人教A版高中数学必修4《2.5 平面向量应用举例 阅读与思考 向量的运算(运算律)与图形性质》_0

2.5 平面向量应用举例知识梳理一、向量在平面几何中的应用平面几何中的共线、共点、平行、线段间的关系、直线的夹角等问题，都可以考虑重新用向量的知识来试着解决它们.对于平面几何中的共线（平行）问题，往往可以转化为考虑与其相关的一对向量的平行问题.对于平面几何中的直线共点问题，常常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再通过借助于向量的知识来说明其他直线也过这点.对于平面几何中的线段间的关系问题，又往往可以考虑相关向量的模长问题等来帮助解决.对于求直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与直线l 2:A 2x+B 2y+C 2=0的夹角，则只要求与这两条直线平行的两个向量的夹角，再取这两个向量的夹角或其补角，即与直线l 1、l 2分别平行的向量m =(-B 1,A 1)，n =(-B 2,A 2)，设向量m 、n 的夹角为θ，则cosθ=212121212121||||B A B A B B A A n m n m +∙++=∙,当cosθ＜0时，直线l 1、l 2的夹角等于π-θ；当cosθ≥0时，直线l 1、l 2的夹角等于θ.二、向量在物理中的应用力向量：力向量不同于自由向量，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点.大小相同方向相同的两个自由向量互为相等向量，但大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.但是力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.速度向量：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量都是这种量，除了上面所研究的力外，速度也是既有大小又有方向的量.一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量. 知识导学要学好本节内容，可结合实例掌握处理几何问题的代数方法，结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.用向量方法解答物理问题的模式策略：(1)建模,把物理问题转化为数学问题；(2)解模,解答得到的数学问题；(3)回答,利用解得的数学答案解释物理现象.疑难突破1.如何用向量方法“三步曲”解决“证明平行四边形的对角线互相平分”这个平面几何问题. 剖析：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形ABCD,M 是对角线AC 、BD 的交点.设AB =a ,AD =b . 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系.由向量加法法则AM +MB =a +AM +MD =b .故2AM +MB +MD =a +b .另外, AM +MC =a +b .两式相减得AM -MC +MB +MD =0. 因为-与共线, +与共线.由向量共线的等价条件,存在实数λ、μ,使AM-MC=λAC,MB+MD=μBD.∴λ+μ=0.而与不共线,∴λ=μ=0,即-=+=0.∴=,=.第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.∴M既是AC的中点,又是BD的中点,即AC和BD互相平分.2.向量问题和物理问题有哪些相关知识？剖析：（1）力、速度、加速度、位移都是向量；（2）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；（3）动量mv是数乘向量；（4）功的定义即是力F与位移s的数量积.3.用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题.其基本思路和方法为何？剖析：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释.。

2.5.2 向量在物理中的应用举例
复习回顾
问题：用向量解决几何问题的三步曲是什么？
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向 量问题；
通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如：距离，夹角等；
把运算结果“翻Байду номын сангаас”成几何关系．
情境引入
情景一：
有一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两支胳膊悬空 拎起,结果造成小孩的胳膊受伤,你能解释这种现象吗?
新课讲解
B
分析：如图，已知v v1 v2，
v1 10km / h, v2 2km / h，
V
v v2，求t.
解：由已知条件得
v v2 0
| v | 所以
| v1 |2 | v2 |2 96(km / h), t d 0.5 60 3.1(min).
细绳能够承受最大拉力为10N，g=10m/s2，则整条细
绳至少需要多长才不至于断掉？
钉子
A 1.2m
B 1.5m C 2.0m
挂钩
挂钩
1m
D 3.5m
学以致用
小结:
用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,步骤如下
1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解------理论参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
抽象出数学问题：用同样长的两根绳子挂 一个物体(如图). 物体受到的重力为G。你 能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1 的大小与两绳之间的夹角θ的关系？
| F1 |
|G|

(3)(2016·石家庄市质检)在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1， E 为 BC 的中点，若 F 为该矩形内(含边界)任意一点，则A→E·A→F 的最大值为________．
【解析】(3)以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平 面直角坐标系，则 E(2，12)，设 F(x，y)，则00≤ ≤xy≤ ≤21 ，A→E·A→F ＝2x＋12y，令 z＝2x＋12y，当 z＝2x＋12y 过点(2,1)时，A→E·A→F取 最大值92.
向量表示
坐标表示
数量积 模
a·b＝|a||b|cos θ |a|＝ a·a
a·b＝x1x2＋y1y2 |a|＝ x21·y21
夹角
cos θ＝|aa|·|bb|
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
a⊥b 的充要条件 |a·b|与|a||b|的关系
a·b＝0 |a·b|≤|a||b|(当且仅当
(3)利用坐标公式，若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cos θ＝ x21x＋1xy2＋ 21·yx1y22＋2 y22.
(4)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理，三
角形的面积公式等求解．
例 3：(2015·江西省七校联考)已知 a＝(3,2)，b＝(2，－ 1)，若向量 λa＋b 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范 围是________．
【预习检测】
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，则A→B·A→C等于( )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
[解析] 如图，A→B·A→C＝(A→C＋C→B)·A→C＝A→C2＋C→B·A→C＝42 ＋0＝16.

1 1 = ������������ = 2 2
1 1 1 ������· ������������ . 2 2 ������
1 2
1 2
∴ ������������ ∥ ������������ , 又 E,F,B,C 四点不共线 ,∴EF∥BC. 反思用向量法证明 AB∥CD 的步骤 :(1)选择一组基底 ;(2)用基 底表示 ������������ 和 ������������; (3)确定 ������������ = ������������������中的λ 值 ,即有 ������������ ∥ ������������; (4) 归纳总结.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
长度问题
【例 3】
如图,已知在▱ABCD 中 ,AB=3,AD=1,∠DAB = 求对角线������������和������������的长 .
π , 3
题型一
题型二
题型三
题型四
解 : 设 ������������ =a, ������������ =b,a 与 b 的夹角为 θ, 则 |a|=3,|b|=1,θ= .
题型二
题型三
题型四
证明: 设 ������������ =a, ������������ =b,则 ������������ = ������������ − ����ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ������� =b-a. ∵ ������������ ∥ ������������ , ∴ ������������ = ������������������ = ������b(λ ≠0).
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 2】 用向量法证明:在▱ABCD 中,AC2+BD 2=2(AB2+AD2). 证明: ������������ = ������������ + ������������ , ������������ = ������������ − ������������ , 则 |������������|2 + |������������ |2 = ������������ 2 + ������������ 2 = (������������ + ������������ )2 + (������������ − ������������ )2 = ������������ 2 + 2������������ ·������������ + ������������ 2 + ������������ 2 − 2������������ ·������������ + ������������ 2 = 2(������������ 2 + ������������ 2 ) = 2(|������������ |2 + |������������ |2), ∴AC2+BD2= 2(AB2+AD2).