《高等数学》期末考试(理工类下)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+2．求下列各微分方程的通解：(1)sin y x x ''=+;解：方程两边连续积分两次得213121cos 21sin 6y x x c y x x c x c '=-+=-++(2)e x y x '''=;解：积分得 1e d e e x x x y x x x c ''==-+⎰112212123(e e )d e 2e 1(e 2e )d (3)e 2x x x x xxxy x c x x c x c y x c x c x x c x c x c '=-+=-++=-++=--++⎰⎰ (3)y y x '''=+;解：令p y '=,则原方程变为d d 11,,e e 1e d xx x p p x p p x p c x x x c -⎰⎡⎤⎰''=+-===--+⎣⎦故 21121(e 1)d e 2x x y c x x c x x c =--=--+⎰. 3(4)()y y y ''''=+;解：设y p '=， 则d d p y p y''= 原方程可化为 3d d ppp p y=+ 即 2d (1)0d p p p y ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦由p =0知y =c ，这是原方程的一个解. 当0p ≠时，22d d 1d d 1p pp y y p=+⇒=+ 1121arctan d ln sin()tan()p y c yx y c c y c ⇒=-'⇒==---⎰2212arcsin(e )(e )c x y c c c '∴=+=1(5);y x ''=解：11d ln y x c x x''==+⎰ 1121211(ln )d ln ln ((1))y c x x x c x c x x x c x c c c x ''=+=-++'=++=-+⎰(6)y ''=;解：1arcsin y x x c '==+112(arcsin )d arcsin .y x c x x x c x c =+=++⎰ (7)0xy y '''+=;解：令y p '=,则得1d d 00p xp p x p x'+=⇒+= 1ln ln ln p x c ⇒+=得 1c p x= 故 112d ln c y x c c x x ==+⎰.3(8)10y y ''-=.解：令p y '=，则d d p y p y''=. 原方程可化为 33d 10,d d d py pp p y y y--==22221112221211211222d d 221().c p y p y c x xc x c c x c c y c x c --⇒=-+⇒=-+⇒=⇒±=⇒±=+⇒=+⇒-=+⎰3．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r=-+构成力场，其中k为常数，r ，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为． 33d d Lk k W x x y y r r =--⎰ 其中3kx P r =-，3kyQ r=-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且 53(0)P kxy Q x y r x∂∂==>∂∂ 因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．4．计算对坐标的曲线积分：(1)d Lxyz z ⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；(2)()()()222222d d d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分． 解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩ 即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 2x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π2π2202π202π0d cos d sin cos d sin 2d 1cos 4d 216xyz z t t t t t t t t t t ttΓ===-==⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sincos d 2sin d 24233y z x z x y x y zt t t t t t t tt t Γ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334y z x z x y x y z y z x z x y x y zΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰5．计算()()d d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x = 2t 2+t +1, y = t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧． 解：(1)L ：2x y y y ⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343L x y x y x yy y y y y yy y y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰ (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2 故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411L x y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y =⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()122132014320d d 32412d 10592d 10592432323L x y x y x y t t t tt t tt t t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰6．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0LP x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x ab t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰7．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25 故所求曲线为：2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e xy C C C x '=++当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.8．计算下列对面积的曲面积分： （1）4d 23s z x y ∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第I 卦限中的部分； （2）()2d 22s xy xx z ∑--+⎰⎰，其中∑为平面2x +2y +z =6在第I 卦限中的部分；(3)()d s x y z ∑++⎰⎰,其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上z ≥h (0<h <a )的部分； (4)()d s xy yz zx ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =被柱面x 2+y 2=2ax 所截得的有限部分； (5)()222d s R x y ∑--⎰⎰，其中∑为上半球面z =解：（1）4:423z x y ∑=--(如图10-69所示)图10-69d d d s x y x y ==故4d 4d d d d 23331232xy xy D D s x y x y z x y ∑⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭=⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)∑:z =6-2x -2y (如图10-70所示)。

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明：设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭2222222222222222222222221411(1)(1)3333u u u u ux x x u u u u u u u ux x x x x u u u u u u u x y ξηξηξηξηξηξξηηξηξξηηξξηηξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅+⋅-=----- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22uη∂∂222222222222222222222222211(1)33111211(1)(1)33933343142433u u u u u y u u u uuu u u y u u u x x y yu u u u ξηξηξξηηξηξξηηξξηηξ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅-=--- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅--⋅-⋅-=++-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++--∂∂∂∂∂2222222221239340.3u u u u u u ξηηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=-=∂∂故20.uξη∂=∂∂2．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d Lxy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧；(4)()()22d d Lx y x x y y x y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d Lx y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d Lx xy x y xy y -+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t aa t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰ (6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x=⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415Lx xy x y xy yx x x x x x x xx x x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰3．证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。

北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2）1．极限2221lim 1x x yx y x +→∞→⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e ．2．设()2y z x y x ϕ=++，其中ϕ具有连续二阶偏导数，则2z x y∂∂∂=2x ()''21()ln 1y x y x y x ϕ-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4P π处的法线方程为41122111z x y π---==-．4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0）处的方向导数的最大值为5．设2x u v z y u vz ⎧=-++⎨=+⎩确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ∂=∂12zzu -+． 6．幂函数21(1)9nnn x ∞=-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2,10()1,01x x f x x x --<≤⎧=⎨-<≤⎩，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于12． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2()xdydz ydzdx zdxdyx y z ++=++∑⎰⎰4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ⨯=3224x y z x z ---．10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 212565xx x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．解：若用泰勒级数2()0000000''()()()()()()'()()2!!n n f x x x fx x x f x f xf x x x n --=+-++++=2()1''(2)(2)(2)(2)'(2)(2)42!!n nf x f x f x n ---+-++++ ，不易。