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数列知识点总结加公式一、数列的概念数列是指按照一定的规律排列在一起的一系列数，它是由一些固定的数字按照一定的顺序排列而成的。
数列中的每一个数字称为这个数列的项，数列中的第n个数字称为这个数列的第n项。
数列常用字母表示，如an，表示数列的第n项。
数列常常根据其规律性质进行分类。
一般地，数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。
1. 等差数列等差数列是指数列中任意相邻两项的差都是相等的，差值为d。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为第一项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比值都是相等的，比值为q。
等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为第一项，q为公比，n为项数。
3. 递推数列递推数列是指数列中的每一项都是由前面的项按一定的规律递推而来的数列。
递推数列常常可以通过递推关系式进行表达。
二、数列的性质数列在数学中有许多重要的性质，这些性质在研究数列的规律和性质时起着非常重要的作用。
下面就数列的一些重要的性质进行总结。
1. 数列的有界性若数列中的所有项都小于等于某一实数M，则称数列是有上界的，并称M为数列的一个上界。
若数列中的所有项都大于等于某一实数m，则称数列是有下界的，并称m为数列的一个下界。
若数列同时有上界和下界，则称数列有界。
2. 数列的单调性如果数列中的每一个项都不小于或不大于其前一项，则该数列是单调递增的或单调递减的。
特别地，如果数列中的每一个项都不小于或不大于其前一项的绝对值，则该数列是单调非减的或单调非增的。
3. 数列的极限数列的极限是指当数列的项数n趋于无穷大时，数列中的项an的极限存在并且唯一。
当这个极限存在时，我们称数列是收敛的，否则称数列是发散的。
三、常见数列及其性质1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种递推数列，它的定义是前两项均为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
高中数学数列公式大全(很齐全哟~!)精编版
1：等比数列通项公式：an=a1_q^(n-1);推广式：an=am·q^(n-m);
2：等比数列求和公式：等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an
①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)
②当q=1时，Sn=n×a1(q=1)记πn=a1·a2…an，则有π
2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
3：等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
4：性质：
①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap_aq;
②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.
例题：设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak_al=am_an
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)
所以：ak_al=a^2_q^(k+l-2)，am_an=a^2_q(m+n-2)，故：
ak_al=am_an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。
它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a(1+k)·a(n-k)=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。
即：a(1+k)+a(n-k)=a1+an。
高考数学知识点总结：数列公式及结论总结?一、高考数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的干系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (此中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n 的一次式；当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k(此中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，三、高考数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
4、等比数列{an}的恣意一连m项的和组成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列7、等差数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的恣意等隔断的项组成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)12、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差数列。
高中数列公式大全基础知识点方法归纳及解题技巧超详细！（完整版）1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列前项和 性质：是等差数列（1）若，则（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为 （4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数n 2的等差数列，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列，有1n n a a d +-=d ()11n a a n d =+-x A y ，，2A x y ⇔=+n ()()11122n n a a n n n S nad +-==+{}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+；232n n n n n S S S S S --，，……a d a a d -+，，n n a b ，n n n S T ，2121m m m m a S b T --={}n a 2n S an bn ⇔=+a b ，n n S 2n S an bn =+{}n a 100a d ><，10n n a a +≥⎧⎨≤⎩n S n 100a d <>，10n n a a +≤⎧⎨≥⎩n S n {}n a {}n a)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或前项和：（要注意！）性质：是等比数列（1）若，则 （2）仍为等比数列,公比为nq . 注意：由求时应注意什么？时，； 时，.3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列，，求 解 时，，∴①时， ②①—②得：，∴，∴1n na q a +=q 0q ≠11n n a a q -=x G y 、、2G xy ⇒=G =n ()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩{}n a m n p q +=+mn p q a a a a =··232n n n n n S S S S S --，，……n S n a 1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-{}n a 12211125222n n a a a n +++=+……n a 1n =112152a =⨯+114a =2n ≥12121111215222n n a a a n --+++=-+……122n n a =12n n a +=114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列满足，求 注意到，代入得；又，∴是等比数列，时，（2）叠乘法如：数列中，，求 解，∴又，∴. （3）等差型递推公式由，求，用迭加法时，两边相加得∴［练习］数列中，，求（）（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设 令，∴，∴是首项为为公比的等比数列 ∴，∴ （5）倒数法如：，求 {}n a 111543n n n S S a a +++==，n a 11n n n a S S ++=-14n nS S +=14S ={}n S 4nn S =2n ≥1134n n n n a S S --=-==……·{}n a 1131n nana a n +==+，n a 3212112123n n a a a n a a a n--=·……·……11n a a n =13a =3n a n =110()n n a a f n a a --==，n a 2n ≥21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……0(2)(3)()n a a f f f n =++++……{}n a ()111132n n n a a a n --==+≥，na ()1312nn a =-1n n a ca d -=+c d 、010c c d ≠≠≠，，()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+-(1)c x d -=1d x c =-1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭11d a c c +-，1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭11212nn n a a a a +==+，n a由已知得：，∴ ∴为等差数列，，公差为，∴， ∴( 附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：是公差为的等差数列，求解：由∴ ［练习］求和： （2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，1211122n n n n a a a a ++==+11112n n a a +-=1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =12()()11111122n n n a =+-=+·21n a n =+{}n a d 111nk k k a a =+∑()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑……11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭111112123123n+++++++++++ (1)21n n a S n ===-+…………，{}n a {}n b {}n n a b n n n S qS -求，其中为的公比.如： ①②①—②时，，时， （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.相加［练习］已知，则由∴原式 (附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
数列常见数列公式数列是数学中常见的一种数值排列模式，通常由一个初始项和一个通项公式来确定。
不同类型的数列有不同的求解方法，下面将介绍常见的数列公式及其解法。
1.等差数列（Arithmetic Progression）：等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的差等于一个常数d。
例如，1，3，5，7，9，…，其中公差d=2通项公式：an = a1 + (n - 1) * d求和公式：Sn = (n / 2) * (a1 + an)2.等比数列（Geometric Progression）：等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的比例等于一个常数r。
例如，2，6，18，54，162，…，其中公比r=3通项公式：an = a1 * r^(n-1)求和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)3. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）：斐波那契数列是指数列中的每一项等于前两项之和。
例如，1，1，2，3，5，8，13，…。
通项公式：an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 14. 平方数列（Square Numbers Sequence）：平方数列是指数列中的每一项都是一些自然数的平方。
例如，1，4，9，16，25，…。
通项公式：an = n^25. 立方数列（Cube Numbers Sequence）：立方数列是指数列中的每一项都是一些自然数的立方。
例如，1，8，27，64，125，…。
通项公式：an = n^36.等差-等比数列（Arithmetic-Geometric Progression）：等差-等比数列是指数列中的前一部分是等差，后一部分是等比。
例如，1，4，9，16，32，64，…，其中前四项是等差数列，后两项是等比数列。
通项公式：an = a + (n - m) * d * r^(n - m - 1)，其中n >= m。
以上是一些常见的数列公式及其解法。
数列公式大全数列是数学中的重要概念，在高考中也是常见的考点。
以下是数列的一些常见公式和性质，供高考复习参考。
1.等差数列等差数列是数列中最简单的一种形式，公式为：an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
常见性质：-公差d的求解方法：d=a2-a1=a3-a2=...- 前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2- 根据首尾两项和项数求公差：d = (an - a1) / (n-1)2.等比数列等比数列是指数列中后一项与前一项的比相等的数列。
公式为：an = a1 * r^(n-1)。
其中，an表示数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。
常见性质：-公比r的求解方法：r=a2/a1=a3/a2=...-前n项和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)(当，r，<1)-无穷项和公式：Sn=a1/(1-r)(当，r，<1)3.等差数列与等比数列的转换对于等差数列，可以通过等比数列进行转换。
公式为：an = ar^(n-1)。
其中，an表示等差数列的第n项，a表示等差数列的公差，r表示等差数列的首项和公差的比。
4.斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，公式为：an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1常见性质：5.平方数列平方数列是指数列中每一项都是一个平方数的数列。
公式为：an = n^2常见性质：-平方数和公式：Sn=n(n+1)(2n+1)/6-平方数的性质：n^2=(n-1)^2+2n-16.立方数列立方数列是指数列中每一项都是一个立方数的数列。
公式为：an = n^3常见性质：-立方数和公式：Sn=n^2(n+1)^2/4-立方数的性质：n^3=(n-1)^3+3n(n-1)+1除了以上几种常见的数列外，高考中还会涉及到其他类型的数列，如等差数列和等比数列的组合、绝对值数列、等差中项数列等等，这些数列的性质和公式需要根据具体的题目进行掌握和记忆。
常见数列公式范文1.等差数列公式：一个等差数列中的每个数字与其前一个数字的差值都相等。
表达式为an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列中的第n个数字，a1表示数列中的第一个数字，d表示公差。
2.等比数列公式：一个等比数列中的每个数字与其前一个数字的比值都相等。
表达式为an = a1 * r^(n - 1)，其中an表示数列中的第n个数字，a1表示数列中的第一个数字，r表示公比。
3. 斐波那契数列公式：斐波那契数列的前两个数字为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
表达式为fn = fn-1 + fn-2，其中fn表示数列中的第n个数字，fn-1表示数列中的第n-1个数字，fn-2表示数列中的第n-2个数字。
4. 调和数列公式：调和数列是指数列的倒数。
表达式为an = 1/n，其中an表示数列中的第n个数字。
5. 平方数列公式：平方数列是指数列的平方。
表达式为an = n^2，其中an表示数列中的第n个数字。
6. 立方数列公式：立方数列是指数列的立方。
表达式为an = n^3，其中an表示数列中的第n个数字。
7. 阶乘数列公式：阶乘数列是指n的阶乘。
表达式为an = n!，其中an表示数列中的第n个数字。
8. 三角数列公式：三角数列是指等差数列的前n项和。
表达式为an = n * (n + 1) / 2，其中an表示数列中的第n个数字。
9.素数数列公式：素数数列是只包含素数的数列。
素数是只能被1和自身整除的正整数。
10. 自然数数列公式：自然数数列是指从1开始的连续的正整数序列。
表达式为an = n，其中an表示数列中的第n个数字。
11. 平行四边形数列公式：平行四边形数列是指一个与等差数列和等差数列之和成等差关系的数列。
表达式为an = n^2 + an-1，其中an表示数列中的第n个数字，an-1表示数列中的第n-1个数字。
12.算术-几何数列公式：算术-几何数列是指一个等差数列和等比数列的乘积数列。
2019高考数学知识点总结：数列公式及结论总结?一、高考数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n 的一次式；当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，三、高考数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)12、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差数列。
数列公式汇总数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照规律排列的数字组成。
在数列中，每个数字被称为项，而项之间的关系被称为公式。
本文将详细介绍数列的各种公式和它们的应用。
1.等差数列：等差数列是指数列中的每两个相邻的项之间的差值都相等的数列。
它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个项，a1表示第1个项，d表示公差。
2.等比数列：等比数列是指数列中的每两个相邻的项之间的比值都相等的数列。
它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个项，a1表示第1个项，r表示公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两个项均为1，从第三个项开始，每一项都是前两个项的和。
它的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an表示第n个项。
4. 平方数列：平方数列是指数列中的每个项都是一个平方数的数列。
它的通项公式为an = n^2，其中an表示第n个项。
5. 立方数列：立方数列是指数列中的每个项都是一个立方数的数列。
它的通项公式为an = n^3，其中an表示第n个项。
6.等差数列求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=(2a1+(n-1)d)*n/2，其中Sn表示前n项和，a1表示第1个项，d表示公差。
7.等比数列求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a1表示第1个项，r表示公比。
8.斐波那契数列求和公式：斐波那契数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=Fn+2-1，其中Sn表示前n项和，Fn表示第n个斐波那契数。
9.平方数列求和公式：平方数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6，其中Sn表示前n项和。
10.立方数列求和公式：立方数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=(n*(n+1)/2)^2，其中Sn表示前n项和。
最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出 数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
♦一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式: 1、 1.3.7.15.31 2、 1,2,5,8,12-4、 1,-1,1,-15、 1、 0、 1、 0♦二、公式法① 利用等差数列或等比数列的定义求通项t 1S| .......... n = 1② 若已知数列的前 n 项和S n 与a n 的关系，求数列ia n ｝的通项a n 可用公式a n =」求解.S 」……让2(注意：求完后一定要考虑合并通项 )例2.①已知数列1a n ［的前n 项和&满足S^ -2a n (-1)n,n _1 •求数列1a n ?的通项公式.②已知数列 Q '的前n 项和S n 满足& = n2• n - 1，求数列订爲的通项公式③ 已知等比数列 ^n 1的首项a 1 =1，公比0 ::: q < 1，设数列"b n ?的通项为0二a .「a n-2，求数列■bn 1的通项公式。
③解读：由题意，b n ^a n 2 - a n 3，又〈a n ［是等比数列，公比为 q••• b n =q(q 1) q n‘ =q n(q 1)♦三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项 公式，然后再用数学归纳法证明之。
也可以猜想出规律，然后正面证明。
例3. (2002年北京春季高考)已知点的序列A n (x n ,0), N *，其中x^0, x^ a(a 0) , A 3是线段A 1A 2的中点， A 是线段A 2 A 3的中点，…， A n 是线段A n/A n4的中点,(1) 写出X n 与X n^,X n€之间的关系式(门-3 )。
数列常见数列公式（超全的数列公式及详细解法编撰）1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=mn a a mn -- 4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式6.等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a q a a m n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列; 当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列; 当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和等比数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q qa a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
(2004全国卷I.22)已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。
P24（styyj ）例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以na a n 111-=-211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
(2004全国卷I.15)已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥ P24（styyj ）例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=na a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ （2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，∙∙∙，12)1(a f a =依次向前代入，得1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，简记为111))((a k f a n k n -=∏= )1)(,1(01=∏≥=k f n k ，这就是叠（迭）代法的基本模式。
（3） 递推式：()n f pa a n n +=+1 解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 例5．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩⎨⎧==11B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n n n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.例6．已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-∙+⨯-⨯∙⋅⋅⋅∙+---∙+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=--- 。
类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
(2006.重庆.14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =P24（styyj ）例7. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .类型 4 递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
