河南省顶级2019届高三考前信息卷数学(理)试卷含答案

2019届河南省十所名校高三毕业班阶段性测试（七）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|2}A y y x ==+，{}2|B x y x ==，则A B ⋂=（ ）A ．{1,2}-B ．{1,4}C ．[0,)+∞D ．R【答案】D【解析】由题意得，求交集取两个集合的公共元素。

【详解】由题可得因为{}|A y y R =∈、{}|B x x R =∈。

所以A B R ⋂= 【点睛】交集 、 集合的代表元素2．某校进行青少年法律知识测试，测试成绩经过统计得到如图所示的频率分布直方图，若用扇形统计图表示，则在扇形图中[70,80)分所对应的圆心角大小为（ ）A ．5πB ．25π C ．35π D ．45π 【答案】B【解析】1、计算出[70,80)的频率。

2、用2π乘[70,80)的频率。

【详解】由图可得[70,80)的频率0.02100.2P =⨯=.所以圆心角220.25ππ=⨯= 【点睛】 频率分布直方图3．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若3455z i z =+，则实数a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据复数z ，写出其共轭复数z 。

代入3455z i z =+即可解出a 。

【详解】 解:z a i =+z a i ∴=- 343443++2555555z a a i a i i a z ⎛⎫∴=+⇒+=-⇒= ⎪⎝⎭【点睛】复数与共轭复数之间的关系4．抛物线顶点为坐标原点O ，对称轴为y 轴，直线3260x y --=过抛物线的焦点，则该抛物线的方程为（ ） A ．212x y =- B ．212y x = C ．28x y = D ．28y x =【答案】A【解析】根据题意可确定抛物线的焦点在y 轴，把焦点代入直线即可。

【详解】由题意得抛物线的焦点在y 轴，设抛物线的方程为22x py =。

把焦点0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭代入直线326026062px y p --=⇒-⨯-=⇒=-。

2019届河南省郑州市高三上学期联考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（）A ．___________B ．___________C ．______________ D ．2. 设是虚数单位，是复数的共轭复数．若复数满足，则（）A ．________________________________B ．___________C ．_________________D ．3. 已知命题：“存在，使得”，则下列说法正确的是（）A ．是假命题；：“任意，都有”B ．是真命题；：“不存在，使得”C ．是真命题；：“任意，都有”D ．是假命题；：“任意，都有”4. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．5. 设等差数列的前项和为，若，则（）A ． 8____________________B ． 16______________C ． 24______________D ． 366. 已知抛物线，点 Q是圆上任意一点，记抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为（）A ． 5______________B ． 4______________C ． 3______________D ． 27. 若在的展开式中含有常数项，则正整数取得最小值时的常数项为（）A ．______________B ． -135___________C ．_________D ． 1358. 若实数满足不等式组且的最大值为9，则实数（）A ． 1________________ _________B ． -1_________________________C ． 2______________________D ． -29. 已知偶函数满足：，若函数，则的零点个数为（________ ）A ． 1________________________B ． 3______________C ． 2____________________D ． 410. 已知实数m，n，若，，且，则的最小值为（）A ．______________B ．___________C ．______________D ．11. 如图，已知椭圆，双曲线，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于A、B两点，且与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则的离心率为（）A ．___________B ． 5_________C ．_________D ．12. 已知数列共有9项，其中，，且对每个，均有，则数列的个数为（）A ． 729______________B ． 491______________C ． 490___________D ． 243二、填空题13. 执行下面的程序框图，若输出的结果为，则输入的实数的值是________ ．14. 若随机变量，且，则 ____ ．15. 已知四面体，其中是边长为6的等边三角形，平面，，则四面体外接球的表面积为________ ．16. 对于函数f(x)，若存在常数，使得x取定义域内的每一个值，都有，则称f(x)为准奇函数．给定下列函数：① ；②；③ ；④ ，其中所有准奇函数的序号是_______ ．三、解答题17. 在中，角的对边分别为，向量，向量，且：（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）设BC中点为D，且：求a+2c的最大值及此时的面积．18. 某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0,10]，(10，20] ， (20，30]， ( 30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ ）记X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．19. 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥ EB，DC=EB，AB=4，．（Ⅰ ）证明：平面ADE ⊥ 平面ACD；（Ⅱ ）当三棱锥C-ADE体积最大时，求二面角D-AE-B的余弦值．20. 已知离心率为的椭圆的右焦点是圆的圆心，过椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴于（与点不重合）两点．（Ⅰ ）求椭圆方程；（Ⅱ ）求线段长的最大值，并求此时点的坐标．21. 已知函数．（Ⅰ ）求函数的单调区间；（Ⅱ ）若在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ ）在（Ⅱ ）的条件下，对任意的，求证：．22. 选修4-1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙ O直径的延长线上，CA切⊙ O于A点，DC是∠ ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．（Ⅰ ）求∠ ADF的度数；（Ⅱ ）若AB=AC，求AC：BC ．23. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点．（Ⅰ ）求的长；（Ⅱ ）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离．24. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足，且．（Ⅰ ）证明：；（Ⅱ ）证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

16.在 中， ， 为平面内一点，且 ， 为劣弧 上一动点，且 ，则 的取值范围为．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，已知 ，且 .
（1）当 ， 时，求 、 的值；
（2）若角 为锐角，求 的取值范围.
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 ，
则
（II）由题可知，数学核心素养一级： ，数学核心素养不是一级的： ； 的可能取值为1,2,3,4,5.
∴随机变量 的分布列为
1
2
3
4
5
∴ .
19.解：(I)在梯形 中，∵ ，设 ，
又∵ ,∴ ，∴
∴ ∴ .
∵ ， ，
∴ ，而 ，
∴
∵ ∴ .
(II)由(I)可建立分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的如图所示建立空间直角坐标系，
学生编号
（1）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为 ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为 ，记随机变量 ，求随机变量 的分布列及其数学期望.
19.如图，在四边形 中， ， ，四边形 为矩形，且 平面 ， .
21.已知函数 ， .
（1）函数 ， ，求函数 的最小值；
（2）对任意 ，都有 成立，求 的范围.
22.以直角坐标系的原点 为极点， 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 的参数方程为 ，（ 为参数， ），曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，当 变化时，求 的最小值.
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是： ，则5288用算筹式可表示为．

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（四）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i1i+等于（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，3b =， π6A =，则B =（ ） A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π34．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）33555．[2019·重庆]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A ．24π+B ．12π-C ．14π-D ．136．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3或1-8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为3MAF △的面积为（ ） A 3B ．23C ．43D ．839．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A 3B 6C ．13D ．22310．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．7B ．8C ．9D ．1011．[2019·宁波期末]关于x ，y 的不等式组23000x y x m y m -+>+<->⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞-B ．()1,1-C ．(),1-∞-D ．()1,--∞12．[2019·青岛质检]已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()f x a =（a 为常数）有两个不相等的根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．9,e 16⎛⎫⎪⎝⎭C ．(]9,0,e 16⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭D ．()9,0,e 16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·昆明诊断]设0m >，:0p x m <<，:01xq x <-，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的值可以是______．（只需填写一个满足条件的m 即可）14．[2019·合肥质检]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若51310a a -=，则13S =______． 15．[2019·南通联考]已知角ϕ的终边经过点()1,2P -，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____． 16．[2019·江南十校]已知在直角坐标系xOy 中，()4,0A ，30,B ⎛⎫，若点P 满足1OP =，PA 的中点为M ，则BM的最大值为__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·咸阳模拟]在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos cos12sin sinB C B C+=．（1）求A∠的大小．（2）若4b c+=，求ABC△的面积的最大值．18．（12分）[2019·贵阳期末]如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两种网络外卖企业（以下简称外卖A、外卖B）的服务质量进行了调查，从使用过这两种外卖服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数人数种类[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100外卖A50 150 100 400 300外卖B100 100 300 200 300表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：视频率为概率，解决下列问题：（1）从该市使用过外卖A 的市民中任选5人，记对外卖A 服务质量评价较高的人数为X ，求X 的数学期望．（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A 的“服务质量指标”与外卖B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率；②在M 市工作的小王决定从外卖A 、外卖B 这两种网络外卖中选择一种长期使用，如果从这两种外卖的“服务质量指标”的期望角度看，他选择哪种外卖更合适？试说明理由．19．（12分）[2019·潍坊一模]如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，145BAA ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．（1）求证：1AA BC ⊥；（2）若12BB ==，直线BC 与平面11ABB A 所成角为45︒，D 为1CC 的中点，求二面角111B A D C --的余弦值．20．（12分）[2019·宜春期末]椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为2 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ， 使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）[2019·江南十校]已知函数()()()1e 0,x f x ax x a =->∈R （e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，()2f x kx >-恒成立，求整数k 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·广东模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），已知点()4,0Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若3OA AB =，求k 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·陕西质检]已知对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立． （1）求实数m 的范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足415326na b a b +=++时，求47a b +的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（四）答 案一、选择题． 1．【答案】B 【解析】()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2-+===+++-，故选B ． 2．【答案】C【解析】因为()-⊥a b a ，所以()0-⋅=a b a ，所以20-⋅=a a b ，所以1⋅=a b ， 设向量a 、b 的夹角为θ，则11cos 122θ⋅===⨯a b a b ， 由[]0,πθ∈，所以π3θ=，故选C ． 3．【答案】D【解析】由正弦定理得sin sin a bA B=，即112=sin B = 故π3B =或2π3，所以选D ． 4．【答案】A【解析】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为187282⨯⨯=种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A ，则事件A 包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为()328P A =．故选A ． 5．【答案】C【解析】根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的14个圆柱．故21111π114π4V =⋅⋅-⋅⋅=-．故选C ．6．【答案】D【解析】初始值12k =，1S =，执行框图如下：112121320S =⨯=≠，12111k =-=；k 不能满足条件，进入循环； 12111321320S =⨯=≠，11110k =-=；k 不能满足条件，进入循环；132101320S =⨯=，1019k =-=，此时要输出S ，因此k 要满足条件，所以9k ≤．故选D ．【解析】设在函数()ln f x x =处的切点设为(),x y ，根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=， 故切点为()1,0，可求出切线方程为1y x =-， 直线和()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-，化简得到()2110x a x +-+=，只需要满足()214013Δa a =--=⇒=-或． 故答案为D ． 8．【答案】C【解析】因为抛物线的准线:1l x =-，所以焦点为()1,0F ， 抛物线2:4C y x =，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上， 若MA l ⊥，且直线AF 的斜率3AF k =-， 准线与x 轴的交点为N ，则2tan233πAN ==，()1,23A -，则()33,2M ， ∴114234322MAF S AM AN =⨯⨯=⨯⨯=△．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意知，点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，根据面面平行的性质，可得m AC ∥，所以直线m 与1A C 所成角，即为直线AC 与直线1A C 所成的角， 即1ACA ∠为直线m 与1A C 所成角， 在直角1ACA △中，1126cos 3AC ACA AC ∠===， 即m 与1A C 6B ． 10．【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为9210⨯万元，第三层货物总价为29310⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭万元，，第n 层货物总价为1910n n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭万元，设这堆货物总价为W 万元，则21999123101010n W n -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23999991231010101010nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得2311999991101010101010nn W n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭919991010109101010110nn n nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅+=-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-， 则99910100100100200101010n n nW n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得10n =，故选D ． 11．【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点()00,P x y ，满足0023x y -=， 则说明直线23x y -=与区域有交点，即点(),A m m -位于直线23x y -=的下方即可，则点A 在区域230x y -->，即230m m --->，得1m <-， 即实数m 的取值范围是(),1-∞-，故选C ．12．【答案】D【解析】当0x >时，函数()()2ln 11ln f x x x '=-+=-， 由()0f x '>得1ln 0x ->得ln 1x <，得0e x <<，由()0f x '<得1ln 0x -<得ln 1x >，得e x >，当x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大，即当e x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为()e 2e eln e 2e e e f =-=-=，当0x ≤时，()223392416f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭是二次函数，在轴处取得最大值916，作出函数()f x 的图象如图：要使()f x a =（a 为常数）有两个不相等的实根，则0a <或9e 16a <<，即实数a 的取值范围是()9,0,e 16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选D ． 二、填空题． 13．【答案】12（()0,1的任意数均可） 【解析】由01xx <-得01x <<，所以:01q x <<， 又0m >，:0p x m <<，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，q ⇒p ，所以01m <<，满足题意的12m =（()0,1的任意数均可），故答案为12（()0,1的任意数均可）． 14．【答案】65【解析】在等差数列中，由51310a a -=，可得()113410a d a +-=， 即121210a d +=，即1765a d a +==，()113713721313136522a a a S a +∴=⨯=⨯==，故答案为65． 15．【答案】1010-【解析】角ϕ终边经过点()2251,2sin 55P ϕ--⇒==-，15cos 55ϕ==，()f x 两条相邻对称轴之间距离为π3π23T ⇒=， 即2π2π33T ωω==⇒=，()()sin 3f x x ϕ=+， 2522510sin sin cos cos sin 1244425251πππ0πf ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 本题正确结果1010-． 16．【答案】3【解析】由()4,0A ，30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，1OP =，则P 点轨迹为221x y +=，设(),M x y ，则()()()()2222124,2242124P x y x y x y -⇒-+=⇒-+=， M 的轨迹为圆()2,0D ，半径为12，故BM 的最大值为1513222BD +=+=，故答案为3．三、解答题． 17．【答案】（1）π3A =；（23 【解析】（1）由2cos cos 12sin sin B C B C +=，得()1cos 2B C +=-，可得2π3B C +=，所以π3A =．（2）22π113334sin sin 322344242ABCb c S bc A bc bc +⎛⎫⎛⎫===≤=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 当且仅当2b c ==时取等号，即ABC △面积的最大值为3． 18．【答案】（1）3.5；（2）①0.24；②见解析． 【解析】（1）对外卖A 服务质量评价较高的概率()4003000.71000P A +==，从该市使用过外卖A 的市民中任选5人，记对外卖A 服务质量评价较高的人数为X ，则()5,0.7X B ～，X ∴的数学期望()50.7 3.5E X =⨯=．（2）①从参与调查的市民中随机抽取1人，其评分中外卖A 的“服务质量指标”与外卖B 的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率：()20020010030040020030030010001000100010001000100010001000P B =⨯+⨯+⨯+⨯0.040.030.080.09=+++0.24=．②()2001004003000123 1.81000100010001000A E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()2003002003000123 1.61000100010001000B E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()A B E X E X >，A ∴的服务质量指标的期望高于B ，故选外卖A 更合适．19．【答案】（1）见解析；（2）22． 【解析】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O ，因为平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥， 又因为CA CB =，CO CO =，90COA COB ∠=∠=︒， 所以AOC BOC ≅Rt Rt △△，故OA OB =， 因为145A AB ∠=︒，所以1AA OB ⊥，又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥．（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，因为CO ⊥平面11AA B B ，所以CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角， 故45CBO ∠=︒，所以2AB 1AO BO CO ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D -，设平面11A B D 的法向量为()111,,x y z =n ，则1100A D B D ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=n n ，所以111100z x y z =-+=⎧⎨⎩，令11x =，得()1,1,0=n ，因为OB ⊥平面11AA C C ，所以OB 为平面11AC D 的一条法向量， ()0,1,0OB =，2cos ,2OB OB OB⋅==⋅n n n 所以二面角111B A D C --2． 20．【答案】（1）22184x y +=；（2）存在定点()0,4Q 满足题意． 【解析】（1）因为过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为222222b a=，且离心率是22，所以2c a =24b =，28a =， 所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程1y kx =+，由22281x y y kx +==+⎧⎨⎩，得()2221460k x kx ++-=，()221624210Δk k =++>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，122122421621k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，假设存在定点()0,Q t 符合题意，PQA PQB ∠=∠，QA QB k k ∴=-，()()()()2112122112121212121211QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--∴+=+==()()()()1212122124421063kx x t x x k t k k t x x +-+--==+-==-， 上式对任意实数k 恒等于零，40t ∴-=，即4t =，()0,4Q ∴．当直线l 斜率不存在时，A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点()0,2-，()0,2， 显然此时PQA PQB ∠=∠， 综上，存在定点()0,4Q 满足题意．21．【答案】（1）见解析；（2）k 的最大值为1．【解析】（1）()()()()()1e 0,,1e x xf x ax x a f x ax a =->∈⇒=--⎡⎤⎣⎦'R ，当1a ≥时，()()0f x f x '≥⇒在()0,+∞上递增； 当01a <<时，令()0f x '=，解得1ax a-=， ()f x ⇒在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增； 当0a ≤时，()()0f x f x '≤⇒在()0,+∞上递减． （2）由题意得()()1e x f x x =-， 即()1e 2x x kx ->-对于0x >恒成立，方法一、令()()()1e 20x g x x kx x =--+>，则()()e 0x g x x k x =->'， 当0k ≤时，()()0g x g x '≥⇒在()0,+∞上递增，且()010g =>，符合题意； 当0k >时，()()1e 0x g x x x ''=+⇒>时，()g x '单调递增，则存在00x >，使得()000e 0x g x x k '=-=，且()g x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增()()()0000min 1e 20x g x g x x kx ⇒==--+>， 00000122011x k kx k x x x -∴⋅-+>⇒<⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 由0012x x +≥，得02k <<， 又k ∈⇒Z 整数k 的最大值为1，另一方面，1k =时，1021g ⎛⎫< ⎪⎝⎭'，()1e 10g ='->，01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()0021,211x x ∈⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1k ∴=时成立．方法二、原不等式等价于()()1e 20x x k x x-+<>恒成立，令()()()()()()221e 21e 200x x xx x h x x h x x xx -+--+>⇒='=>，令()()()21e 20x t x x x x =-+->，则()()1e 0x t x x x =+>'， ()t x ∴在()0,+∞上递增，又()10t >，1202t ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()()()200001e 20x h x t x x x ==-+-='，且()h x 在(]00,x 上递减，在[)0,x +∞上递增，()()0min 00211h x h x x x ∴==+-， 又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001311,2x x ⎛⎫⇒+-∈ ⎪⎝⎭，()04,23h x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2k ∴<，又k ∈Z ，整数k 的最大值为1．22．【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k =． 【解析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ．且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点， 所以2cos 42cos 22sin sin 2x y θθθθ+==+==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，整理得()2221x y -+=．即22430x y x +-+=，化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=．（2）设直线:l y kx =的极坐标方程为θα=．设()1,A ρα，()2,B ρα， 因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=． 联立24cos 30ρρθθα-+==⎧⎨⎩，整理得24cos 30ραρ-⋅+=．则1212124cos 343ρραρρρρ+===⎧⎪⎨⎪⎩，解得7cos 8α=．所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =． 23．【答案】（1）6m ≤；（2）9．【解析】（1）对任意实数x ，都有240x x m ++--≥恒成立， 又24246x x x x ++-≥+-+=，6m ∴≤．（2）由（1）知6n =，由柯西不等式知：()()414147475329532532a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，当且仅当313a =，1513b =时取等号， 47a b ∴+的最小值为9．。