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2011届高考数学复习好题精选 函数模型及其应用

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函数模型及其应用
1.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，
B 地 停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示
为时t (小时)的 函数表达式是
( )
A.x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)
B.x ＝60,0 2.5150,2.5 3.515050,3.5 6.5<<t t t t t ⎧⎪⎨⎪-⎩
≤≤≤≤
C.x ＝60,0 2.515050,>3.5
t t t t ⎧⎨
-⎩≤≤ D.x ＝60,0 2.5150,2.5 3.515050 3.5< 3. 6.5<5t t t t t ⎧⎪⎨⎪--⎩
≤≤≤(),≤
解析：依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可.
答案：D
2.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，
该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款.某人
计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是 ( )
A.不能确定
B.①②同样省钱
C.②省钱
D.①省钱
解析：①种方法需20×4＋5×(30－4)＝210元，②种方法需(20×4＋5×30)×92%＝211.6
元.故①种方法省钱.
答案：D
3.(2010·邯郸模拟)图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰
三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S (a )(a ≥0)是
图形M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数
S (a )的图象大致是 ( )
解析：依题意，当a ≤1时，
S (a )＝22a a (-)＋2a ＝－212
a ＋3a ； 当1＜a ≤2时，S (a )＝12
＋2a ； 当2＜a ≤3时，S (a )＝12＋2＋a ＝a ＋52
； 当a ＞3时，S (a )＝12＋2＋3＝112
， 于是S (a )＝213,01
212,122,5,23211,2
<<<>a a a a a a a a ⎧-+⎪⎪⎪+⎪⎨⎪+⎪⎪⎪⎩≤≤≤3由解析式可知选C.
(设为x )， ( )
解析：(1＋x )2＝1＋44%，解得x ＝0.2＜0.22.故选B.
答案：B
5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ( )
A.45.606
B.45.6
C.45.56
D.45.51
解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，
∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )
＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0).
∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元).
答案：B
6.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10
万元.又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120
Q 2，则总利润L (Q )的最大值是 .
解析：总利润L (Q )＝40Q －
120
Q 2－10Q －2 000 ＝－120
(Q －300)2＋2 500. 故当Q ＝300时，总利润最大值为2 500万元.
答案：2 500
7.元的手机，两年后
降为
( )
A.900元
B.810元 解析：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为2560×⎝⎛⎭
⎫1－144＝810. 答案：B
8.某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米.按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据
： 1.052＝ 1.10,1.053＝ 1.16,1.054＝ 1.22,1.055＝ 1.28)
( )
A.2010年
B.2011年
C.2012年
D.2013年
解析：设第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n ，经济适用房面积为b n ＝25＋10n ，由2b n ＞a n 得：2(25＋10n )＞100(1＋5%)n ，利用已知条件解得n ＞3，所以在2012年时满足题意.故选C.
答案：C
9.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，
已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t
的函数关系式为y ＝(116
)t －a (a 为常数)，如图所示，根 据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系为 ；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
解析：(1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kx 过点(0.1,1)，则
1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；
由y ＝(116)t －a 过点(0.1,1)得1＝(116
)0.1－a ，
5元的张 ① ② ③ ①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－＝13.2(万元)，
当且仅当530.6
a b ab =⎧⎨=⎩ 时等号成立， 2.4,
0.6,358,a b c ab x a b c ++=⎧⎪
=⎨⎪=++⎩
解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.
由于y ＝lg 2x 为增函数，即此时y 也恰有最大值.
故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.
答案：0.6、1、0.8
11.(2010·沈阳模拟)沪杭高速公路全长166千米.假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州.已知该汽车每小时的运输成本y (以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元.
(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？
解：(1)依题意得：y ＝(200＋0.02v 2)×166
＝166(0.02v ＋200v
)(60≤v ≤(2)y ＝166(0.02v ＋
200v )≥＝664(元).
当且仅当0.02v ＝200
即v ＝664元.
据有关统计数据显示，
y (分钟)与车辆进入该路段
<9,12.t ⎪⎩
≤ 求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.
解：(1)当6≤t ＜9时，
y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38
(t 2＋4t －96) ＝－38
(t ＋12)(t －8). 令y ′＝0，得t ＝－12或t ＝8.
∴当t ＝8时，y 有最大值.
y max ＝18.75(分钟).
(2)当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋554
是增函数， ∴当t ＝10时，y max ＝15(分钟).
(3)当10＜t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18，
∴当t ＝11时，y max ＝18(分钟).
综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟.
(理)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，多订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式.
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利 润又是多少元？
解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02
＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.
x －100)＝62－x 50
； (0< 100),<550),(N).(550),x x x ∈≤≥ (3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则
L ＝(P －40)x ＝220(0< 100),22(100<<550),(N).5011(550),x x x x x x x
x ⎧⎪⎪-∈⎨⎪⎪⎩≤≥
当x＝500时，L＝6000；
当x＝1000时，L＝11000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元.。

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2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第14讲函数模型及其应用

2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第14讲函数模型及其应用


24
1 1 因为f1-f2= 1 a 2 -［ ( a )2］2 1 2 1 16 = 2 (4 a 2 ) 2 1 a
=
a 2 (a 2 2)(a 2 2) (1 a 2 )(4 a 2 ) 2
,
所以，当0<a< 2 2 时,f1<f2,即清洗一次蔬菜 上残留的农药量较小； 当a= 2 2 时,f1=f2,即两种清洗方法的效果一样; 当a> 2 2 时,f1>f2,即清洗两次蔬菜上残留的农 药量较少.
6
将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种 方式是月租20元，B种方式是月租0元.一 个月的本地网内打出电话时间（分钟） 与打出电话费s（元）的函数关系如图， 当打出电话150分钟时，这两种方式的电 话费相差（ A ） A.10元 C.30元 B.20元 40 D. 元 3
(1)f(0)=1,表示没有用水清洗时，蔬 菜上残留的农药量保持不变. (2)函数f(x)应满足的条件和具有的性质是： 1 f(0)=1,f(1)= , 2 在［0,+∞)上是减函数，且0<f(x)≤1.
(3)设仅清洗一次,蔬菜上残留的农药量为f1, 清洗两次后,蔬菜上残留的农药量为f2,则
1 1 1 1 f1= ,f2= a 2 × 1 ( a )2 =［ 1 ( a )2 ］2 2 1 a 1 ( ) 2 2 2
新课标高中一轮 总复习
理数
1
第二单元
函 数
2
第14讲
函数模型及其应用
3
了解指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等函数模型的意义， 并能建立简单的数学模型，利用这 些知识解决应用问题.
4
1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单 位：元)由f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给 出，其中m>0,［m］是大于或等于m的最 小整数(如［4］=4,［2.7］=3,［3.8］=4). 若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟 的电话费为( C ) 由题设知,f(5.5)=1.06×(0.50×［5.5］+1) A.3.71元 B.3.97元 =1,06×(0.5×6+1)=4.24.故选C. C.4.24元 D.4.77元
2011高考数学试题汇编──函数与导数

2011高考数学试题汇编──函数与导数

2011高考数学试题汇编──函数与导数33、（四川理）设函数.(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。

考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。

令，有由，得因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值故当时，，从而有，亦即故有恒成立。

所以，原不等式成立。

（Ⅲ）对，且有又因，故∵，从而有成立，即存在，使得恒成立。

34、（陕西理）设函数f(x)=其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．（Ⅱ），令，得．由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．35、（山东理）设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．解(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。

（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，，时，时，时，函数在上无极值点。

（3）当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点. 综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。

（III）当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得【试题点评】函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。

2011届高考数学二轮复习课件28函数模型及其应用

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知能迁移2 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总
收益满足函数：R(x)40x012x2 80000
其中x是仪器的月产量.
(0x40),0 (x40)0
（1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利
润是多少元？（总收益=总成本+利润）
图1
图2
(1)求证：四边形EFGH是正方形； (2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用 最省？ (1)证明 图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次 逆时针旋转90°，180°,270°后得到， ∴EF=FG=GH=HE， ∴△CFE为等腰直角三角形， ∴四边形EFGH是正方形.
(2)解 设CE=x，则BE=0.4-x，
已知加密为y=ax-2 （x为明文,y为密文）,如果明文 “3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受
方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为
“14”，则原发的明文是___4___. 解析 依题意y=ax-2中，当x=3时，y=6,故6=a3-2， 解得a=2.所以加密为y=2x-2，因此，当y=14时，由 14=2x-2,解得x=4.
20 所以1+x%≤1.009,得x≤0.9, 即年自然增长率应该控制在0.9%.
探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以 用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数，p为增长 率，x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础 数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时，往往用到 对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.
单价应该是 A.820元 B.840元
C.860元
2011年高考试题分类考点4函数及其表示(2021年整理)

2011年高考试题分类考点4函数及其表示(2021年整理)

2011年高考试题分类考点4函数及其表示(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2011年高考试题分类考点4函数及其表示(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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考点4 函数及其表示一、选择题1. （2011·福建卷文科·Ｔ8） 已知函数()f x =20,1, 0⎧>⎨+≤⎩，x x x x ，若f （a ）+f （1）=0,则实数a的值等于（ )(A ）-3 (B ）-1 （C ）1 （D)3【思路点拨】由f （a ）+f （1)=0得()f a 的值，然后根据()f x 的解析式,分两段求出a 的值。

【精讲精析】选A.()(1)0,()(1)2+=∴=-=-f a f f a f ,若0a >，则22=-a ,显然不成立;若0a ≤,则()1f a a =+2,3a =-=-,符合题意。

3.a ∴=- 2.（2011·广东高考文科·Ｔ4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ） （A)（-∞，1） (B ）（1,+∞)（C)（—1，1）∪(1，+∞） （D ）（—∞，+∞）【思路点拨】本题主要考查函数定义域的求法,由分母不为零和对数的真数为正，列不等式组可求得定义域.【精讲精析】选C.要使函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧>+≠-0101x x 解得1->x 且1≠x ，从而定义域为），（），（∞+-111 ，故选C.3.（2011·广东高考文科·Ｔ10）设f （x ），g （x ），h （x ）是R 上的任意实数函数,如下定义两个函数()()f g x 和()()•f g x ；对任意x ∈R ，（f g ）(x ）=(())f g x ；(f ·g ）（x ）=()()f x g x 。