抛物线知识点归纳总结与习题

抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.注 若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22222>-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22>=p px y 的关系（1）P 在抛物线内（含焦点）0202px y <⇔. （2）P 在抛物线上0202px y =⇔. （3）P 在抛物线外0202px y >⇔.2. 焦半径抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22>=p px y ，则焦半径20px PF +=，2max p PF =. 3. )0(>p p 的几何意义p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦若AB 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论：（1）4221p x x =.（2）221p y y -=.（3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2.焦点弦长公式2：α2sin 2pAB =（α为直线AB 与对称轴的夹角）.（4）AOB ∆的面积公式：αsin 22p S AOB =∆（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦若AB 为抛物线22(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则（1） 弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0AB p k y =（3） 直线AB 的方程为000(x x )py y y -=- （4） 线段AB 的垂直平分线方程为000(x x )y y y p-=-- 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法） （1）2(A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4A x =-(2) 2(A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4A ，准线为4A y =-如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116y =-7．参数方程22(p 0)y px => 的参数方程为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（参数t R ∈）8．切线方程和切点弦方程抛物线22(p 0)y px =>的切线方程为0000(x x ),(x ,y )y y p =+为切点切点弦方程为00(x x ),y y p =+点00(x ,y )在抛物线外与中点弦平行的直线为00(x x ),y y p =+此直线与抛物线相离，点00(x ,y )（含焦点）是弦AB 的中点，中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。

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直线，抛物线， ,得：
抛物线,
，
点的横坐标相同即为为抛物线上一点，。

九年级抛物线知识点总结抛物线是初中数学中的重要内容之一，本文将对九年级抛物线的相关知识点进行总结。

抛物线作为二次曲线的一种，具有独特的性质和特点。

让我们来一起了解一下。

一、抛物线的定义与特点抛物线可以由平面上一动点P与一定点F和直线l的位置关系定义：点P到定点F的距离与点P到直线l的距离相等。

抛物线的特点如下：1. 拋物线的对称性：抛物线以其顶点为对称轴对称。

2. 抛物线的焦点和准线：焦点是定点F，准线是直线l。

3. 抛物线的开口方向：开口朝上或开口朝下。

二、抛物线方程抛物线的方程一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。

通过给定的条件可以确定抛物线方程的具体形式。

1. 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。

2. 标准形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数。

3. 焦点和准线形式：(x - p)^2 = 4a(y - q)，其中焦点为(p, q)。

三、抛物线的性质1. 对称性：抛物线以其顶点为对称轴对称。

即对于抛物线上任意一点P(x, y)，顶点为V(h, k)，则有P对称于V的点P'(2h - x, y)也在抛物线上。

2. 焦距与准线的关系：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线的距离。

3. 切线与法线：抛物线上一点的切线与此点到焦点的连线垂直。

4. 定点运动问题：抛物线可以描述物体在重力作用下的运动轨迹，例如抛体、自由落体等的轨迹。

四、常见的抛物线应用1. 经典物理问题：抛体运动、自由落体等问题。

2. 电磁波的反射与折射：例如抛物面反射天线、焦点反射器等。

3. 光学成像问题：例如抛物面反射镜、探照灯、聚光灯等。

五、习题示例1. 求抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的顶点坐标和开口方向。

2. 已知抛物线的顶点坐标为V(-1, 2)，求抛物线的方程。

3. 已知焦点为F(3, -4)，准线为y = -8，求抛物线的方程。

八年级抛物线知识点抛物线是我们数学中一个重要且有趣的概念。

在八年级的数学课程中，我们将开始学习关于抛物线的知识。

本文将为大家介绍抛物线的定义及其特点，并提供一些解题思路和例题。

1. 抛物线的定义抛物线是一种特殊的曲线，其形状犹如一个弯曲的碗或者一个挂在绳上的项链。

数学上，抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的，焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。

2. 抛物线的特点抛物线具有以下几个重要的特点：•对称性：抛物线具有关于焦点所在的直线的对称性。

即，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点关于焦点所在直线的对称点到焦点的距离。

•顶点：抛物线的顶点是其最高或最低的点，也是抛物线的对称轴与抛物线的交点。

•切线：抛物线上任意一点的切线与抛物线的准线垂直。

3. 抛物线的方程抛物线的方程通常可以表示为一般式或标准式。

一般式的抛物线方程为：y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

标准式的抛物线方程为：y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。

4. 解题思路当遇到关于抛物线的题目时，我们可以按照以下步骤进行思考和解答：•步骤一：根据题目的要求，确定抛物线的方程形式。

如果已知抛物线的焦点坐标和准线形式，则可以直接确定方程的形式。

•步骤二：根据已知条件，代入方程中的变量，得到方程的具体值。

•步骤三：通过解方程或利用已知条件，求解未知变量的值。

•步骤四：利用已知条件和所求出的变量值，回答题目中的问题。

5. 例题解析现在，让我们通过一个例题来进一步理解抛物线的应用。

【例题】已知一个抛物线的焦点为F(-1, 2)且准线为y = 4，求该抛物线的方程。

【解析】根据题目的已知条件，我们可以确定抛物线的焦点坐标和准线形式。

焦点为F(-1, 2)，准线为y = 4。

由于焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离，我们可以利用焦点和准线的信息来确定抛物线的方程。

高二数学复习典型题型与知识点专题讲解11 抛物线一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 抛物线的方程知识点2 抛物线的定义（性质） 知识点3 抛物线的焦点弦 知识点4 坐标代换 知识点5 直线与抛物线 知识点6 抛物线中的面积问题 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 抛物线的方程例1．（2021·北京二十中高二期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上一点(2,)m -到焦点距离为4，那么抛物线的方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =D ．24y x =- 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且点(2,)m -在抛物线上，所以设抛物线方程为22y px=-()0p >，因为点(2,)m -到焦点距离为4，所以()242p--=，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =-，故选：B 名师点评抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，在解题时要灵活转化两个距离. 例2．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）抛物线22y x =的准线方程为（ ） A ．14x =B ．14x =-C ．18y =D ．18y =-【答案】D 【详解】由抛物线22y x =，则其标准方程为212x y =所以其准线方程为18y =-故选：D名师点评：抛物线标准方程：22(0)x py p =±>，22(0)y px p =±>，请注意在标准方程中，平方项前的系数需化为1，才是标准方程，本例中，应先将22y x =化为：212x y =，再求准线. 例3．（2021·全国·高二课时练习）以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =-C ．28y x =或28y x =-D ．28x y =或28x y【答案】C 【详解】依题意设抛物线方程为()220y px p =±>．因为焦点与原点之间的距离为2，所以22p=，所以28p =，所以抛物线方程为28y x =或28y x =-． 故选：C ．名师点评：抛物线的标准方程：22(0)x py p =±>，22(0)y px p =±>，有时候在解题时需分类讨论，为避免这个问题，可以在假设抛物线标准方程时，假设为统一方程： ①以x 轴为对称轴的标准方程：2(0)y mx m =≠； ②以y 轴为对称轴的标准方程：2(0)x my m =≠.知识点2 抛物线的定义（性质）例1．（2021·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知点P 是抛物线24y x =-上的一个动点，则点P 到点(0,2)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．3BC ．92【答案】C 【详解】 如图所示：由抛物线的定义得：PN PF =， 所以PN PM PF PM +=+，由图象知：当,,P F M 三点共线时，PN PM +最小，()minPN PM FM +=故选：C练习1-1．（2021·宁夏·平罗中学高二期中（理））已知(3,2)A ，点F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（2，2）C ．(D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】如图所示：设点P 到准线的距离为d ，准线方程为12x =-，所以17322PA PF PA d AB +=+≥=+=，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，此时点P 的坐标为()2,2． 故选：B ．练习1-2．（2021·全国·高二专题练习）已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C 【详解】易知抛物线的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-.连接PF ，延长PQ 交准线于点M ，如图所示.根据抛物线的定义，知1PF PM PQ ==+.所以1119PA PQ PA PF AF +=+-≥-==，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，所以PA PQ +的最小值为9. 故选：C.名师点评：抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，在解题时要灵活转化两个距离.知识点3 抛物线的焦点弦1．（2021·河北·廊坊市第一中学高一阶段练习）已知动点M 到点()0,2F 的距离与点M 到直线:2l y =-的距离相等．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 且斜率为1的直线与动点M 的轨迹交于A 、B 两点，求线段AB 的长度． 【答案】（1）28x y =；（2）16. （1）解：由题意点M 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以22p=，则4p =， 所以动点M 的轨迹方程是28x y =. （2）解：由已知直线AB 的方程是2y x =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，由228y x x y=+⎧⎨=⎩得28160x x --=，28640∆=+>， 所以128x x +=，则1212412y y x x +=++=，故12416AB y y =++=．2．（2021·吉林·长春市实验中学高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的焦点与双曲线22191625x y -=的右焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l ：()1y k x =-与抛物线交于A ，B 两点，5AB =，求k 的值. 【答案】（1）24y x =（2）2k =±（1）解：双曲线方程即：2219162525x y -=，则291612525c =+=，∴1c =，右焦点坐标为()1,0， 则抛物线的焦点坐标为()1,0，其标准方程为24y x =.（2）解：联立直线方程与抛物线方程可得：()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k ++=，121=x x ，易知直线恒过定点()1,0，即直线恒过抛物线的焦点，由抛物线的弦长公式可得：12AB x x p =++，∴1225x x ++=， 即：222425,k k++=，∴24k =，∴2k =±. 3．（2021·湖南·雅礼中学高二期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()2,0F ，直线l ：()2y k x =-与抛物线C 相交于不同的两点AB 、. （1）求抛物线C 的方程； （2）若9AB =，求k 的值.【答案】（1）28y x =；（2）k =±【详解】解：（1）因为抛物线C ：()220y px p =>的焦点()2,0F ，所以22p=，得4p =，所以抛物线方程为28y x =（2）设(2y k x =-）与28y x =相交于()()1122A x y B x y ，，，，由()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：()()2222222224840,484464640k x k x k k k k k ⎡⎤-++=∆=-+-⨯⨯=+>⎣⎦， 212248k x x k ++=，∵直线(2)y k x =-过焦点F∴2122248822489k AB AF FB x x k k+=+=+++=+=+= ∴28k =1∴k =±名师点评：抛物线22(0)y px p =>，若直线l 过22(0)y px p =>的焦点，与22(0)y px p =>交于,A B 两点，则12||AB x x p =++.注意此公式在解解答题时不能直接使用，需推导，特别是抛物线开口方向不同时，对应焦点弦公式也不一样，注意灵活应用.知识点4 坐标代换例1．（2021·江西吉安·高二阶段练习（文））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过点F作倾斜角为45的直线与抛物线C 交于,A B 两点，且16AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设,,P M N 为抛物线上不同的三点，且PM PN ⊥，若P 点的横坐标为8，证明：直线MN 过定点. 【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析. （1）解：由题意知，直线AB 的直线方程为2py x =+， 由222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22304p y py -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则123y y p +=， ∴12416AB y y p p =++==，∴4p =， ∴抛物线的方程为28x y =. （2）解：由(1)可得点()8,8P ，设223434,,,88x x M x N x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则233388888PMx x kx -+==-，同理可得244488888PN x x k x -+==-， ∵PM PN ⊥， ∴1PM PN k k ⋅=-，即3488188x x ++⋅=-， 即34348()1280x x x x +++=①，(也可由0PM PN →→⋅=得到) 由题意得直线MN 的斜率一定存在，设直线MN 方程为y kx b =+，联立28y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2880x kx b --=，则26432k b ∆=+，得348x x k +=，348x x b =-，带入①式得8641280b k -++=，即816b k =+，符合0∆>， 所以直线MN 方程为(8)16y kx b k x =+=++， 所以直线MN 过定点(－8，16)．名师点评：抛物线22(0)x py p =>上的点通常设为2(,)2x x p，抛物线22(0)y px p =>上的点通常设为2(,)2y y p .在本例中得点()8,8P ，可设223434,,,88x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两点坐标求斜率的公式分别求出,PM PN k k ，这样设可以有效减少变量的个数，降低计算的难度.例2．（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））已知动点M 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1．（1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）若点()()001,0P y y >、M 、N 在抛物线上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．【答案】（1）24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩；（2）证明见解析. （1）由题设，(,)M x y 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1，||1x =+，当0x ≥时，222(1)(1)x y x -+=+，整理得24y x =； 当0x <时，222(1)(1)x y x -+=-，整理得0y =；∴动点M 的轨迹W 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）证明：()()001,0P y y >，由（1）知：()1,2P ， 设MN 的方程为x my n =+，2111,4M y y ⎛⎫⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，124y y n =-，由1211241214PM y k y y -==+-，同理242PN k y =+，又12PM PN k k =-⋅， ∴()()12161222y y =-++，∴()12122360y y y y +++=，则290n m -++=，即29n m =+（满足Δ0>）， 直线MN 的方程为()2929x my m m y =++=++， ∴直线MN 过定点()9,2-，得证．名师点评：由（1）得()1,2P ，设MN 为x my n =+，可设2111,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立抛物线方程应用韦达定理得124y y m +=，124y y n =-，根据题设条件有()12122360y y y y +++=，进而可得,n m 的数量关系，即可证明结论.注意抛物线上点的常用设法，可降低计算难度.知识点5 直线与抛物线例1．（2021·全国·高二单元测试）已知(0,1)A ，B 是抛物线2:2C y x =上的点． （1）若B 点在其准线上的投影为B '，求AB BB '+的最小值； （2）求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线的方程． 【答案】（1（2）0x =或1y =或112y x =+ （1）抛物线2:2C y x =，焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为12x =-，根据抛物线的定义可知||||BB BF '=，所以||||||||||AB BB AB BF AF '+=+≥， 当,,A B F 三点共线时等号成立.()0,1A ，AF =AB BB '+.（2）当过A 点的直线斜率不存在时，直线方程为0x =， 此时直线与抛物线只有一个公共点，符合题意. 当过A 点的直线斜率为0时，直线方程为1y =， 此时直线与抛物线只有一个公共点，符合题意.当过A 点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为()10y kx k =+≠，212y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得()222210k x k x +-+=， ()222240k k ∆=--=，解得12k =，直线方程为112y x =+. 综上所述，所求直线方程为0x =或1y =或112y x =+. 名师点评：直线与抛物线位置关系的判定方法：步骤1:联立直线与抛物线方程：22y kx my px =+⎧⎨=⎩步骤2：消元，消去x （y ）.比如消去y 得：222(22)0k x km p x m +-+=；步骤3：①当0k =时，此时直线为水平线与抛物线相交； ②当0k ≠，方程是关于x 的二次方程，可通过∆判定：0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与抛物线相交； 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与抛物线相切； 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与抛物线相离.练习1-1．（2021·重庆·高三阶段练习）已知抛物线C ：22(>0)y px p =上有一点(4,)P h 到焦点F 的距离为5.（1）斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，若5AF BF +=，求直线l 的方程；（2）已知过点(10)-，的直线m 与抛物线C 交于D ，E 两点，且D 关于x 轴的对称点为M ，判断直线ME 是否过定点？并说明理由. 【答案】（1）22y x =-（2）直线ME 恒过定点()1,0（1）解：依题意设抛物线C ：22(>0)y px p =的准线为2px =-，因为(4,)P h 到焦点F 的距离为5，所以452p+=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =，设直线l 为2y x b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则224y x b y x =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得()224440x b x b +-+=，所以124414b x x b -+==-，因为5AF BF +=，所以12125x x p b ++=-+=，解得2b =-，所以直线方程为22y x =-；（2）解：设直线为()1y k x =+，()33,D x y ，()44,E x y ，()33,M x y -，则()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩，即()2222240k x k x k +-+=，所以341x x =，设直线ME 为y tx n =+，则24y tx ny x =+⎧⎨=⎩，即()222240t x tn x n +-+=，所以23421n x x t==，所以22n t =，则n t =或n t =-，当n t =时y tx t =+直线恒过点()1,0-（舍去），当n t =-时y tx t =-直线恒过点()1,0，综上可得直线ME 恒过定点()1,0；知识点6 抛物线中的面积问题1．（2021·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的准线方程为1x =-，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，坐标原点为O ，且直线OM . （1）求实数p 的值； （2）求OAB ∆的面积. 【答案】（1）2p =（2（1）解：由准线方程为1x =-知，12p=，故2p =. （2）解：由（1）知，抛物线方程为24y x =， 设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y联立抛物线方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，化简得2440y my --=.则124y y m +=，124y y =- 由线段AB 的中点为M ，知122M x x x +=，122M y yy +=1212M OM M y y y k x x x +==+442m m m =⨯+m =， 故直线l0y -=.所以6AB ==，d ==因此OAB的面积11622OABS AB d ==⨯=名师点评：1.求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高);2.面积的拆分:不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于三角形,如果底和高不便于计算,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.2．（2021·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知点P 是抛物线()2:20C y px p =>上的一点，F 是焦点，O 是原点，若2PF =，3PFO π∠=.（1）求抛物线C 的方程；（2）过()2,0的两条直线1l ，2l 满足12l l ⊥，1l 交C 于A 、B ；2l 交C 于M 、N ，ABO ，MNO ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最小值及此时的1l 的方程. 【答案】（1）26y x =（2）12S S ⋅的最小值为84，1l 的方程为2x y =±+ （1）依题意2PF =，3PFO π∠=，所以2p P ⎛- ⎝在抛物线22y px =上， 3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2323p p p =-⇒=或1-，∵0p >，∴3p =，故抛物线C 的方程为26y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y∴112122S y y =⨯-=由题意可知直线1l 不与x 轴重合，设1:2l x my =+，∴226x my y x =+⎧⎨=⎩，∴26120y my --=，0∆>，126y y m +=，1212y y =-，1S ==用1m -换m 可以得2S =∴1212784S S ⋅==⨯=，当且仅当221212m m=时取等号， 即1m =±，∴1:2l x y =±+.名师点评：求两个三角形面积的和、差、积、商的最值问题时,一般要把两个三角形面积的运算作为一个整体转换为某个变量的函数之后再求最值,对于求面积之比的问题,经常可以转换为边长之比,再由相似关系转化为坐标之间的关系.二、题型归类练专练1．（2022·全国·高三专题练习（理））若点A ，B 在抛物线()220y px p =>上，O 是坐标原点，若等边三角形OAB 的面积为 ）A ．2y =B ．2y =C ．2y =D ．2y = 【答案】A 【详解】设等边三角形OAB 的边长为a ，2=4a =． 根据抛物线的对称性可知6AOx π∠=，且4OA a ==，设点A 在x 轴上方，则点A 的坐标为cos ,sin 66OA OA ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2，将()2代入抛物线方程得222p =⋅解得p =22y x x ==．故选：A2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F l '与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则||||=NQ QF （ ）A C ．3D ．2 【答案】D如图：相关交点如图所示，由抛物线2:2(0)C y px p =>，得 (,0)2pF ，则:)2pMF y x -，与抛物线22y px =联立得22122030x px p -+=， 即()()6230x p x p --=， 解得3,26M A p p x x == ,60MN l MFx ︒⊥∠=60NMF ︒=∴∠， 又MN MF =则NMF 为等边三角形 22M pMN NF MF x p ∴===+=， 60OFA NFO ︒=∠=∠，由抛物线的对称性可得6Q A p x x ==，24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-= ||2||NQ QF ∴= 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知F 是抛物线C ：22y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM ＝MN ，则||FN ＝（ ） A ．58B ．12C ．38D ．1 【答案】A 【详解】因为F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，所以F 1(0)8，，抛物线C 的准线方程为y ＝－18，如图，过点M 作抛物线的准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以||||MA OF ＝||||MN FN .因为2FM ＝MN ， 所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58.故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的两点P ，Q 均在第一象限，且||2PQ =，||3PF =，||4QF =，则直线PQ 的斜率为（ ）A ．1B C【答案】C 【详解】如图：作QM 垂直准线于M ，PN 垂直准线于N ，作PE QM ⊥于E ， 因为||2PQ =，||3PF =，||4QF =，由抛物线的定义可知：||4MQ =，||3PN =，||1QE =，所以||EP =直线PQ 的斜率为：PE QE故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）抛物线2y ax =()0a >上点1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，则a 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4 【答案】A 【详解】抛物线2y ax =()0a >即21x y a =()0a >，可得准线方程14y a=-， 因为1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，所以11124a +=，解得12a =， 故选：A .6．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线C ：22x py =-（0p >）的焦点为F ，点M 是C 上的一点，M 到直线2y p =的距离是M 到C 的准线距离的2倍，且6MF =，则p =（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】A 【详解】 设()00,M x y ，由题意得0026262p y p y -=⨯⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4p =， 故选：A7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>与抛物线2 x =共焦点F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若三角形OMF 的面积为2，则双曲线的离心率为（ ） A．16C．4或43【答案】C 【详解】抛物线2x =的交点坐标为(F ，又双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>与抛物线2x =共焦点，∴双曲线的半焦距c =三角形OMF 的面积为2，且OM a =，MF b =∴122ab =⋅，即4ab =， 有22217a b c +==，∴1a =或4a =，∴双曲线的离心率为e =故选：C.8．（2022·天津和平·高三期末）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(2,)m 到焦点的距离为3，准线为l ，若l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3BC 【答案】C 【详解】依题意，抛物线22(0)y px p =>准线:2p l x =-， 由抛物线定义知232p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2p =，则准线:1l x =-，双曲线C 的两条渐近线为b y x a =±，于是得准线l 与两条渐近线的交点分别为1,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原点为O ，则AOB 面积1||12AOBbSAB a=⋅⋅==双曲线C 的半焦距为c ，离心率为e ，则有2222213c b e a a==+=，解得e =故选：C 二、填空题9．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理））已知()00,M x y 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，若点()1,0P -满足0MF MP →→⋅<，则0x 的取值范围是______．【答案】)2⎡⎣ 【详解】解：由题可知，抛物线24y x =的焦点坐标()1,0F ，且()1,0P -，由于()00,M x y 是抛物线24y x =上一点，则()200040y x x =≥，()()00001,,1,MF x y MP x y →→∴=--=---，()()2222000000011141MF MP x x y x y x x →→∴⋅=---+=+-=+-，0MF MP →→⋅<，200410x x ∴+-<且00x ≥，解得：002x ≤<，所以0x 的取值范围是)2⎡⎣.故答案为：)2⎡⎣.10．（2022·全国·高三专题练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB11．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，2BC BF =，且3AF =，则p =___________.【答案】32【详解】如图：分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于E 、D 两点， 设BF a =，则2BC a =，由双曲线的定义可得：BD BF a ==，所以30BCD ∠=， 在Rt ACE 中，2AC AE =，因为3AE AF ==，33AC AF BF BC a =++=+， 所以336a +=，可得1a =，设准线与x 轴相交于点G ，因为//BD FG ，所以BD BC FGCF=即123p =， 可得：32p =，故答案为：32. 12．（2022·全国·高三专题练习）焦点为F 的抛物线C ：23x y =的准线与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则MF MA的取值范围是___________.【答案】⎤⎥⎣⎦ 【详解】作MN 垂直准线于N ，sin MF MN MAN MAMA==∠，不妨在第一象限取点M ，当MA 与抛物线相切时，MAN ∠最小，设切点为()00,M x y ，由213y x =得23y x '=，可知023AM k x =，又30,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得0003243y x x +=，得2003243+=y x ，又2003=x y ，所以034y =，032x =，所以切线1AM k =，45MAN ∠=︒，所以[]45,90MAN ∠∈︒︒，所以sin MFMAN MA ⎤=∠∈⎥⎣⎦；故答案为：⎤⎥⎣⎦.三、解答题13．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且点F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求C 的方程；（2）设点(1T ，)(22)t t -<<，过点T 且斜率存在的两条直线分别交曲线C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和． 【答案】 （1）24y x =； （2）0. （1）由题意可知(2pF ，0)，(4,0)M -，||14FM ∴-=，∴4142p+-=，2p ∴=， ∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）由题意可知，直线AB 和直线PQ 的斜率存在且不为0，分别设为1k ，2k ， 则直线AB 的方程为1(1)y k x t =-+，直线PQ 的方程为2(1)y k x t =-+，联立方程12(1)4y k x ty x=-+⎧⎨=⎩，消去y 得：2222211111(242)20k x k t k x k t k t +--++-=，由题意知0∆>恒成立， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2111221242k k tx x k +-+=，221112212k t k t x x k +-=，22212112121214||||1|(1)|()1|(1)||t TA TB x x k x x x x k k -∴⋅=--=+-++=+，同理可得222224||||(1)||t TP TQ k k -⋅=+，由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅得，222212221244(1)||(1)||t t k k k k --+=+，2212k k ⇒= 12k k ≠，120k k ∴+=．14．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）已知抛物线C ：22y px =（p >0）的焦点为F ，过F 点且垂直x 轴的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，2MN =. （1）求抛物线C 的方程；（2）圆Q ：22(2)1x y ++=，点P 在圆Q 上，PA ，PB 是抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的范围. 【答案】（1）22y x = （2）⎡⎣（1）由题意知(,1)2p M ， 代入22y px =，122pp =⋅解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为22y x = （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，设切线PA 方程为11()y y k x x -=-，由112()2y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩得，211102ky y y kx -+-=，所以11114()02k y kx ∆=-⨯⨯-=，注意到2112y x =，有2211210k y ky -+=，11k y =，PA 方程为1111()y y x x y -=-，2111yy y x x -=-，所以21111yy x y x x x =+-=+， 则切线PA 方程，11y y x x =+，同理切线PB 方程，22y y x x =+ 设00(,)P x y ，则有1001y y x x =+，2002y y x x =+，所以AB 方程为：00y y x x =+ 即000x y y x -+=点00(,)P x y 到直线AB的距离d ==联立20020y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩ 得200220y y y x -+=200480y x ∆=->，1201202,2y y y y y x +==，AB ==所以12PABSAB d =⋅=， 令t=20063x x ++ 又因为031x -≤≤-，所以62t -≤≤- ； PABS≤≤综上PAB △的面积的范围是⎡⎣．。

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抛物线专题复习知识点梳理：焦半径11(,)A x y12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦 点弦 长AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一．直线与抛物线的位置关系 直线,抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时,ox ()22,B x yFy ()11,A x yΔ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点; Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离,无公共点。

一、抛物线的定义及其应用[例1] 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、．(2011²山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( )A．4 B．3 3C．4 3 D．8[悟一法]1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征．例4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( )A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x三、抛物线的综合问题[例5] (2011²江西高考)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O C ＝ O A ＋λO B，求λ的值．例6、(2011²湖南高考)(13分)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D ²E B的最小值例7．已知点M (1，y )在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线C 交于A ，B 两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程．练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( )A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．(2011²辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )A．相离B．相交 C．相切D．不确定5．(2012²宜宾检测)已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于( ) A．4 2 B．8C． 8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( ) A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( )A．4 3 B．8C．8 3 D．168．(2011²陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( )A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 9．(2012²永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA | ＋| FB | ＝________. 12．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么 |AB |等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)过点P (2，－4)．14．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量O M与OP 的夹角为π4，求△POM 的面积．一、抛物线的定义及其应用[例1] 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.例2、．(2011²山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( ) A．4 B．3 3C．4 3 D．8设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝|BB1||BC|＝12，∠CBB1＝π3.即直线AB与x轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p 2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23， 因此△AKF 的面积等于12|AK |²y 1＝124³23＝4 3. [悟一法]1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p ，可利用题中已知条件确定p 的值．注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征．例4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝9x C ．y 2＝92x D ．y 2＝3x 解析：分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32y 2＝3x . 三、抛物线的综合问题[例5] (2011²江西高考)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O C ＝ O A ＋λO B，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)； 设 O C＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2.例6、(2011²湖南高考)(13分)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D ²E B的最小值 妙解](1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧ y ＝k x －1y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)²(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分)＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k 2)≥8＋4³2k 2²1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时， A D ²E B 取最小值16.例7．已知点M (1，y )在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线C 交于A ，B 两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程．解：(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，由抛物线定义和已知条件可知 |MF |＝1－(－p 2)＝1＋p 2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)联立⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x 消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0. 依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4.又|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝ 5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b 所以|AB |＝2r ＝564＋32b ＝8，解得b ＝－85. 所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485， 则圆心Q 的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x －245)2＋(y ＋4)2＝16. 1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 等于( )A ．1B ．4C ．8D ．16解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a 4＝2解得a ＝8.2．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A ．－1716B ．－1516 C.716 D.1516解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－15163．(2011²辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34 B ．1 C.54 D.74解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 4．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 5．(2012²宜宾检测)已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于( )A ．4 2B ．8C ． 8 2D ．16 解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．168．(2011²陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是 ( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．(2012²永州模拟)以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a 4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离， ∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a 4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18， ∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA | ＋| FB | ＝________.11 解析：由⎩⎨⎧ y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝712．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么 |AB |等于________解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)过点P (2，－4)．解：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)，则－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .14．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量O M与OP 的夹角为π4，求△POM 的面积． 解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)， ∵P ，M ，A 三点共线，∴k AM ＝k PM ，即y 1y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224，即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2y 1y 2＝4. ∴ O M ² OP ＝y 214²y 224＋y 1y 2＝5.∵向量 O M 与 OP 的夹角为π4，∴| O M |²|OP |²cos π4＝5.∴S △POM ＝12| O M | ²| OP | ²sin π4＝52.。