工程数学作业（第二次）(满分100分)
（一）单项选择题(每小题2分，共16分)
⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩
⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥
⎥为（C ）．
A. [,,]102-'
B. [,,]--'722
C. [,,]--'1122
D. [,,]---'1122
⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334
++=-=-+=⎧⎨⎪
⎩
⎪（B ）．
A. 有无穷多解
B. 有唯一解
C. 无解
D. 只有零解
⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥
⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．
A. αα12,
B. ααα123,,
C. ααα124,,
D. α1
⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）．A A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．
A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解
B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解
C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解
D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组ααα12,,,Λs 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量
9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（D ）成立． Ａ．λ是AB 的特征值 Ｂ．λ是A+B 的特征值
Ｃ．λ是A －B 的特征值 Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量
10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 121
20
0+=+=⎧⎨
⎩λ有非零解．
⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．
⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ．
⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的．
⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,,Λs 的秩与矩阵[]ααα12,,,Λs 的秩 相同 ．
⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．
9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ的根． 10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分)
1．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 12341234
12341234
326
38502412432
---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪
解：
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-261210
00
903927
01887104823
1901
843100185018871061231231411214120518361231413
21
24131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+33110004110046150
10124420
011365004110018871048231901
136500123300188710
4823
1901
432
31
334345719312
13r r r r r r r r r r ⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----−−→−++-+-31000
101001001020001
3100
411004615010124420013
42
41
441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧-==-==3
1124321x x x x
２．设有线性方程组λλλλλ11111112
⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥
⎥x y z λ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解? 解：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22
322222)1)(1()1)(2(00)1(11011111011011111111111111113
231213
1λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ］
∴ 当1≠λ且2-≠λ时，3)()(==A R A R ，方程组有唯一解
当1=λ时，1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解
３．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中
βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解：向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解
