一个新的混沌系统及其共存吸引子的研究

第1篇实验名称：电学元件伏安特性测量与非线性电路混沌现象研究实验日期：2023年X月X日实验地点：物理实验室实验人员：XXX、XXX、XXX一、实验目的1. 研究电学元件的伏安特性，了解其电流与电压之间的关系。

2. 分析非线性电路混沌现象，探究混沌产生的条件和影响因素。

3. 提高实验操作技能，培养科学思维和严谨态度。

二、实验原理1. 伏安特性：电学元件的伏安特性是指电流与电压之间的关系。

通过测量不同电压下元件的电流值，可以绘制出伏安特性曲线，从而了解元件的性质。

2. 非线性电路混沌现象：非线性电路中的混沌现象是指系统在某一初始条件下，随着时间的推移，其状态轨迹会呈现复杂、无规律的运动。

混沌现象具有敏感依赖初始条件、长期行为不可预测等特点。

三、实验仪器与材料1. 伏安特性测试仪2. 直流稳压电源3. 电阻箱4. 电流表5. 电压表6. 混沌电路实验装置7. 示波器8. 实验线路板9. 电线连接线四、实验步骤1. 伏安特性测量（1）搭建伏安特性测试电路，将电阻箱接入电路，调节电压，记录不同电压下电阻箱的电流值。

（2）根据记录的数据，绘制伏安特性曲线，分析元件的性质。

2. 非线性电路混沌现象研究（1）搭建混沌电路实验装置，连接好电路。

（2）打开示波器，调整参数，观察混沌现象。

（3）改变电路参数，研究混沌产生的条件和影响因素。

五、实验结果与分析1. 伏安特性测量结果根据实验数据，绘制伏安特性曲线，分析元件的性质。

例如，测量一个线性电阻的伏安特性，发现电流与电压成正比，符合欧姆定律。

2. 非线性电路混沌现象研究结果（1）观察混沌现象：在混沌电路实验装置中，观察到电路状态轨迹呈现复杂、无规律的运动。

（2）研究混沌产生的条件和影响因素：通过改变电路参数，发现混沌现象的产生与电路参数有关。

例如，当电路参数达到某一特定值时，电路状态轨迹开始呈现混沌现象。

六、实验总结1. 通过本次实验，掌握了电学元件伏安特性的测量方法，了解了电流与电压之间的关系。

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现唐良瑞　李　静　樊　冰(华北电力大学电气与电子工程学院,北京　102206)(2008年8月5日收到;2008年11月11日收到修改稿) 提出了一个新的四维超混沌系统,并对该系统的基本动力学特性进行了深入研究,得到该系统的LE ,LE 维数,给出了P oincare 映射图、LE 谱、分岔图以及时域图和相图.利用Mutisim 软件设计了该新混沌系统的振荡电路并进行了仿真实验.经过数值仿真和电路系统仿真证实该系统与以往发现的混沌吸引子并不拓扑等价,属于新的混沌系统.关键词:超混沌系统,Lyapunov 指数,P oincare 截面图,电路实现PACC :0545E 2mail :tangliangrui @11引言自Lorenz 于1963年在数值实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来,Lorenz 系统作为第一个混沌的物理和数学模型,成为后人研究混沌理论的出发点和基石[1,2].近年来,国内外许多学者对混沌的特性进行了深入地分析和研究,发现了许多新的混沌系统,较为知名的系统如Chen 系统[3]、L ü系统[4,5]、Liu 系统[6]和Qi 系统[7].现在混沌动力学正由数学和物理的基础理论研究逐步过渡到实际的工程应用领域,并得到了很大发展.例如混沌理论可用在保密通信、图像加密等数字信息领域[8—10],因而混沌动力学具有广泛的应用前景.三维混沌系统都有个共同点就是结构较为简单,在物理上实现容易.但是这样的混沌系统用于数字信息加密工程领域的效果不是很好,这主要是由于三维混沌系统的带宽相对较窄,容易导致混沌序列被数字滤波器给滤掉,失去加密的意义.而对于一个超混沌系统或者高频混沌系统而言,其产生的混沌序列信号有比较宽的带宽,不容易被数字滤波器过滤,这对于数字加密领域有非常重要的研究意义.因此,超混沌系统是非线性动力学一个重要的研究方向.本文提出了一个新的四维混沌系统.该系统含有8个参数,其中三个方程中各含有一个非线性乘积项.通过理论分析、数值仿真、LE (Lyapunov 指数)、LE 维数、P oincare 映射图、LE 谱以及分岔图研究了该系统的基本动力学特性,设计了该混沌系统的硬件电路,并进行了仿真实现,证实了该系统的可实现性.21新超混沌系统的基本分析2111新超混沌系统模型 本文提出的新超混沌系统的数学模型为x ・=-ax +by ;y ・=cx -xz -dy -u ;z ・=xy -ez -f x +gu ;u ・=h (yz -u ).(1)式中,a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h 是实常数.当参数a =2015,b =6818,c =42,d =016,e =4,f =415,g =5,h =018时,系统存在一个典型的混沌吸引子.2121理论分析212111耗散性和吸引子的存在性由于ΔV =9x ・9x +9y ・9z +9z ・9z +9u ・9u=-a -d -e -h ,(2)当a +d +e +h >0时,则系统(1)是耗散的,且以指第58卷第3期2009年3月100023290Π2009Π58(03)Π1446210物　理　学　报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.58,N o.3,March ,2009ν2009Chin.Phys.S oc.数形式收敛:d Vd t=e-(a+d+e+h),(3)即体积元V0在时刻t时收缩为体积元V0e-(a+d+e+h)t,这意味着,当t→∞时,包含系统轨迹的每个体积元以指数率-(a+d+e+h)收缩到零.因此,所有系统轨迹线最终会被限制在一个体积为零的集合上,且它渐进运动固定在一个吸引子上. 212121平衡点及稳定性系统(1)存在三个非线性项,状态变量分别为x,y,z,u.为了求解系统(1)的平衡点,令参数为a =2015,b=6818,c=42,d=016,e=4,f=415,g= 5,h=018,并且方程组为-ax+by=0;cx-xz-dy-u=0;xy-ez-fx+gu=0;h(yz-u)=0.(4)求解(4)式可得到系统三个平衡点为s0(0,0,0,0);s1(219,0186,32122,27188);s2(-148190,-44137,32122,-1429158). 在平衡点s(0,0,0,0),对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵为J0=-a b00 c-z d-x-1 y-f x-e g 0hz hy-h=-201568180042-0160-1-4150-45 000-018. 为了求平衡点s(0,0,0,0)相应的特征根,令det(J0-λI)=0,得到相应的特征根λ1=-410,λ2=4411181,λ3= -6512181,λ4=-018.这里四个特征根都是实根,但是不全为负实根.根据R outh2Hurwitz条件[11],可得平衡点s0是不稳定的鞍点.在平衡点s1(219,0186,32122,27188),采用同样的方法可求得相应的特征根λ1=-3815266,λ2= 1711337,λ3=-212535+311427i,λ4=-212535-311427i.其中λ1为负实根,λ2为正实根,λ3与λ4是负实部的共轭复根.因此,平衡点s1是一个不稳定的鞍点.通过同样的计算方法可得在平衡点s2(-148190,-44137,32122,-1429158)相应的特征根为λ′1=15814476,λ′2=-13914219,λ′3=4410970,λ′4= -018287.这里四个特征根都为实根,但是不全为负实根,所以根据R outh2Hurwitz条件知,平衡点s2是不稳定的鞍点.从上述分析可知,系统(1)的三个平衡点都是不稳定的鞍点.从理论上证明了该系统有存在超混沌特性的可能性.2131混沌吸引子 系统(1)参数为a=2015,b=6818,c=42,d= 016,e=4,f=415,g=5,h=018时,存在一个典型的混沌吸引子.本文采用了四阶龙格2库塔离散化算法,得到混沌吸引子相图如图1所示.相图中其轨线在特定的吸引域内具有遍历性.这个混沌的奇怪吸引子与Lorenz系统形状完全不同,并且与Qi系统[12] (该系统有九个平衡点)吸引子不同.本文提出的这个新系统仅存在三个平衡点,因此其拓扑结构与其他系统的拓扑结构完全不同.系统(1)的时域波形具有非周期性,解的流对初始值极为敏感,它的时域波形如图2所示.而它的频谱都是连续谱,其频谱图如图3所示.计算的频谱均被单位标准化,大于单位谱的1Π10频谱范围作为该信号的频谱带宽,这是由于幅值相对较低的频谱的信号对加密意义很小,可以通过滤波等简单方法提取信息.从图3可以看出,Lorenz系统x变量的频谱带宽大约在0—3H z,本文提出的新系统x变量的频谱带宽大约在0—32H z,是Lorenz系统信号带宽的11倍左右.所以新混沌系统的混沌吸引子具有非常宽的频谱,对保密通信、流体混合等基于混沌的实际应用具有重要价值.2141Lyapunov指数和Lyapunov维数 混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势,并以指数速率相互分离,而Lyapunov指数(LE)是定量描述轨线彼此排斥和吸引的量.特别是系统的最大LE,是判断混沌系统的重要特征.计算最大LE的方法很多,如最小数据量法,W olf法, Jacobian法等.本文利用奇异值分解[13]的方法计算出系统(1)的四个LE为LE1=418444,LE2=112642, LE3=-111176,LE4=-2212627,其最大LE比Qi系统的最大LE要大(LE1=313152)[12],说明系统(1)比74413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图1　新混沌系统的奇怪吸引子图　(a )x 2y 2z 平面奇怪吸引子;(b )x 2y 平面奇怪吸引子;(c )x 2z 平面奇怪吸引子;(d )y 2u 平面奇怪吸引子图2　新系统的四个序列时域波形图8441物 理 学 报58卷图3　新系统的功率谱图　(a)x序列的功率谱图;(b)y序列的功率谱图Qi系统运动轨迹更加复杂.并且该系统具有两个正的LE,具有超混沌的特征,系统的动态行为更加难以预测.新混沌系统的LE维数为D L=j+1|LE j+1|6ji=1LE i=3+(LE1+LE2+LE3)|LE4|=3+(418444+112642-111176)|-2212627|=312242.(5) 由此可见,这个新系统的LE维数是分数维数,从而验证了该系统为混沌系统.2151Poincare截面图 为了利于观察系统的动力学行为,P oincare截面的选取要恰当,此截面不能包含系统的轨线,也不能与轨线相切.在给定的某组参数下,本文选取了相空间中穿过某一个平衡点的平面作为P oincare截面,然后观察P oincare截面上截点的情况,由此判断这组固定参数下系统的运动是否为混沌[14].在固定参数a=2015,b=6818,c=42,d=016, e=4,f=415,g=5,h=018时,系统存在两个大于零的LE指数,可知系统处于超混沌状态,图4是此时系统在几个截面上的P oincare映像图.由图4可以看出,P oincare截面上有一些成片的具有分形结构的密集点,吸引子的叶片清晰可见,进一步说明了此时系统的运动是混沌的.2161系统参数的影响 随着系统参数的改变,系统平衡点的稳定性将会发生变化,从而系统也将处于不同的状态.从系统的LE谱和分岔图可很直观的分析出各个参数变化时,系统的变化情况.利用LE谱分析时,对于平衡点系统有LE4< LE3<LE2<LE1<0;对于周期轨有LE1=0,LE4<LE3 <LE2<0;对于拟周期轨有LE1=LE2=0,LE4<LE3 <0;对于混沌状态有LE1>0,LE2≤0,LE4<LE3<0, LE1+LE3+LE4<0;对于超混沌状态则有LE1>LE2 >0,LE3≤0,LE4<0,LE1+LE2+LE3+LE4<0.1)固定参数b=6818,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变a,a∈[0,22].当a∈[0,22]变化时,系统的LE谱以及关于x 的分岔图如图5所示.由图5(a)可见,随着a的变化,系统的LE在变化,系统状态也在发生改变.当a ∈[0,2]时,系统的LE都小于0,系统中都是平衡点,当a∈[2,12],系统只有一个正的LE,表明随着a的增加系统由平衡态演化到混沌状态;当a∈[12,22]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态,表明系统随着a的变化由混沌状态演化到超混沌状态.2)固定参数a=2015,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变b,b∈[30,70].当b∈[30,70]时,系统的LE谱以及关于x的分岔图如图6所示.从图6(a)中可知,当b∈[30, 48]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态;当b∈[48,50]时,系统仅存在一个正的LE,系统由超混沌状态演化为混沌状态;当b∈[50,70],系统存在两个正的LE,系统又由混沌状态演变为超混沌状态.由此可见当b∈[30,70]时,系统的状态在混沌状态与超混沌状态之间相互转变.3)固定参数a=2015,b=6818,d=016,e=4,f94413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现=415,g =5,h =8,改变c ,c ∈[0,45].当c ∈[0,45]时,系统的LE 谱以及关于x 的分岔图如图7所示.从图7(a )中可知,当c ∈[0,3],系统的所有的LE 都小于0,所以此时系统中都是平衡点;当c ∈[3,12]和c ∈[15,25]时,系统仅有一个正的LE ,系统处于混沌状态;当c ∈[12,15]和c ∈[25,45]时,系统存在两个正的LE ,系统由混沌态演化为超混沌状态.由于本系统参数比较多,鉴于篇幅有限在文中只详细分析其中的三个参数变化时,系统状态的变化情况,其他参数只给出结论,如表1所示.图4　新系统的P oincare 映射图　(a )x =0;(b )y =0;(c )z =80;(d )u =图5　a 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图0541物 理 学 报58卷图6　b 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x的分岔图图7　c 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图表1　新系统的状态变化情况参数变化范围平衡点周期态拟周期态混沌状态超混沌状态d [0,1]无无无无[0,1]e [0,5]无无无[0,113](113,5]f [0,5]无无无f =017,f ∈[1127,113][0,017)(017,1127)(113,5]g [0,6]无无无[0,213](213,6]h[0,1]无无无无[0,1]31新系统的振荡电路设计与实现 混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的,许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到了验证[15].同样这个四维混沌系统也可以通过电路来实现.由于直接根据系统微分方程设计的电路很难正常运行,为此有必要对原方程作一些适当地变换,这样做的目的有两方面:一是通过线性缩放,使得状态变量的变化范围在集成电路允许的工作的电压范围内;二是简化电路设计,尽量减少元件和集成电路.本文采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)来设计实现系统(1)的电路.利用Multisim 软件设计的电路如图8所示,其中运算放大器是用来进行电路的加减运算,模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项.为了有效的进行电路实验,把混沌信号的输出电平调小为原来15413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现的1Π200,设m =200x ,v =200y ,w =200z ,n =200u .(6) 又由于系统变量的变换,不影响系统的状态及性能,从而在令x =m ,y =v ,z =w ,u =n ,(7)则(1)式可变为x ・=-ax +by ;y ・=cx -200xz -dy -u ;z ・=200xy -ez -f x -gu ;u ・=h (200yz -u ).(8)图8　电路原理图根据电路理论以及各个元件的特性,得其电路方程为x ・=-R 2R 21R 1C 1x +R 2R 3R 2C 1y ;y ・=R 7R 22R 6C 2x -R 7R 8R 6C 2200xz-R 7R 23R 6C 2y -R 7R 24R 6C 2u ;z ・=R 12R 13R 11C 3200xy -R 12R 26R 11C 3z-R 12R 25R 11C 3x -R 12R 27R 11C 3u ;u ・=R 17R 18R 16C 4200yz -R 17R 28R 16C 4u .(9)2541物 理 学 报58卷(11)式与(12)式相比较,可得a =R 2R 21R 1C 1;b =R 2R 3R 1C 1;c =R 7R 22R 6C 2;d =R 7R 23R 6C 2;e =R 12R 26R 11C 3;f =R 12R 25R 11C 3;g =R 12R 27R 11C 3;h =R 12R 18R 16C 4=R 12R 28R 16C 4. 当电路中的各元器件值如图8中所示时,利用示波器得到系统(1)各序列的时域图,如图9.利用示波器也可以看到混沌吸引子的相图,如图10所示.与数值仿真图基本相同,但有一定的区别,这是因为电路实验所的相图是从时间t =0开始绘制的,而数值仿真是截取了混沌序列后14000个数据绘制而成,取消了最开始的1000个数据.所以该混沌系统的仿真实验和实际电路实验应该是基本符合的.从而说明该混沌系统可以通过电路产生,具有很大的实用性.通过上述理论分析和仿真实验证实,本文提出的非线性系统是一个新的混沌系统,它具有一切混沌系统的共有特征:确定性、有界性、对初值的极端敏感性、长期不可预测性、正的最大Lyapunov 指数、一定频率范围内的连续谱和遍历性等.图9　系统(1)部分序列的时序图;(a )x 时序图;(b )y 时序图35413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图10　系统(1)的电路实验相图　(a)x2y平面;(b)x2z平面;(c)y2z平面;(d)x2u平面4541物 理 学 报58卷41结论通过以上理论分析和计算机仿真,可以得出以下结论:11本文提出的超混沌系统的数学模型拓扑结构简单,仅具有三个平衡点.21这个新的混沌系统存在着复杂的混沌动力学行为,它具有一切混沌系统的共有特征.31这个新的超混沌系统可以用电子振荡电路来实现.它在电子测量、保密通信、数字图像加密等领域中具有潜在的应用价值.如何控制这个系统以及深入研究系统的动力学行为是作者今后将要进行的工作.[1]Lorenz E N 1963J .Atmos .Sci .20130[2]Lorenz E N 1993The E ssence o f Chaos (W ashington :University of W ashington Press )[3]Celikovsky S ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 121789[4]Lu J H ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 12659[5]Chen G R ,Lu J H 2003Dynamics o f the Lorenz System Family :Analysis ,Control ,and Synchronization (Beijing :Science Press )(inChinese )[陈关荣、吕金虎2003Lorenz 系统族的动力学分、控制与同步(北京:科学出版社)][6]Liu C X ,Liu L ,Liu K 2004Chaos Solitons Frac .221031[7]Qi G Y,Du S ,Chen G R ,Chen Z ,Y uan Z 2005Chaos SolitonsFrac .231671[8]Li W ,Hao J H ,Qi B 2008Acta .Phys .Sin .571398(in Chinese )[李　伟、郝建红、祁　兵2008物理学报571398][9]X ie K,Lei M ,Feng Zh J 2005Acta Phys .Sin .541267(in Chinese )[谢　鲲、雷　敏、冯正进2005物理学报541267][10]Hua C C ,G uan X P 2004Chin .Phys .131441[11]Liu Z H 2006Fundamentals 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the new system are investigated via theoretical analysis ,numerical simulation ,Lyapunov exponent ,Lyapunov dimension and P oincare diagrams.Finally the chaotic circuit is designed and realized by the Multisim software.It con firms that the chaotic system is different from the exisiting chaotic systems and is a new hyperchaotic system.K eyw ords :hyperchaotic system ,Lyapunov exponent ,P oincare diagrams ,circuit realization PACC :0545E 2mail :tangliangrui @55413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现。

将混沌吸引子说清楚来,太精彩了"吸引子分为三类：第一类是最简单的吸引子，可以称为定点吸引子或不动点吸引子。

海纳百川，大海就是百川的定点吸引子；落叶归根，树根是一个定点吸引子；热力学系统的平衡态是该系统的定点吸引子。

在相空间中，定点吸引子是一个点，它将周围的轨道全部吸引过来。

第二类是所谓极限环吸引子。

这是比较高级的吸引子。

系统在远离平衡态时，经过若干分叉点之后，由于自组织作用，系统可以进入一个规则而又稳定的周期震荡状态。

极限环吸引子在相空间中是一个封闭的环，它将周围的轨道吸引到这个周期性的循环之中。

这两类吸引子分别描述了系统的两类不同的长期行为：周期性的重复某种运动系列。

其中第二类吸引子正是普里戈金的耗散结构模型所致力于描述的。

它揭示了在非线性系统中，自组织如何从无序中创造出有序结构。

但是，如果系统进一步分叉，更加远离平衡态，有可能达到一种新的稳定态，即第三类吸引子，即各种环面的吸引子。

这种吸引子被称为奇异吸引子或混沌吸引子。

奇异吸引子就是混沌，混沌就是奇异吸引子。

它仍然表征着系统的稳定定态。

它们并不与周期变化相对应，但是，系统从任一初始状态出发，最终都会演化到"相空间"的某一局域上。

混沌吸引子与一般吸引子不同，混沌现象的轨线进入吸引子后，两条距离非常近的轨线将发生指数分离，而两个状态点也迅速分开，此时，吸引子外的所有运动轨线都将进入吸引子之内，而内部的轨线又迅速分开。

从吸引子外部看，是聚集的过程；从吸引子内部看，是分散的过程。

系统在宏观演化上是有规律可循的，而从微观上看，我们又无法指出系统具体的演化轨道。

系统对初始条件依赖的敏感性，使系统运动出现随机偶然性的特点。

"上述整段话，就是从数学语言翻译出来的日常语言同，这个日常语言讲清楚了混沌吸引子吗？所谓"道理是什么"就是指这个道理对应什么现实情况，道理本质是什么，就是更深刻地谈道理，谈出道理的为什么来。

一个新的三维混沌系统刘汝臣【摘要】为了研究混沌系统的性质及其应用，构造了一个不同于经典的Lorenz 系统、Chen系统和Lu系统的三维连续自治混沌系统，利用理论分析和数值模拟方法，研究了新混沌系统的一些基本动力学特性．分析结果表明，当参数变化时该混沌系统表现出丰富的动力学行为．%To study the characteristics and applications of the chaotic systems, a three-dimensional con- tinuous autonomous chaotic system is constructed, which is different from classic Lorenz system, Chen system and Lti system. Some basic dynamical properties of the new system are analyzed by means of theoretical analysis and numerical simulations. The results show that the chaotic system has abundant dynamical behaviors when the parameter varies.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(000)004【总页数】3页(P401-403)【关键词】新混沌系统;相图;时间响应图;Lyapunov指数谱;分岔图【作者】刘汝臣【作者单位】辽宁省交通高等专科学校,辽宁沈阳110122【正文语种】中文【中图分类】O545由于混沌系统有1个正的Lyapunov指数，其动力学行为复杂，在非线性科学以及其他工程领域和社会科学领域得到了广泛的应用.自从1963年Lorenz［1］在分析气候数据时发现第一个混沌吸引子以来，后来人们称之为Lorenz系统.许多科研工作者对混沌的生成产生了浓厚的兴趣，不断地对Lorenz系统改进变形得到好多新的混沌系统［2－10］.这些新混沌系统的不断被发现，一方面丰富了混沌系统的数量，另一方面在混沌保密通讯方面以及控制和同步方面也有较广泛的应用.所以构造新的混沌系统是非常有好处的.本文通过计算机数值计算Lyapunov指数构造了一个新的混沌系统，通过一系列常规分析方法分析了系统的丰富的动力学行为.1 混沌模型及其混沌吸引子本文中所构造的新混沌系统数学模型为:这是一个非线性常微分方程组，其中x，y，z为系统的状态变量，a，b为系统的参数.当参数a=0.11，b=0.3时，利用 Wolf方法数值计算系统的三个 Lyapunov 指数为λ1=0.0647，λ2=－0.0023，λ3=－1.0331，说明此时系统处于混沌状态，图1给出了当参数a=0.11，b=0.3的混沌吸引子相图，轨线相互缠绕，动力学行为比较复杂.但目前轨线方程的计算还没有方法.2 新混沌系统的基本动力学分析2.1 时间响应对于非线性系统而言，从时间相应图上看状态值如果无规律的在一定范围内变化，说明系统可能在做混沌运动.图2给出了当参数a=0.11，b=0.3时系统的三个状态变量的时间响应图.图1 当参数a=0.11，b=0.3时系统的混沌吸引子 (a)xy平面;(b)xz平面;(c)yz平面Fig.1 Chaotic attractors of system when a=0.11，b=0.3(a)xy plane;(b)xz plane;(c)yz plane图2 系统的时间响应图(a)tx;(b)ty;(c)tzFig.2 Time responsedigram of the system(a)tx;(b)ty;(c)tz2.2 平衡点及其稳定性系统中当参数a=0.11，b=0.3时，令，可求得系统的2个平衡点分别为A(－0.5629，－0.5329，－0.0912)和 B(0.5329，0.5629，－0.1367).然后将系统线性化，将平衡点代入线性化矩阵得特征值都为不稳定的鞍焦点，当系统的平衡点不稳定时就会引发分岔与混沌现象，从而系统处于混沌状态.2.3 典型参数对系统运动状态的影响为了进一步研究系统参数变化时系统的运动变化情况.图3给出了固定参数b=0.3，系统随参数a∈［0，0.23］变化关于x的分岔图和Lyapunov指数谱图，几个典型参数下的周期轨如图4所示.图3 系统随参数a变化的分岔图和对应的Lyapunov指数谱图Fig.3 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents spectrum of the system with parametera图4 系统在x－z平面的典型周期相图Fig.4 Typical cycle phase portraits of system in x－z plane图5给出了固定参数a=0.11，系统随参数b∈［0.1，0.3］变化关于x的分岔图和Lyapunov指数谱图，几个典型参数下的周期轨如图6所示.由这些图可见系统随参数变化表现出丰富的动力学行为，在混沌区域也有几处出现较窄的周期窗口. 图6 系统在x－z平面的典型周期相图Fig.6 Typical cycle phase portraits of system in x－zplane2.4 拓扑等价性由于本文构造的新混沌系统的混沌吸引子比较独特，与Lorenz吸引子形状完全不同，与Chen系统、Lü系统也不同，它们均有3个平衡点，而这个新系统只有2个平衡点，所以该新混沌系统与这3个混沌系统之间均不存在同胚变换，因此是一个新型的混沌系统.参考文献:［1］ Lorenz E N.Deterministic nonpefiodic flow［J］.At Mos Sci，1963，20(2):130－141.［2］ Chen G，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9(7):1465－1466.［3］Lü J.Chen G R.A new chaotic attractor cioned［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(3):659－661.［4］Lü J，Chen G，Cheng D S.Celikovsky.Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(12):2917－2926.［5］高智中.一个新混沌系统［J］.湖南文理学院学报，2011，23(1):34－37. ［6］狄崇利，黄东卫，蔡为民.一类非线性系统的混沌特征分析［J］.天津师范大学学报，2010，30(2):1－5.［7］王杰智，陈增强，袁著祉.一个新的混沌系统及其性质研究［J］.物理学报，2006，55(8):3956－3963.［8］高智中.一个新自治混沌系统的动力学分析［J］.数值计算与计算机应用，2012，33(1):1－8.［9］韩春艳，薛华，吴新华.一个新的混沌模型及其数字伪随机信号的实现［J］.河北师范大学学报，2010，34(2):165－169.［10］张建雄，唐万生，徐勇.一个新的三维混沌系统［J］.物理学报，2008，57(11):6799－6809.。

一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真-机电论文一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真周小勇韩晓新（江苏理工学院电气信息工程学院，江苏常州213001）摘要：提出了一个新的五阶自治超混沌系统，通过系统的理论分析、数值仿真、Lyapunov指数和维数证明该超混沌系统的存在性，还利用Lyapunov指数谱和分岔图说明随着系统参数的改变，系统呈现复杂周期、混沌和超混沌状态，具有丰富的动力学特性。

最后，运用Multisim软件设计了系统的电路并进行了仿真实验，数值仿真和电路仿真证实了该超混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓扑等价，是一个新的超混沌系统。

关键词：超混沌系统；Lyapunov指数谱；分岔图；超混沌电路项目名称：江苏省产学研前瞻性联合研究项目，项目编号：BY201302503 0引言现今，在混沌加密的保密通信研究中发现，低维混沌系统用作密钥时容易被破译，而高维的超混沌系统却难以破译［12］。

主要原因是低维系统产生的混沌信号频带较窄，容易被数字滤波器分离，失去加密保护作用，但对于高维混沌系统或超混沌系统来说，其混沌动力学特性较为复杂，产生的混沌序列信号具有比较宽的频率范围，难以被滤波器滤除［35］，这对于信息加密具有非常重要的应用价值，因此，围绕超混沌系统产生与应用的研究成为混沌理论的研究热点之一。

本文在一个三维混沌系统的基础上通过变量拓展与状态反馈构造了一个五阶自治超混沌系统。

通过理论推导、数值仿真、Lyapunov指数与维数、Lyapunov指数谱和分岔图等研究了该超混沌系统的动力学特性，验证了系统的超混沌特性。

最后，采用模块化电路设计方法，根据系统数学模型设计了系统的硬件电路原理图，并进行了电路的EWB 仿真实验，验证了系统的物理可实现性。

1新五阶超混沌系统的基本分析1.1新五阶超混沌系统模型本文提出的新五阶自治超混沌系统是在文献［6］的三维混沌系统的基础上，通过拓展系统变量并实施反馈控制来实现的，其数学模型描述为：式中的a、b、c、d是实常数，当a=25、b=35、c=30、d=35时，系统存在一个典型的混沌吸引子如图1所示，由图可见，吸引子的轨线在其吸引域中具有遍历性。

2020年第9期信息通信2020(总第213期)INFORMATION&COMMUNICATIONS(Sum.No213)典型混沌系统特征及其吸引子仿真实现赵俊英(夭津电子信息职业技术学院，夭津300202)摘要:非线性现象广泛存在于天文、化工、生物、地理等各种自然现象中。

混沌是非錢性动态系统的一种可能定态，具有拟周期性、自相似性却初值敏感性，其典型分析方法是相空间重构理论。

文章以典型混沌时间序列为例，对潍沌系统的特点进行了仿真模拟，同时对其相空间进行了重构，施示了其二维吸引子形态。

关键词:典型混沌系统;吸引子;相空间中图分类号:TP309.7文献标识码:B文章编号：1673-1131(2020)03-0217-03The characteristics of a typical chaotic system and its attractor simulationZhao Junying(Tianjin Electronic Information Wcational Tischnology College,tianjin300000) Abstract:Nonlinear phenomena widely exist in astronomy;chemical industry biology,geography and other natural phenomena.Chaos is a possible stationary state of n onlinear dynamic system with quasi-periodicity,self-similarity and initial value sensitiv­ity.Taking a typical chaotic time series as an example,the characteristics of chaotic system are simulated,and the phase space is reconstructed to show its two-dimensional attractor morphology.key words:typical chaotic system;attractor;phase space混沌的本质是一种貌似随机但具有内在确定性的运动。

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什么是‘系统’呢? 简单地说, 系统是一种数学模型。

是一种用以描述自然界及社会中各类事件的, 由一些变量及数个方程构成的一种数学模型。

世界上的事物尽管千变万化, 繁杂纷纭, 但在数学家们的眼中, 在一定的条件下, 都不外乎是由几个变量和这些变量之间的关系组成的‘系统’。

在这些‘系统’模型中, 变量的数目或多或少, 服从的规律可简可繁, 变量的性质也许是确定的, 也许是随机的, 每个系统又可能包含另外的‘子系统’。

由‘系统’性质之不同，又有了诸如‘决定性的系统’ 、‘随机系统’、‘封闭系统’、‘开放系统’ 、‘线性系统’、‘非线性系统’、‘稳定系统’、‘简单系统’、‘复杂系统’等等一类的名词。

例如: 地球环绕太阳的运动, 可近似为一个简单的二体系统；密闭罐中的化学反应, 可当成趋于稳定状态的封闭系统；每一个生物体，都是一个自适应的开放系统；人类社会，股票市场，则可作为复杂的、随机性系统的例子。

无论是何种系统，大多数的情形下，我们感兴趣的是系统对时间的变化，称其为‘动力系统’研究。

这是理所当然的，谁会去管那种固定不变的系统呢？研究系统对时间变化的一个有效而直观的方法就是利用系统的‘相空间’，一个系统中的所有独立变量构成的空间叫做系统的‘相空间’。

相空间中的一个点，确定了系统的一个‘状态’，对应于一组给定的独立变量值。