一个新的多涡卷混沌系统的设计与硬件实现

多涡卷蔡氏混沌系统及其数字化设计徐小云【摘要】提出了一种多涡卷蔡氏混沌系统的数字化设计方法,根据蔡氏系统方程,用参数可调的双曲正切函数产生出多涡卷混沌吸引子,给出了系统数值仿真的混沌吸引子相图,分析了系统在平衡点处的动力学特性.利用Euler算法将连续多涡卷蔡氏混沌系统离散化,给出了在CCS（Code Composer Stud io）集成开发环境中以数字化设计方法产生出多涡卷混沌吸引子的软件仿真结果.%A new approach for digtal design of multi-scroll chua chaotic system is proposed.According chua system equation,the multi-scroll chaotic attractous are generated by hyperbolic tangent function with adjustable parameters.Basic dynamics properties of the system at the equilibrium points are studied and the phase diagram of chaotic attractors is also given.Euler algorithm is used to discretize the continuous multi-scroll chua chaotic system.In the CCS （Code Composer Studio） integrated development environment,software simulation result of generating multi-scroll chaotic attractors by digtal design method is given.【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(030)003【总页数】5页(P321-325)【关键词】多涡卷蔡氏混沌系统;双曲正切函数;Euler算法;CCS【作者】徐小云【作者单位】广东工业大学自动化学院,广州510006【正文语种】中文【中图分类】TN710.90 引言自从1963年Lorenz发现第一个混沌吸引子至今[1]，混沌理论及其应用得到了深入研究.国内外学者提出了多种产生混沌与超混沌吸引子的方法[2-3]，还进一步研究了多涡卷混沌吸引子的产生和硬件实现问题.提出了用非线性函数来产生多涡卷混沌吸引子的不同方法，许多已在硬件电路中得以实现[4-10].例如，文献[4]中Yalcin等用分段线性函数的方法，率先通过电路实验获取了3～5涡卷混沌吸引子；文献[5]报道了用阶跃函数序列构造网格状蔡氏混沌吸引子；文献[6]报道了从模拟硬件电路中得到了三维10×10×10个涡卷的实验结果.上述报道都是在模拟电路中设计产生混沌吸引子，但由于模拟电路存在参数离散性较大、元器件精度有限等缺点，设计与调试起来非常困难.而随着数字信号处理技术的发展，现在数字器件的应用场合越来越多，混沌系统的数字化设计研究迫在眉睫.本文利用双曲正切函数构造出多涡卷蔡氏混沌系统，并通过将连续系统离散化的方法，在数字信号处理开发环境CCS软件中仿真产生出多涡卷混沌吸引子，从而实现了多涡卷蔡氏混沌系统的数字化设计.双曲正切函数的幅度、宽度和转折处斜率等均可调节，适当选取参数值，就可扩展蔡氏系统指标2的鞍焦点，这是产生多涡卷的基本原理.CCS是一款用于数字信号处理开发的软件，将连续多涡卷蔡氏系统离散化后，即可通过编程以数字信号处理的方法产生出多涡卷混沌吸引子，静态相图结果与数值仿真结果一致.1 多涡卷蔡氏混沌系统的构造与分析蔡氏系统的无量纲状态方程为(1)式中：f(x)=m1x+0.5(m0-m1)[|x+1|-|x-1|].当系统参数α=10，β=15，m0=-1/7，m1=2/7时，可产生双涡卷混沌吸引子，数值仿真结果如图1所示.在此基础上，用双曲正切函数构造多涡卷蔡氏混沌系统，其状态方程为(2)式中：α，β，y均为系统参数，可根据实际情况进行调整；f(x)为双曲正切函数. f(x)的数学表达式有2种形式，即(3)式中：A>0,B>0,C>0，均为双曲正切函数的可变参数，用于调节函数的幅度，宽度和转折处斜率；m为非负整数；n为正整数.若f(x)的表达式为f1(x)，则在x轴上可产生偶数个涡卷；若f(x)的的表达式为f2(x)，则在x轴上可产生奇数个涡卷.取f(x)的表达式为f1(x)，令α=10，β=15，γ=0.2，A=1，B=20，C=1，根据式(2)，m=1时，可得到4涡卷混沌吸引子；m=2时，可得到6涡卷混沌吸引子.数字仿真结果分别如图2(a)和(b)所示.取f(x)的表达式为f2(x)，令α=10，β=15，γ=0.2，A=1，B=20，C=1，根据式(2)可知，n=1时，可得到3涡卷混沌吸引子；n=2时，可得到5涡卷混沌吸引子.数字仿真结果分别如图2(c)和(d)所示.若要产生更多的混沌吸引子，只需增大M或N的值即可，在此不一一列出.为求得系统的平衡点，令式(2)中得系统平衡点方程为(4)以3涡卷混沌吸引子为例，对系统的平衡点进行分析.由式(4)可得3涡卷系统的平衡点为P1,2(±1,0,∓1)，P3,4(±2,0,∓2),P5(0,0,0)平衡点Pn(n=1,2,…，5)对应的Jacobin矩阵为(5)将n=1时f2(x)的表达式及系统参数代入式(5)得(6)则平衡点P1，2，P3，4，P5对应的Jacobin矩阵分别为(7)由特征方程det[λI-J(Pn)]=0，得J(P1，2),J(P3,4)，J(P5)的特征值分别为(8)可见，平衡点P1,2为指标1的鞍焦点，平衡点P3,4和P5为指标2的鞍焦点，3个指标2的鞍焦点就能产生3涡卷.故3涡卷蔡氏混沌吸引子满足Shilnikov定理，即为Shilnikov意义下的混沌系统.2 多涡卷蔡氏系统的数字化设计与CCS仿真在上面理论分析和数值仿真的基础上，在CCS集成开发环境中以软件仿真的方式通过编程来实现多涡卷蔡氏混沌系统的数字化设计.CCS是TI公司推出的专门用于该公司的数字信号处理器(DSP)产品开发应用的软件，具有软件仿真和硬件仿真2种方式.软件仿真方式下，不需要专门硬件平台即可对实际电子电路进行模拟仿真和优化，而且CPU对各存储器、寄存器以及外围器件的访问和控制，与实际电路非常近似，因此利用该软件得出的结果与实际电路实验结果几乎一样.为了使多涡卷蔡氏混沌系统适合在数字信号处理环境中实现，首先需要将连续的混沌系统离散化.把一个连续系统离散化的过程，可以等价为求微分方程的数值解.常用的数值积分算法有Euler算法、改进Euler算法和Runge-Kutta法，在这里作者用较为简单的Euler算法对(2)式作离散化处理.离散化后的系统状态方程为(9)仍以N=1时数学表达式f2(x)为例，进一步处理得(10)根据式(10)，在CCS开发环境中采用C语言编程，通过循环迭代运算，即可实现3涡卷混沌吸引子的产生，同样的方法可用于产生其它数目多涡卷的系统方程.关于方程中的步长参数ΔT，目前还没有公认的较为准确的计算公式，只有通过实际实验，才能选取到合适的步长，作者得到ΔT=1×10-2较为合适.程序的编写较为简单，在主要器件的初始化和混沌系统初始值设置完成后，主程序中只需循环进行迭代运算即可.在模拟电路中，系统参数是需要通过电路结构分析计算得到，元件选取和参数值调节非常困难，而采用数字化设计，可直接在程序中精确设定；分立元件设计实现时不必设定系统的初值，而采用数字化设计，方程的初值设定是必不可少的，初值可以是不为零的任意数，但最好选取在混沌系统的吸引子幅值范围内，这样能使系统迅速进入混沌；系统中的双曲正切函数，在模拟电路中实现是很困难的，而在C语言数字化设计编程中，只需包含一个math.h头文件，该函数就可直接使用，由此也可看出数字化设计带来的方便.数字信号处理器在CCS设置中是可以自由选择的，本文选取处理速度较快的TMS320VC5509处理芯片.CCS软件本身带有查看变量时域波形及相图的功能，只是需要将数据存入存储器.作者对状态变量x和y各选取8 192个数据点，分别存入预先设置的缓冲存储区中，在CCS菜单栏View菜单下，选取Graph，设置好显示参数后即可显示多涡卷蔡氏混沌吸引子的静态相图.图3给出了在CCS开发环境中软件仿真产生的5涡卷和6涡卷蔡氏混沌吸引子相图.将图3与数值仿真结果对比可见两者是有差别的，这主要是由系统初始值设定、取样间隔ΔT的大小和选取数据点个数多少造成的，但两者结果总体上是一致的.3 结语利用双曲正切函数构造出多涡卷蔡氏混沌系统，采用Euler算法将其离散化，在用于数字信号处理器的CCS开发软件中，设计产生多涡卷蔡氏混沌吸引子.数字化设计克服了模拟电路易受环境条件影响、调试与优化困难等缺点，给多涡卷混沌系统的设计实现带来极大便利.仿真结果表明，该方法切实可行，并且具有一定的普适性，同样可以用于其它混沌系统的设计实现，这为混沌系统更多地应用于数字器件场合，尤其是数字保密通信，提供了一种新的思路.参考文献：[1] LORENZ E N.Detenninistic nonpefiodic flow[J].Atmos,1963,20(2):130-141.[2] SPROTT J C.Simple chaotic systems and circuits[J].Amerrican Journal of Physics,2000,68(8):758-763.[3] 王忠林,王光义.一个超混沌系统的设计与电路实现[J].电机与控制学报,2009,13(1):193-198.[4] YALCIN M E,SUYKENS JAK,VANDEWALLE J.Experimental confirmation of 3-and 5-scroll attractors from a generalized Chua's circuit [J]. IEEE Trans：CAS-I, 2000,47(3):425-429.[5] YU S M,TANG W K S.CHEN G R.Generation of scroll attractors under a Chua-circuit framework [J].International Journal of BifurcationChaos,2007,17(11):1-15.[6] L J H,YU S M,HENRY L,et al.Experimental verication of multidirectional multiscroll chaotic attractors [J].IEEE Trans：CircuitsSyst(part-I),2006,53(1):149-165.[7] 刘凌,苏燕辰,刘崇新.新三维混沌系统及其电路仿真实验[J]. 物理学报,2007,56(4):1966-1970.[8] 王震,毛鹏伟.一类三维混沌系统的分又及稳定性分析[J]. 动力学与控制学报,2008,6(1):16-21.[9] 霍学红,王震,李相峰.多涡卷混沌系统的仿真与非线性观测器[J].自动化技术与应用,2009,28(2):9-11.[10] 谌龙, 彭海军, 王德石. 一类多涡卷混沌系统构造方法研究[J]. 物理学报,2008,57(6):3337-3341.。

一个新的混沌系统及其电路仿真高智中;韩新风;章毛连【摘要】构造了一个新的三维自治混沌系统,该系统含有两个参数、两个非线性项.通过理论分析、数值仿真、Lyapunov指数谱和分岔图等非线性动力学分析方法分析了系统的丰富的动力学行为.结果表明系统是耗散的,系统存在两个不稳定平衡点,系统的轨线是有界的,当参数满足一定条件时,系统是混沌的.最后根据新混沌系统的数学模型设计具体的实际电子电路,给出系统处于混沌状态时的电路实验相图,与数值仿真结果是一致的.%A new three-dimensional autonomous chaotic system is constructed in this paper. The new system contains two parameters and two quadratic cross-product terms. The rich dynamics characteristics of the new system are analyzed by means of theoretical a-nalysis and nonlinear techniques, such as numerical simulations, bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum. Results show this system is dissipative and it has two unstable equilibrium points. The trajectory is bounded and the new system is chaotic when its parameters satisfy certain conditions. Finally, specific practical electronic circuit is designed according to mathematical model of the new chaotic system and the phase diagrams of the circuit under the chaotic state are given, which agree with the simulation results.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)002【总页数】5页(P288-292)【关键词】新混沌系统;理论分析;数值仿真;Lyapunov指数谱;分岔图;电路实验【作者】高智中;韩新风;章毛连【作者单位】安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;;安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;;安徽科技学院理学院,安徽凤阳233100;中国科学院等离子体物理研究所,安徽合肥230031【正文语种】中文【中图分类】O545由于混沌信号具有类随机、宽带功率谱和对初值敏感等特性，近40年来，混沌在非线性科学、工程和数学等领域中获得了广泛研究和应用.自从E.N.Lorenz［1］在分析气候数据时发现第一个混沌吸引子以来，G.Chen等［2］利用混沌反控制方法成功实现了一个与Lorenz相似但不拓扑等价的新混沌系统，即Chen系统，由此大大激发了人们对混沌生成的研究兴趣.除偶然遇到混沌系统外，有目的地产生混沌有2种办法：一是Sprott的计算机穷举搜索法［3］，二是Chen的混沌反控制法.近年来，人们不断地发现新的混沌系统［4-17］.本文构造了一个新的三维连续自治混沌系统，该系统含有2个参数，2个非线性项.通过理论推导、数值仿真、Lyapunov指数谱和分岔图分析了改变系统参数时系统动力学行为的变化，验证了系统的混沌特性.最后根据新混沌系统的数学模型设计具体的实际的电子电路，并给出系统处于混沌状态时的电路实验相图，与数值仿真结果是一致的.1 新混沌系统及其分析1.1 新混沌系统及其典型混沌吸引子本文构造的混沌系统的动力学方程为其中，x、y、z为系统的状态变量，a、b为系统的参数.当参数a=0.2，b=5时，利用Wolf方法数值计算系统的3个Lyapunov指数为LE1=0.303 9，LE2=0，LE3=-1.501 5，其分数维数为2.202 3，进一步说明此时系统处于混沌状态.由于系统的散度只要a＞-1，系统始终是耗散的，并以指数形式e-(a+1)收敛.也就是一个初始体积为V(0)的体积元在时刻t时收缩为体积元V(0)e-(a+1)t.这意味着，当t→∞时，包含系统轨线的每个小体积元以指数速率(-a-1)收缩到零，所有线最终会被限制在一个体积为零的极限子集上，其渐进运动将被固定在一个吸引子上，这就说明了吸引子的存在性.图1给出了在该参数下的混沌吸引子相图.从三维空间中的相图(图1(a))及在不同平面上的投影(图1(b)～(d))可以看出系统的混沌吸引子具有复杂的几何形状，具有很强的吸引性，具有复杂的折叠和拉伸轨线，系统的轨线是有界的.1.2 平衡点及其稳定性令系统右端为零，得系统的两个平衡点M(-2.236 1，-2.236 1，0.219 6)和N(2.236 1，2.236 1，0.183 6).首先分析平衡点M(-2.236 1，-2.236 1，0.219 6)，将系统在此点进行线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，得其特征根为λ1=-1.695 0，λ2=-6.666 2，λ3=7.161 2，显然平衡点M是一个鞍结点，不稳定.将系统在平衡点N进行线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，得其特征根为λ1=-1.716 0，λ2=-7.261 5，λ3=7.777 5，显然平衡点N也是一鞍结点，不稳定，所以这两个平衡点都不稳定.1.3 混沌吸引子的形成机制为了深入研究新系统的混沌吸引子结构的形成机制［18］，给系统的第二个方程右端加上一个常数控制器e，则受控系统为在受控系统中，控制器e的取值可以在一定范围内变化，随着e的变化，受控系统的混沌行为可以得到有效控制，在不同的e取值区间具有不同的动力学行为.在e由0逐渐增大过程中，当e=3.5时，受控系统对应的右半吸引子相图如图2(a)所示;当e=-3.5时，受控系统对应的左半吸引子相图如图2(b)所示.可见，新系统的混沌吸引子是由两个简单的混沌吸引子通过一个镜像映射相互融合而成.1.4 系统参数的影响随着系统参数的改变，系统平衡点的稳定性将会发生变化，从而系统也将处于不同的状态.系统的分岔图和Lyapunov指数谱图都可以较直观地反映非线性动力系统随系统参数变化的动态特性.当固定参数b=5，改变a，图3(a)和(b)给出了系统随参数a在a∈［-0.5， 1.5］上变化的分岔图和Lyapunov 指数谱图.由图3可知系统由倍周期分岔进入混沌状态，最后阵发性的离开混沌进入了大范围的周期运动.当系统的最大Lyapunov指数小于零时，对应系统处于周期运动.当最大Lyapunov指数大于零时，必将导致分岔图中的混沌区域.当固定参数a=0.2，改变b，图4(a)和(b)给出了系统随参数b在b∈［1，10］上变化的分岔图和Lyapunov指数谱图.由图4可知系统由混沌态经历倒倍周期分岔进入稳定的三周期态.由图3和图4知系统的分岔图和Lyapunov指数谱图是吻合的.1.5 时间相应图、功率谱图以及Poincaré截面图系统混沌运动的时间相应图具有非周期性，解的流对初值极为敏感，其时间相应图如图5(a)，混沌系统的功率谱是连续谱，如图5(b)，混沌系统的Poincaré截面上是沿一条直线段或一条曲线弧分布着的点的集合，如图5(c).由这些图都可以说明该新系统的确是一个混沌系统.2 电路仿真由于许多数值仿真能够得出的模拟结果并不一定能够在物理上实现，为了验证这个新混沌系统的性质以及前面所作的数值仿真结果，采用以下电路来实现这个新的混沌系统的吸引子，用电路软件Multisim设计实现该电路的原理图如图6所示.电路采用线性电阻、电容器、运算放大器(LM741)、模拟乘法器来设计实现.其中模拟乘法器用于实现系统中的非线性项，电容器用于实现积分运算，运算放大器及其相关电阻用于实现加、减运算.本电路设计中采取了优化设计，并且把电路优化到最简形式，采用更少的器件，以降低设计成本，便于工程上的实现.电路中各元件的具体参数见图6，利用软件中的示波器可以观察到混沌吸引子的相图如图7所示，结果与数值仿真图基本相同.3 结语本文构造了一个新的三维自治混沌系统，研究了新系统的耗散性和平衡点稳定性等相关问题，分析了系统参数变化时对整个系统的影响，给出了系统关于随参数变化的分岔图和Lyapunov指数谱图.结果表明，它具有一切混沌系统的共有特征：耗散性、有界性、对初值的极端敏感性、正的最大Lyapunov指数、一定频率范围内的连续谱等.该系统的电路实验结果和数值仿真结果是一致的，可作为混沌信号源应用于混沌通信和混沌信息加密之中.致谢安徽科技学院校自然科学基金(ZRC2010260)对本文给予了资助，谨致谢意. 参考文献［1］Lorenz E N.Deterministic non-periodic flow［J］.Atmo Sci，1963，20(2)：130-141.［2］Chen G R，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.Inter J Bifur Chaos，1999，9(7)：1465-1466.［3］Sprott J C.Some simple chaotic flows［J］.Physics Rev，1994，E50(2)：647-650.［4］Lü J，Chen G R.A new chaotic attractor cioned［J］.Inter J Bifur Chaos，2002，12(3)：659-661.［5］刘文波，陈关荣.4-涡卷(Four-scrolls)混沌系统的复合结构［J］.南京航空航天大学学报：英文版，2003，11(2)：192-195.［6］Liu C X，Liu T，Liu L，et al.A new chaotic attractor［J］.Chaos，Solitions and Fractals，2004，22(5)：1031-1038.［7］Qi G Y，Chen G R，Du S Z，et al.Analysis of a new chaotic system ［J］.Phys Lett，2005，A352(2/3/4)：295-308.［8］蔡国梁，谭振梅，周维怀，等.一个新的混沌系统的动力学分析及混沌控制［J］.物理学报，2007，56(11)：6230-6236.［9］禹思敏.四阶Colpitts混沌振荡器［J］.物理学报，2008，57(6)：3374-3379.［10］吴然超，郭玉祥.含一个非线性项混沌系统的线性控制及反控制［J］.物理学报，2010，59(8)：5293-5298.［11］许喆，刘崇新，杨韬.一种新型混沌系统的分析及电路实现［J］.物理学报，2010，59(1)：131-139.［12］乔晓华，包伯成.新三维分段线性混沌系统［J］.电子科技大学学报，2009，38(4)：564-568.［13］王杰智，陈增强，袁著祉.一个新的混沌系统及其性质研究［J］.物理学报，2006，55(8)：3956-3963.［14］谢国波，禹思敏，周武杰.一个新的三维二次混沌系统及其研究［J］.通讯技术，2009，42(1)：267-270.［15］刘凌，苏燕辰，刘崇新.新三维混沌系统及其电路仿真［J］.物理学报，2007，56(4)：1966-1971.［16］张建雄，唐万生，徐勇.一个新的三维混沌系统［J］.物理学报，2008，57(11)：6799-6809.［17］王光义，丘水生，许志益.一个新的三维二次混沌系统及其电路实现［J］.物理学报，2006，55(7)：3295-3301.［18］陈关荣，吕金虎.Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步［M］.北京：科学出版社，2003.。

一个新四维超混沌系统的构建与电路实现朱雷;刘艳云;王轩;武花干;周小勇【摘要】利用基本Sprott-B系统仅具有两个涡卷平衡点的特点,通过系统改造与推广,提出一个具有3个平衡点的三维混沌系统,进而通过增加一维线性控制器并反馈至三维系统状态方程,构建出一个新四维超混沌系统.采用相轨图、Lyapunov指数谱和分岔图等动力学工具对超混沌系统进行了仿真分析.结果表明,当参数变化时,系统可以在周期或复杂周期、混沌与超混沌之间演变,存在复杂而奇异的动力学行为.研制电子电路并生成了超混沌吸引子,完成了实验验证.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(050)002【总页数】5页(P206-210)【关键词】超混沌系统;平衡点;Lyapunov指数谱;电路实现【作者】朱雷;刘艳云;王轩;武花干;周小勇【作者单位】江苏理工学院电气信息工程学院,江苏常州213001;南京航空航天大学电子信息工程学院,南京210016;常州纺织服装职业技术学院机电工程系,江苏常州213164;江苏理工学院电气信息工程学院,江苏常州213001;南京理工大学电子工程系,南京210094;江苏理工学院电气信息工程学院,江苏常州213001【正文语种】中文【中图分类】TM132由于超混沌系统具有两个或两个以上的正Lyapunov指数，因而比混沌系统具有更为复杂的动力学行为，从而在保密通信等工程技术领域具有重要的应用价值[1].长期以来学术界对于超混沌系统的研究与发掘从未停歇，在三维混沌系统状态方程上加载不同的反馈控制器构造四维或更高维的系统，成为一种有效的探索手段.文献[2]和文献[3]分别从Chua系统和Colpitts振荡器模型出发，添加反馈控制器并引入分段线性函数，构造并物理生成了相应的多涡卷超混沌吸引子.除上述从电子电路原型中抽象出的混沌系统以外，更多的研究焦点集中在具有对称蝴蝶混沌吸引子的三维连续混沌系统上.2007年，王光义等学者通过对Lorenz系统施加线性反馈控制器，实现并电路生成了两翼超混沌吸引子[4]；2009年，包伯成等提出一个新三维混沌系统，即Bao系统[5]，并利用线性反馈控制得到相应的超混沌系统[6]；2010年，贾立新等通过对Chen系统进行线性反馈控制，得到一种超混沌Chen系统[7]；包伯成等通过对增广Lü系统进行线性反馈控制，得到一个四翼蝴蝶超混沌系统[8]；2012年，李春来与禹思敏通过对Yang系统的三个状态方程同时施加线性控制器，构建了一种超混沌系统并完成电路实验验证[9]；2014年以来，新的超混沌系统依然在陆续出现[10，11].作为三维连续混沌系统，基本Sprott-B系统[12]由美国学者Sprott于1994年提出，相关的研究报道较少，文献[13]和[14]基于其数学模型分别构建了两种不同的分段线性混沌系统.从相轨图角度看，基本Sprott-B系统具有两翼蝴蝶混沌吸引子，从平衡点角度看，与上文提到的三维两翼蝴蝶混沌系统不同，仅具有两个涡卷平衡点，从这个差别出发，本文尝试对基本Sprott-B系统进行改造，从而提出一个具有3个平衡点的新三维混沌系统，并进一步构建出一个新四维超混沌系统，同时搭建电子电路验证并观察系统生成的两翼蝴蝶超混沌吸引子.基本Sprott-B混沌系统[12]状态方程为：与其它典型连续混沌系统如Lorenz系统等相同的是，系统(1)具有一对指标2的鞍焦平衡点S1=(1， 1， 0)和S-1=(-1，-1， 0)，从而呈现出一个两翼蝴蝶混沌吸引子.不同的是，系统(1)缺少一个指标1的鞍点.而从目前四维连续蝴蝶超混沌系统构建的角度来看，一般都是基于现有三维连续混沌系统，通过引入一维线性或非线性控制器并反馈至三维系统方程中获得，大多数情况下，原三维系统中指标1的鞍点对应于四维超混沌系统中唯一的不稳定平衡点，并往往成为生成超混沌吸引子的关键.基于上述思想，本文首先对系统(1)进行一种巧妙地改进，在第3个方程中增加一个线性项-z，并引入正参数a， b， c进行系统推广，从而提出一个新的三维混沌系统，其数学模型为：计算可知系统(2)具有三个平衡点和).当取参数a=10， b=4， c=1时，分别在平衡点Q0、Q1和Q-1处线性化系统(2)并作进一步计算，可以发现，Q0所对应的特征根为，因此，Q0是指标1的鞍点，而Q1和Q-1处则具有相同的特征多项式，其特征根均为λ1=-5.7051，λ2，3=0.3525±3.7280i，因此Q1和Q-1都属于指标2的鞍焦点，显然，系统(2)在系统(1)的基础上补充了指标1的鞍点，为超混沌系统的构建做好了铺垫.数值仿真可以得到此时系统(2)的混沌吸引子，如图1所示.此时系统的3个Lyapunov指数为LE1=0.3639，LE2=-0.0011，LE3=-5.3628，Lyapunov维数为dL=2.068.为了进一步得到超混沌系统，引入线性控制器w，令其变化率为=d(x+y)，并反馈至系统(2)的第一个方程，从而构建出新四维超混沌系统，其数学模型为：对于系统(3)，满足对于g(λ)，根据Routh-Hurwitz判据，由于-bd-ab2c<0，所以E0是不稳定平衡点.展开(6)式，得到f(λ)=λ4+(b+1)λ3+(b+d-abc)λ2+当取参数a=10， b=4， c=1， d=0.5时，数值计算得到四个特征根λ1=-8.6305，λ2=4.5281，λ3=-1，λ4=0.1024，因此平衡点E0为不稳定的鞍点.系统参数变化，动力学行为将随之发生改变，下面从Lyapunov指数谱和分岔图的角度动态观察这一影响.限于篇幅，这里仅分析参数b和d变化对系统的影响，且为了图形清晰起见，这里忽略了第四根负Lyapunov指数LE4.固定参数a=10， c=1， d=0.5，改变参数b，当b∈[0.1，20]时，数值仿真得到系统(3)的Lyapunov指数谱和分岔图，如图3所示.这里x-b分岔图仿真时选择的Poincaré截面为z=0平面.从图3可见，随着b的改变，系统状态在周期或复杂周期、混沌与超混沌之间演变.当b∈[0.1，0.7)时，Lyapunov指数LE1=0，LE2，LE3， LE4 < 0，系统处于周期或复杂周期状态；当b∈[0.7，1.5)时，除在b=1.22处存在一个周期窗口以外，Lyapunov指数LE1 > 0， LE2=0， LE3，LE4 < 0，系统处于微弱的混沌状态；当b∈[1.5，2.3)时，Lyapunov指数LE1=0， LE2， LE3， LE4 < 0，系统处于周期状态；当b∈[2.3，2.6)时，Lyapunov指数LE1 > 0， LE2=0， LE3， LE4 <0，系统处于混沌状态；当b∈[2.6，11.3)时，Lyapunov指数LE1 > 0， LE2 > 0， LE3=0， LE4 < 0，系统处于超混沌状态；当b∈[11.3，20]时，除个别瞬态、微弱的混沌窗口以外，Lyapunov指数LE1=0， LE2， LE3， LE4 < 0，系统处于周期状态，且为周期3. 固定参数a=10， b=4， c=1，改变参数d，当d∈[0.1，1.6]时，数值仿真得到系统(3)的Lyapunov指数谱和分岔图，如图4所示.这里z-d分岔图选择的Po incaré截面为y=1平面.显而易见，当d∈[0.1，1.06)时，除个别混沌窗口外，Lyapunov指数LE1 > 0， LE2 > 0， LE3=0， LE4 < 0，系统处于超混沌状态；当d∈[1.06，1.6]时，除个别瞬态混沌窗口以外，Lyapunov指数LE1=0，LE2，LE3， LE4 < 0，系统处于周期状态.进一步的相轨图仿真研究表明，当1.06 ≤ d< 1.4时，系统呈现出单翼周期吸引子，当1.4 ≤ d ≤ 1.6时，呈现出对称两翼周期吸引子.且在单翼周期区域中，隐藏着局部的吸引子共存窗口，例如，当d=1.1时，参数初值(x0， y0， z0， w0)分别为(1， 1， 1， 1)和(1， 1， 1，-1)时，分别对应着右吸引子和左吸引子.根据系统(3)的微分方程组，可以设计并制作硬件实现电路，如图5所示.这里τ=R0C0为积分电路时间常数，也是时间尺度变换因子，为了保证实验观测效果，取R0=100 kΩ，C0=0.1 μF，从而电路生成的超混沌信号在相轨图不变的情况下，时间域被压缩100倍.为了保证电路实现精度，集成运算放大器和模拟乘法器分别选择了TI公司的TL084和MPY634集成芯片，并采用±12 V线性电源电压供电，电阻采用了多圈电位器精密调节得到，而电容则采用大量CBB电容精密测量筛选获得.当取电阻Ra=2 kΩ，Rb=5 kΩ，Rd=40 kΩ，电压-5c V为-5 V时，对应于系统(3)的参数a=10， b=4， c=1， d=0.5.采用高分辨率的安捷伦数字示波器DSO7054B进行实验观测，可以精密捕获超混沌系统的相轨迹，实验结果如图6所示.通过与图2对比可以发现，电路工作后得到的超混沌吸引子与数值仿真结果保持一致，上述电路可以准确实现本文所构建的超混沌系统.本文从仅具有两个涡卷平衡点的基本Sprott-B混沌系统出发，巧妙地在第3个方程中增加一个线性项-z，并引入正参数进行系统推广，提出一个具有3个平衡点的新三维混沌系统，新混沌系统与基本Sprott-B系统具有不同的拓扑结构与混沌吸引子.在此基础上，引入线性控制器w并反馈至新三维混沌系统的第一个方程，从而构建出一个新四维超混沌系统，典型参数下的Lyapunov指数计算表明系统处于超混沌状态，而相轨图仿真表明系统具有两翼蝴蝶超混沌吸引子.在对系统的耗散性、平衡点稳定性分析的基础上，结合Lyapunov指数谱和分岔图等动力学分析手段对系统参数的影响进行了详细分析，结果表明，参数b的变化可以导致系统状态在周期或复杂周期、混沌与超混沌之间演变，参数d的变化可以导致系统状态在周期与超混沌之间演变，且在单翼周期区域中，隐藏着局部吸引子共存窗口.在理论分析和仿真研究的基础上，设计了相应的硬件电路并进行了实验验证，通过对超混沌吸引子的观察，证实了本文所提出的新四维超混沌系统是一个物理可实现的系统.。

《微型机与应用》２０14年第33卷第4期欢迎网上投稿人们对混沌现象的认识可以追溯到19世纪，法国数学家Poincare 在研究太阳系三体运动时不经意间发现了它，1990年，美国海军实验室的学者Pecora 和他的同伴Carroll 在电子学线路的设计实验中观察到混沌同步的现象[1]。

在最近几十年中，混沌更是受到了广大学者和专家的关注和青睐。

从发现混沌现象到现在，混沌被应用在人们生活的各个方面，如机械系统、电子系统、生态系统、信息系统、应用数学和物理学中[2-6]。

随着混沌系统维数的增加，人们发现了超混沌现象，其中人们熟知的超混沌系统有超混沌Chen 系统、超混沌L ü系统等[7-8]。

超混沌的动力学行为比混沌动力学行为更加复杂，相轨迹在更多的方向上分离，超混沌现象利用信息加密使得对信息密码的破解更加困难，因此，超混沌系统在科技领域有着巨大的研究价值。

本文在前人所做工作的基础上，先构造了一个新的超混沌系统，并采用经典的动力学分析方法(包括相轨迹、平衡点、耗散性、Lyapunov 指数和poincare 截面等方面)对新系统从定性和定量两方面做了详细的分析，加深了对该超混沌系统的认识。

并借助Multisim 对新超混沌系统搭建了仿真电路，实验结果与理论分析相一致，验证了该超混沌系统的实际物理意义。

1新超混沌系统数学模型构造的新超混沌系统数学模型如下：x 觶=a (y -x )y觶=-xz -w z觶=-b+xy+x 2w觶=my (1)当系统初值取为[x 0，y 0，z 0，w 0]=[0.5，0.8，0.2，0.4]，a =5，b =90，m =5时，计算机仿真的系统相轨迹如图1所示，初步判断该系统具有超混沌吸引子。

2新超混沌系统的动力学分析2.1平衡点分析通过求解下面的方程可以得到系统的平衡点：鄢基金项目：西北农林科技大学国家级“大学生创新创业训练计划”资助课题（1210712090）一个新超混沌系统的动力学分析及其电路实现鄢徐家宝，吴凤娇，黄心笛，赵嘉，王坤，宋芮（西北农林科技大学水利与建筑工程学院电气系，陕西杨凌712100）摘要：构造了一个新的超混沌系统，通过Matlab 绘制其相轨迹图，初步判断该系统具有混沌吸引子。

科技资讯2017 NO.21SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION动力与电气工程通过模拟电路手段可以有效地检测连续混沌系统的混沌特性,因此,被广泛应用于混沌系统的实验验证。

禹思敏[1]、包伯成[2]等学者对许多混沌系统进行了深入的研究并在学术专著中对混沌电路设计进行了系统的介绍。

2016年,文献[3-4]在对Sprott-B 系统改进后提出了一种新三维混沌系统,并进一步构造了一种新四维超混沌系统,同时,对超混沌系统进行了详细的动力学分析和电路实现,但是,限于篇幅和侧重点,文献[3]对新三维混沌系统并未进行实验验证。

该文与大学生创新创业训练计划项目相结合,对新三维混沌系统开展相应的电路实验验证工作。

1 新三维混沌系统文献[3]提出的新三维混沌系统的数学模型为:()xayz y b x y zc xy z=⎧⎪=-⎨⎪=--⎩ (1)①基金项目:江苏省高等学校大学生创新创业训练计划项目(项目编号:201611463026Y);江苏理工学院教学改革与研究项目(项目编号:11610211510)。

作者简介:桑一(1995,5—),女,汉,江苏江都人,本科,主要从事非线性电路与系统方面的研究。

通讯作者:朱雷( 1979,2—),男,汉,江苏金坛人,硕士,副教授,研究方向:非线性电路与系统,E-mail:zhuleei@。

DOI:10.16661/ki.1672-3791.2017.21.031一个新三维混沌系统的电路实现①桑一 朱雷* 高资 吴杰 顾翠翠(江苏理工学院电气信息工程学院 江苏常州 213001)摘 要:针对一种新三维混沌系统状态方程,在相轨图数值仿真的基础上,进行了基本的动力学分析,利用集成运算放大器、集成模拟乘法器以及电阻、电容等分立元件设计了相应的混沌电路,利用数字示波器对系统生成的混沌吸引子进行了实验观测,获得了良好的实验结果,证实了系统的物理可实现性,同时从实际电路中观察到了新颖的物理现象。

双涡卷Jerk非线性系统混沌电路设计
陈娇英;彭宇宁;唐英姿
【期刊名称】《桂林理工大学学报》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】为进一步探讨非线性混沌系统的可控规律，实现对混沌现象的利弊进行有效控制，根据双涡卷Jerk混沌系统状态方程，采用模块化电路设计理论设计了双涡卷Jerk非线性混沌电路，并使用Matlab软件仿真其数学模型，Multisim软件仿真其硬件电路。

仿真结果证明：设计的双涡卷非线性混沌电路能产生与数学模型仿真结果一致的混沌波形，验证了所设计双涡卷Jerk混沌电路的正确性。

【总页数】4页(P213-216)
【作者】陈娇英;彭宇宁;唐英姿
【作者单位】广西大学电气工程学院，南宁 530004; 广西工业职业技术学院，南宁 530001;广西大学电气工程学院，南宁 530004;广西师范学院，南宁 530001【正文语种】中文
【中图分类】TM13
【相关文献】
1.基于Jerk形式的多涡卷混沌电路 [J], 俞清;姜盼;陆菱;包伯成
2.基于Jerk形式的多涡卷混沌电路 [J], 俞清;姜盼;陆菱;包伯成;
3.一种n-涡卷Jerk系统及其电路设计 [J], 吕恩胜
4.一种n-涡卷Jerk系统及其电路设计 [J], 吕恩胜;张绘敏
5.基于多涡卷 JerK-Chua 混沌和自编码的扩频码构造方法 [J], 张晓蓉;吴成茂;李文学
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