质提供了基础。
2. 曲率曲率是描述曲线弯曲程度的量度。
对于平面曲线，曲率可以用切线的变化率来表示；而对于曲面，则需引入法向量和曲率矩阵等概念来描述曲面的曲率性质。
二、黎曼几何的基本概念黎曼几何是微分几何的一个重要分支，研究的是黎曼流形上的几何性质。
它引入了度量和内积的概念，并运用代数和解析方法来深入研究几何形状的本质。
1. 黎曼流形黎曼流形可以理解为一个局部与欧几里德空间同构的空间。
在黎曼流形上，定义了度量和内积，从而可以度量和计算不同点之间的距离和角度。
黎曼流形的研究使几何学的范畴得到了扩展。
2. 流形上的测地线测地线是指在流形上连接两点的最短路径。
通过运用测地线的概念，我们可以研究空间中的直线运动和最优路径等问题。
测地线在相对论等领域具有重要应用。
三、微分几何和黎曼几何的应用微分几何和黎曼几何的理论和方法在许多科学领域都有广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用：1. 相对论物理学相对论物理学是应用微分几何和黎曼几何的典型例子。
相对论理论中的时空概念建立在黎曼流形的基础上，通过测地线和度量等概念来描述质点在时空中的运动和引力的作用。
2. 图像处理和计算机视觉微分几何和黎曼几何的方法在图像处理和计算机视觉领域有着广泛的应用。
例如，曲率和切线的概念可以用于图像边缘检测和特征提取；测地线的概念可以用于图像变形和形变分析等。
周建伟微分几何讲义一、微分几何概述1.1 什么是微分几何微分几何是研究曲线、曲面及高维空间中的几何性质的数学分支。
它通过引入微分、积分和向量等工具，研究切向量、曲率、曲率线等概念，揭示了几何对象与微分方程之间的密切关系。
1.2 微分几何的应用领域微分几何在很多领域有广泛的应用，例如物理学中的广义相对论、机器学习中的降维算法、计算机图形学中的曲面建模等。
它为解决实际问题提供了数学工具和理论基础。
二、微分流形2.1 流形的定义流形是具有良好局部欧几里德结构的空间。
它可以用参数化局部坐标系来刻画，并且能够通过坐标变换进行衔接。
2.2 流形的分类根据维度的不同，流形可以分为一维曲线、二维曲面和高维流形。
高维流形的研究对于理解现实世界中的复杂结构具有重要意义。
2.3 流形上的切空间切空间是流形上每一点处切向量的集合，它与流形的局部变换相联系。
切空间的研究是微分几何的重要内容之一，可以用来描述曲线的切线、曲面的切平面等。
2.4 流形上的度量度量是流形上定义的一种距离概念，用于测量流形上两点之间的距离。
在微分几何中，度量可以用来定义曲线的长度、曲率等重要概念。
三、微分几何的基本概念3.1 曲率曲率是刻画流形弯曲程度的量度。
在一维曲线上，曲率即为曲线的弯曲程度；在二维曲面上，曲率包括高斯曲率和平均曲率等。
3.2 平行性平行性是流形上切向量平行的概念。
通过引入仿射联络，可以在流形上定义平行性的概念，从而研究平行移动、测地线等重要概念。
3.3 高斯-博内定理高斯-博内定理是微分几何中的重要定理之一。
它描述了曲面上的曲率和曲面内外几何关系之间的联系，对于研究曲面的性质具有重要意义。
3.4 微分形式微分形式是微分几何中的关键工具，用于描述切向量场和流形局部性质。
微分形式的引入使得微分几何与微分方程能够建立起联系。
四、微分几何的应用案例4.1 物理学中的应用微分几何在物理学中有广泛的应用，例如广义相对论中的时空曲率、黑洞的几何性质等。
微分几何及其在机械工程中的应用微分几何是数学中的一个重要分支，它研究的是曲线、曲面等几何对象的性质和变化。
在机械工程中，微分几何的应用广泛，可以用于分析机械系统的运动和变形，优化机械设计，并且对于机器人的运动规划和控制也有着重要的作用。
微分几何的基本概念是曲线和曲面的切线和法线。
对于一条曲线，我们可以通过计算其切向量来描述其在某一点的切线方向和速率。
切向量的方向是曲线在该点的切线方向，而切向量的模长则代表了曲线在该点的切线速率。
同样地，对于一个曲面，我们可以通过计算其法向量来描述曲面在某一点的法线方向和变化率。
在机械工程中，我们经常需要研究机械系统的运动和变形。
通过应用微分几何的方法，我们可以分析机械系统的运动学和动力学特性。
例如，在分析机械系统的运动学时，我们可以利用曲线的切向量来描述机械系统的运动轨迹和速度。
而在分析机械系统的变形时，我们可以利用曲面的法向量来描述机械系统的形变和应力分布。
微分几何还可以用于优化机械设计。
例如，在设计机械零件时，我们经常需要考虑其形状和尺寸对机械系统性能的影响。
通过应用微分几何的方法，我们可以计算出机械零件在不同形状和尺寸下的性能指标，从而优化设计方案。
微分几何在机器人的运动规划和控制中也有着重要的应用。
机器人的运动规划就是确定机器人如何在给定环境中移动以完成特定任务。
通过应用微分几何的方法，我们可以建立机器人的运动模型，并计算出机器人的运动轨迹和速度。
而机器人的运动控制则是实现机器人按照规划的轨迹和速度进行运动的过程。
通过应用微分几何的方法，我们可以设计出适合机器人运动控制的算法和控制器。
微分几何在机械工程中有着广泛的应用。
它可以用于分析机械系统的运动和变形，优化机械设计，并且对于机器人的运动规划和控制也起着重要的作用。
通过应用微分几何的方法，我们可以更好地理解和解决机械工程中的问题，提高机械系统的性能和效率。
因此，微分几何在机械工程中的应用具有重要的意义。
微分几何的基本概念： 一、一些重要的基本概念： 1. 平面上的测地线是：曲线上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。
这样，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以，平面上的测地线就是直线。
实际上，测地线的概念是平面上的直线的概念的推广。
我们可以从以下几个定理来理解这个推广：定理1 曲面上的一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量失曲面的法向量。
定理2 对于曲面上的任意一点P 以及在店P 的任意一个单位切向量V ，在曲面上必存在唯一的一条测地线通过点P ，并且以V 为它在点P 的切向量。
平面上的直线具有这个性质。
2. 确定一个直纹面的要素有：所谓的直纹面是指单参数直线族所构成的曲面。
正螺旋面就是一个直纹面，圆柱面也是一个直纹面。
确定一个直纹面要有两个要素：一条曲面r=a(u)，以及沿这条曲线定义的一个非零向量场l(u).经过每一点a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一条直线，它们所构成的曲面是 r=r(u,v)=a(u)+vl(u)曲线a(u)称为直纹面的准线，而v_曲线称为直纹面的直母线。
3. 曲线的曲率公式为||r, 空间曲线的基本公式是 . ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγτακββκα )()()()(s s s s ；这是著名的伏雷内公式如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的 、双方连续的和在上映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面．平面上的点满足的条件为v u r r ⨯在),(00v u 点不等于零．4、 切平面方程为0)),(),,(),,((000000=-v u r v u r v u r R v u ． 坐标曲线正交的条件为0=∙=y x r r F ． du ：dv=1：2和（-1）：（-2）表示的两切方向之间关系为平行． 球面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 旋转面的坐标曲线网正交． 5. 两个曲面之间的一个变换是等距的，则对应的面积关系为相等, 如果n r c n q b n p a ⨯=⨯=⨯=,,，那么c b a,,位置关系是共面, )(s r 具有固定方向与r r ⨯=0 的关系是充分条件 。
6. 一次函数b t a t r+=)(（t 为参数 ,a<t<b ，b a ,为常向量）的图象是 一直线, 曲线的曲率和挠率与参数的选择关系是无关, 球面曲线的法面一定过球心, 过曲面上正常点处坐标曲线的个数为2。
7. 曲面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 可展曲面有三种类型：柱面，锥面，切线曲面, 两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当选择参数后，它们具有相同的第一基本形式, 球面曲线的法面一定过球心．（1） 称二次微分式>=<)(),())(),((u dP u dP u dP u dP I 为曲面S 的第一基本形式。
（2） 记>∂∂=<=n u P h L ,/21211，M=>∂∂∂=<n u u P h ,/21212，N=>∂∂=<n u P h ,/22222我们称2222221212212122121,/,/2,/),(),(du n u P du du n u u P du n u P du du N MM L du du dP dP >∂∂<+>∂∂∂<+>∂∂=<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 为S 在),(21u u P 处的第二基本形式，称L ，M ，N 为第二类基本量。
8．曲线的参数方程：由矢量分析可知，若矢函数],[),(21t t t t r r ∈=中的矢量r 为半径，且在区间],[21t t 上连续，则矢径终点的轨迹一般为一条空间曲线，且)(t r 的坐标分量表达式就是该曲线的参数方程。
即若)}(),(),({)(t z t y t x t r =对应一条空间曲线Γ，则⎪⎩⎪⎨⎧=∈==)(],[),()(21t z z t t t t y y t x x 为Γ的参数方程。
9． 几种特殊的矢函数：（1）矢函数)(t r 为定长变矢的充要条件是0='⋅r r 。
（2）不为零的变矢 )(t r 为定向变矢 的充要条件是0='⨯r r 。
（3）若0≠'⨯r r ，则变矢 )(t r 平行于某一平面的充要条件是0),,(='''r r r 。
二 、 包络面：如果圆222R y x =+（R 是常数）是直线族0=++C By Ax 的包络，那么这个直线族一定是圆的切线族，所求条件是2222)(C B A R =+。
曲线论基本定理 给定区间 I = (a , b ) 上的连续可微函数`κ(s ) > 0 和连续函数`τ(s ) ，则在 E 3 中① 存在弧长 s 参数化曲线 C : r = r (s ) ，使其曲率函数 κ(s ) =`κ(s ) ，并且其挠率函数 τ(s ) =`τ(s ) ；② 上述曲线 C 在合同意义下是唯一的．曲线论基本定理的考虑对象实际上是无逗留点的正则曲线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证明将分成若干步骤进行．曲线论基本定理证明的过程中在本质上需要用到适当的微分方程组求解的存在唯一性结果．——只要考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微分运算的关系，并注意到Frenet 公式．例1 求平面族01sin sin cos =--+λλλz y x 的包络面)(∞<<-∞λ。
解答：λ∂∂=0)1sin sin cos (--+λλλz y x =λλλcos cos sin z y x -+-， 于是，λλs i n c o s )(x z y =-。
令λc o st x =， 则λs i nt z y =-。
代入平面族的方程，可得1=t ，因而1)(,sin ,cos 22=-+=-=z y x z y x λλ，这就是包络面的方程发。
又),s i n,(c o s ),,(z z z y x λλ+= =)1,1,0()0,sin ,(cos z +λλ， 所以这个包络面是一个柱面。
例2 求半径为R ，球心位于圆周⎩⎨⎧==+0222z a y x 上的球面族的包络面，这里R ，a 全是正常数。
解答： 该球面族即为2222)s i n ()c o s (R z a y a x =+-+-λλ。
对参数λ求导，有λλc o s s i ny x =。
令λcos )(t a x +=，则λsin )(t a y +=，代入球面族方程，有 222z R t -=， 222)(t a y x +=+，=at 2 22y x +222a z R -+-。
两边平方后，有包络面方程222222222)()(4a R z y x z R a --++=-。
练习1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z=t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 111z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r =在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2000ct bt a t r = ，切线为230020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-， 法平面为 0)(3)(2)(30202000=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。
3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。
证明 'r= {-a θsin ,a θcos ,b},设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos=22||||'ba be r k r +=⋅ 为常数，故ϕ为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。
4. 求悬链线r ={t，a ta cosh }（-∞∞ t ）从t =0起计算的弧长。
解 'r = {1，a t sinh }，|'r | =at2sinh1+ = a tcosh ， ｓ＝atta ta dt sinh cosh=⎰ 。
5．求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3ay = 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{223xa a x x ，曲面与两平面3a y = 与y = 9a的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222xa ax -，｜'r ｜＝444441xa a x ++＝22222x a a x +，所求弧长为a dx x a a x s a a 9)2(22322=+=⎰ 。
6. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。
解 'r = { -a t sin ,a t cos ,b }，s =t b a dt r t220|'|+=⎰，所以22ba s t +=，代入原方程得 r ={a cos 22ba s +, a sin 22ba s +,22ba bs +}7.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。
解 由θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y 知'r={)('θρθcos -θθρsin )(，)('θρθsin +θθρcos )(}，|'r| =)(')(22θρθρ+，从0θ到θ的曲线的弧长是s=⎰θθ0)(')(22θρθρ+d θ 。
求平面族的包络面，其中每个平面到n 个确定点的距离之和为定植。
解答： 若),,(i i i i z y x M ),2,1( =i 是已知点。
取平面的法式方程：0c o s c o s c o s =-++p z y x γβα。
由点),,(i i i i z y x M 到平面的距离：p z y x d i i i i -++=γβαc o s c o s c o s 。
由问题的条件==-++∑∑∑===b np z y x ni i ni i ni i 111cos cos cos γβα常数。
将这个关系式写成n b p n z n y n x ni i ni i ni i //c o s /c o s /c o s 111=-++∑∑∑===γβα。
这个条件说明了一个事实：具有坐标为nxni i∑=1，nyni i∑=1，nzni i∑=1的点与族中所有平面皆有同样的距离；因而，包络面是具有中心在该点的球面。
