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数学问题解决的思维策略模式的认识和实践

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数学问题解决的思维策略模式的认识和实践 杭州二中 尚 可

[摘要]：在策略层次上的思维能力的培养和水平的提高是易被忽视或乏力的问题。本文 对解题系统及目前的研究现状和学生学习中存在的问题作了分析和概述，认为思维策略是解 题系统的核心，藉此提出了一个四环节数学问题解决的思维策略模式，并从实践、理论两个 层面上对其内容、结构、涵义及实践要点作了分析论述。 一、问题的提出 策略，字面意为“计谋”，英文的“Strategy"一词可释为策略，也可解释为战略，是指一种总体的行动方针，而非具体方法(战术)。心理学认为，在问题解决过程中，若主体所接触的是非标准化了的问题，则就需进行创造性思维，需要一种问题解决的思维策略。因而，策略的产生及其正确性被证实的过程常被认为是创造的、解决问题的过程。对问题解决的策略，心理学家曾提出一些模式，尤其是认知心理学家们通过“河内塔问题”这类极其简单而典型问题的研究提出了四种不同的策略，但远未进入解决复杂问题的思维过程的透析。 我国是一个数学解题大国，产生了浩如烟海的数学的奇思妙解、技巧技法。近几年对数学思维模式的研究颇有建树，提出了等价与非等价转化、类比与归纳、移植与杂交以及升格、降格、缩格、更格、分格的五格思维模式，凡此等等，都极大地推动了数学教学的改革。但数学问题解决的思维策略，是指在数学问题解决过程中，主体所采取的总体思路，它是数学思想、观点在解决问题时思维决策的选择。它和作为数学问题解决过程中操作方向、信息处理程序和方式相对稳定的数学思维模式有所相同也有所不同。而且，数学解题是一种复杂的、呈现多种思维特征而且其特征充满各个环节的思维过程。实践中学生急需要的并非是一般的数学思维模式，缺的是具体问题如何设计解题策略的能力，即何时使用何种数学思维模式的能力，所以更需要研究针对中学生实际的、普遍适用的、实用的数学问题解决的思维策略模式。本文对此作一番认识和实践上的探讨，并藉此在实践的基础上提出一个四环节数学解题的思维策略模式。 二、思维策略是数学解题系统的核心 解题是—系统工程，可划分为四个模块，由知识、方法(狭义、具体的)、能力(基本能力)、经验等本质因素构成解题基础模块；由兴趣、爱好、态度、习惯、情绪、意志等构成解题的主观状态模块；由时空、环境、工具等约束构成解题的客观条件模块；还有一部分就是思维策略模块，“是什么促使你这样想、这样做的？”，“是怎样想到这个解法的？”等层面的问题都属于思维策略模块。显然，思维策略模块是其核心。光有基础知识，具体方法和经验是不够的，为判断用什么方法、用什么知识必须对问题解剖、识别、加工、组织并创造条件， 即必须具有—定的思维策略水平。 如：设 A、B∈（0，π）且cosA+cosB-cos(A-B)=3/2,求A，B的值。 误解1

无法求A、B .sinsincos)cos(coscos1cos2coscos28122241222232222

BABABABABABABABA8122281222222212222222221sinsincos)sinsincos(cossinsinsinsin4coscossinsin4)cos1)(cos1(sinsinBABAAABABABABABABABA

误解2. 原式=

纵观上述过程可知：解题受阻的原因非知识缺乏，而在于没有正确的解题策略，导致盲目变形，见了和差就化积，“和角”化“单角”，根本未考虑变形的目的和意义，致使解题陷入混乱招致失败。实际上本题实质是解三角方程，一个方程二个未知数，一般情况无法确定解，只有在一种极端情形(如非负数和为0，二次方程△≥0，基本不等式中等号成立等)方可获解，所以要求发掘这种极端情况，可配方为：

1cos1cos1cos04cos40cos2coscos2. 0sin)cos(cos2222222222122223222122212BABABABABABABABABABABA，，又知，由或整理为，便知

学生对上述解法涉及的基础知识(三角恒等变形)和基本方法(配方法、判别式法)是熟悉 的，关键是不知如何为己所用，表明思维策略水平的低下，数学元认知能力尤其是元认知监 控能力的缺乏。在中学数学教学中波利亚就曾指出“解题的价值不是答案本身，而是在于弄 清是怎样想到这个解法的”。虽然大家都在喊要培养思维能力，但对策略层次上的能力培养 仍是忽视或乏力的。不少老师和学生往往多就各种类型就题论题地给出解答并演练，而少展 现思路尤其是思路的寻找过程且津津乐道于技巧技法。课堂上的学生除了对老师的神机妙算 叹服外，思维策略得不到学习和提高，依然停留在“套题型、背题解，依样画葫芦”的层次， 常导致今天做过的题，明大仍然做不出，这题会做了，题目背景稍加改造又—筹莫展、手足 无措，只有胡猜乱碰来代替有根据有目的的探索，脚踩西瓜皮滑到哪儿算哪儿，即使东碰西 撞、曲里拐弯算出了答案，心中也无数，只有靠对答案来检验自己解题思路的正误。部分师 生只得把各种各样的非质的、庞杂凌乩的具体解题技巧—概视为规律，成为谆谆告诫的重点， 也只有企图通过大量的机械重复、模仿、记忆来补偿思维策略水平的低下，能力的不足。长 期以往，不仅高负担低效率，还必将造成思维的萎缩利退化，对认知结构的构建、对数学思 维的发展都是极其不利的。 提高学生的思维策略水平，当然可以有利于解决考试中的综合题，也更有利地构建自 己的认知结构。这当然是很功利、现实的目标。然而认识其实应远远不止于此。数学教育的 主要目的在于为所有人的未来发展打下基础，在于培养人的数感、数学观念和数学思想方法， 概括地说是为了扩展人脑十的数学空间。中学里、现实的数学的材料是有限的，所以—个人 已有的数学空间是很小的，然而所可能具有的数学空间是可以很大的，问题在于我们有没有 使学生学会思考，对所学的数学知识有所领悟，这个领悟就是扩展数学空间的手段。数学空 间不仅靠—些既得知识而构成，还靠思维链建立起有血有肉的生机勃勃的知识方法体系，而 且更重要的是借助于所学知识的生长点和开放面及思维过程，获得一种与数学相关的能力、 进而使数学空间具有某种开放性，所以思维策略水平的提高也是体现主体性培养培养现代人 之必需。 三、四环节数学问题解决的思维策略模式 K邓克尔曾提出一个范围渐趋缩小的汇综模式，分为—般解决——思维策略水平的解决；功能解决——思维模式水平的解决；特殊解决——运算技能水平的解决三个层次。G.波利亚曾给出著名的“解题表”，把数学问题解决过程分为4个阶段，在思维层次上可概括为理解、转换、实施、反思，这都是具有普遍意义和数学一般特点的解题模式。笔者受此二种模式的启发，针对中学数学教育实际和学生的思维特征，经过一定的探索和实践，提出一种更具实用性易为中学生掌握的四环节解题思维策略模式(以下简称四环节解题法)。 (一) 四环节解题法的内容 可把数学问题解决的思维策略过程划分为四个环节：1．明确目标、寻找条件；2．发现差 异、揭示本质；3．构造相同、联想相似；4．抉择通道、转化矛盾。完成此四个步骤，称为一 个解题循环，通过多次循环，最终使问题获解。 它脱胎于前面述及的汇综模式和解题表。汇综模式和解题表更注重普遍性，而四环节 模式更注重于中学生的针对性、解决中学数学问题的实用性和操作性。解题表视解题为一次 性过程，从总体上设计出解题的程序，而四环节法则视解题为一个反复循环的过程，在单个 循环上理出解题策略。若将数学问题的解决过程视作一个攀登到螺旋式台阶的顶端的过程， 那么四环节法的每一次循环，就是攀登台阶的一级阶梯。反复循环，反复攀越，最终登顶。 台阶有多有少，循环也就有多有少。台阶有高有低，所以单个循环也有大有小；登低台阶的 循环中可能某些环节会产生一些跳跃，并非一定都要经过四环节；而登高台阶的循环中还可 能会嵌入一些子循环。由此可得出模式的操作程序如下： 解题准备

明确目标，寻找条件 Y 找到解题途径否？

N 发现差异，揭示本质

Y 找到解题途径否？

N 构造相同，联想相识

抉择通道，转化矛盾 新问题

问题解决否？ Y 结束 四环节解题法的实质是把数学解题过程看作一个信息交往的控制过程。它的每一次循 环都是通过由初始状态(条件)到目标状态(结论)的逐步转化来实现的。 环节1：即是控制过程中信息的整理与编码，其它环节均是对信息的识别、加工与变换， 通过信息的不断反馈与调控，使控制过程反复循环，即将系统输出的“现实状态”与预期的 控制“目标状态”出现的差异，反馈到施控系统的输入端，作为下一步施控作用的依据，使 受控系统的施控结果向控制目标逼近、这一控制过程可表示如下： 初始状态（条件） 中间状态（信息 目标状态 识别、加工、变换） （ 结论）

反馈 差异 差异 图中的中间状态即后三个环节，它是核心环节，所以简单地说，四步解题法的主要内容、就是关于解题信息的利用与反馈的一种固定的处理模式。 现举两例，分析如下：

例1：△ABC中，A=60，a=1,求b+c最大值

[初始状态] A=60，a=1 ① [目标状态] b+c≤常数 ② [发现差异] 初始状态含A，a,目标状态含b,c [揭示本质] 建立b,c与A,a 的联系。

[联想相似] 用正弦定理： 及等比定理 [转化矛盾1]

[新目标] sinB+sinC≤常数 ③ [发现差异] ③的左边为两个变量，右边为常数 [揭示本质] 消去一变量，变为一元函数求最值 [寻找条件] 12060 =ACB

[转化矛盾])60cos(60sin2)120sin(sinsinsinBBBCB

时取到等号）60(3)60cos(3BB [转化矛盾2] 用余弦定理 bccbAbccba22222cos21 ④ [发现差异] ②中有b+c,而④中有b2+c2 、bc [构造相同] b2+c2=(b+c)2-2bc

[转化矛盾] 上式代入④得bccb3)(12 即 bccb31)(2 ⑤ [发现差异] 目标②中有b+c,而⑤中有bc

)sin(sin,332sinsin32sinsinsinCBcbCBcbCcBbAa，

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数学综合实践活动课思考(2篇)

数学综合实践活动课思考(2篇)

第1篇随着新课程改革的不断深入，数学综合实践活动课在我国中小学教育中逐渐崭露头角。

作为一种新型的教学模式，数学综合实践活动课以学生为主体，注重培养学生的数学素养、创新精神和实践能力。

本文将从以下几个方面对数学综合实践活动课进行思考。

一、数学综合实践活动课的内涵数学综合实践活动课是指在数学教学过程中，以学生为主体，以数学知识为载体，通过一系列实践活动，让学生在探索、发现、应用、创新的过程中，提高数学素养、创新精神和实践能力的一种教学模式。

二、数学综合实践活动课的特点1. 以学生为主体。

数学综合实践活动课强调学生的主体地位，鼓励学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力。

2. 注重实践性。

数学综合实践活动课强调实践活动，让学生在解决实际问题的过程中，加深对数学知识的理解和应用。

3. 强调创新精神。

数学综合实践活动课鼓励学生勇于创新，提出新的观点、方法和思路，培养学生的创新精神。

4. 注重学科交叉。

数学综合实践活动课涉及多个学科领域，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

5. 关注个体差异。

数学综合实践活动课关注学生的个体差异，为不同层次的学生提供适合的学习活动。

三、数学综合实践活动课的实施策略1. 合理设计活动内容。

活动内容应贴近学生生活，具有趣味性和挑战性，激发学生的学习兴趣。

2. 创设良好的学习环境。

营造宽松、和谐、民主的学习氛围，让学生在活动中充分展示自我。

3. 注重学生自主探究。

教师应引导学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究能力。

4. 强化合作交流。

鼓励学生之间相互合作、交流，共同完成学习任务，提高团队协作能力。

5. 注重评价与反馈。

采用多元化的评价方式，关注学生的成长过程，及时给予学生反馈，促进学生不断进步。

四、数学综合实践活动课的反思1. 教师角色转变。

在数学综合实践活动课中，教师应从知识的传授者转变为活动的组织者和引导者，关注学生的个体差异，尊重学生的主体地位。

2. 学生参与度。

浅谈“问题解决”课堂教学模式

浅谈“问题解决”课堂教学模式

安 徽师 范大学 数学 计算 机学 院 05 级 教硕, 安徽 芜湖 241000)
[ 摘 要] “问题解决”教学模式是一种针对教学中不同情景提出的问题, 采用较为灵活的策略去解决问题的教学模式, 可以提高学生的创 造性思维和应用教学的意识, 促进学生能力的形成和发展。 [ 关键词] “问题解决”内涵 ; “问题解决”教学模式; 数学问题解决
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是一种再创造的过程。要把数学教学过程作为学生活动的教学形式, 鼓 励学生自己探索, 自己尝试解决问题的多种方法, 使学生获得不断创新 的能力和创造能力。常有 下列方法: 设疑— — —引 探法、猜想— — —验证 法、比较— ——归纳法。
( 四) 反思、评价 对问题解决过程、方法进行评价, 优胜劣汰, 获得新结论。或由学 生收集、整理有关假设的材料, 经分析、概括得出结论。数学问题的反 思和评价过程是师生间的双边活动, 是师生间思维的再度交汇和沟通, 是使学生的认识由低级向高级发展的又一途径。通过回味和引伸, 使学 生从不同角度运用不同的知识和方法处理问题, 把握数学问题的本质, 揭示解题规律, 优化学生的思维品质, 提高分析和解决问题能力。 ( 五) 应用新知识 产生迁移将新知识纳入认识结构中, 然后把它用于同类问题的新问 题中, 反馈矫正, 使教学重点突出。学生在获得新的概念和规律后, 教 师就及时地设计不同层次的练习, 指导学生运用新知识解题, 促进知识 迁移, 进一步加深对新知识的理解巩固。 四、 “问题解决”应用于教学的体会 数学问题解决不仅可以培养学生学习的主动性, 完善学生的各种学 习能力。而且还可进一步培养和发展学生的辨证思维能力和创造性思维 能力。在不断的数学问题解决过程中, 学生思维的深刻性、批判性、创 新、发展的科学精神得以培养和形成。主要体现在: ( 一) 教学设计重视数学实用性和规律性, 与生活实际紧密相关 用已有的知识加以改造、联想、分析、归纳, 从而产生新规律, 用 以解决实际生活中的相关问题。尤其在数学的实用性方面体现: 特别强 调出一切数学问题都是条件问题, 使学生清楚认识到使用数学规律解决 数学问题的实际问题都要注意到数学条件的存在, 从而有意识的引导学 生关注知识的发生、发展的全过程。这一数学思想对学生的数学学习无 疑是很有价值的。 ( 二) 问题解决教学能有效地提高学生的学习兴趣、培养学生的创 造思维能力 问题是进行创造活动的前提, 问题的存在能使学生产生释疑的愿望 和探究欲, 进而驱动创造力。充分体现了教师的“导”完全为学生 的 “学”服务这一现代教学思想。学生的学习兴趣和学习的积极性也大大 提高, 学生始终都处于一种能动的积极状态中, 他们乐于思考, 勤于探 究, 学会了采用多种方法去探讨问题, 作出决策, 锻炼了思维, 提高了 创造力。学生提出问题、分析问题和解决问题能力大大提高。在问题解 决教学中, 问题的解决往往是上述多种思维形式交叉运用, 互相补充, 从不同角度, 沿不同方向对问题进行思考, 从而获得解决这一问题的多 个方案或结论。可见, 问 题解决的过程正是创造性思维得到培养的 过 程。问题本身具有非常规性、开放性和应用性, 这就决定了问题解决过 程必然具有探究性和创造性。 ( 三) 问题解决教学能有助于学生形成科学探究能力 在解决问题的过程中, 学生为了找到满意的答案, 会主动探究问题 的各种可能性, 做出各种猜测或假设, 并寻找证据或设计实验来验证假 设, 直到学生能合理地解释问题。探究问题的过程是学生亲身体验类似 和科学研究的过程。在这个过程中, 学生必须学会如何处理信息, 如何 与人合作, 如何应用已有知识解决实际问题, 这些都有助于学生形成科 学的探究能力。
小学数学解决问题的策略研究结题报告

小学数学解决问题的策略研究结题报告

小学数学解决问题根本策略研究结题报告2021年1月课题“小学数学解决问题根本策略研究〞被山阳小学确立为校级课题，两年多来，本课题研究与课堂教学实践研究严密结合，有效促进了学生解决问题策略形成，切实提高了学生解决问题策略意识，完成了研究预设目标任务。

现对课题研究情况总结如下：一、研究背景。

1．重视问题解决是数学课程标准一个显著特点。

数学课根本目是使所有学生获得解决他们日常生活中遇到数学问题能力。

小学阶段学生学习数学应立足于他们终身学习与开展效劳，让每一位学生学得有用数学。

让学生从小能形成解决实际问题根本策略就是以这一点为出发点。

本课题从学生学角度，探索学生解决问题时选择根本策略过程，形成了怎样策略？对学生今后学习数学有什么样实践意义？即对学生解决问题策略形成有效性进展研究。

通过研究到达提高学生良好解决问题能力，到达标准对学生总体目标要求都具有很强理论意义与实践意义。

2．国内外“解决问题〞研究现状决定解决问题策略研究对实践课程标准重要性。

20世纪80年代以来，国际数学教育界提出“问题解决〞这一重要概念，明确提出“具有解决数学问题能力〞是数学课程重要目标之一。

面对知识经济时代与信息科技开展需要，我国教育部2001年7月公布?全日制义务教育数学课程〔课程实验稿〕?中，也明确规定：形成解决问题一些根本策略，体验解决问题策略多样性，开展实践能力与创新精神。

不难看出，“解决问题〞不仅是数学学习目，而且也是数学学习重要方式。

3.上海版教材特点决定“小学数学问题解决根本策略研究〞必要性义务制教育上海版教材中对问题解决没有单独列为“章节〞，而是渗透、融合在各个知识点中；为了让学生建立更明确问题解决策略，帮助学生更容易地解决问题，结合本课题，把上海版教材与苏教版教材相结合，把问题解决策略结合上海版教材中问题一起实施、一起解决、一起研究，一方面提高教师教学创造性与整合教材能力，另一方面帮助学生掌握解决问题策略，提高解决问题能力。

一年级数学解决问题教学策略研究

一年级数学解决问题教学策略研究

一年级数学解决问题教学策略研究1. 引言1.1 研究背景一年级数学解决问题教学策略研究的背景非常重要，因为数学解决问题是数学学习的核心目标之一，也是培养学生综合素质和创新能力的重要途径。

一些研究表明，相比于其他年级，一年级学生在数学解决问题能力上存在较大的薄弱点。

这可能是因为一年级学生刚刚接触数学学习，缺乏系统的数学基础和问题解决经验，同时教师在教学过程中也存在着不同程度的问题。

深入研究一年级数学解决问题教学策略，探讨如何有效地培养学生的问题解决能力，不仅有助于提高学生的数学学习效果，也对学生的综合素质和创新能力的培养具有积极意义。

通过对一年级数学解决问题教学策略的研究，可以帮助教师更好地了解学生的学习特点和问题解决能力水平，从而针对性地设计教学方案，提升教学质量，促进学生全面发展。

1.2 研究意义一年级数学解决问题教学策略研究的研究意义在于帮助学生培养解决问题的能力，提升他们的数学思维和创造力。

数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，通过解决问题可以激发学生的学习兴趣，增强他们对数学的认识和理解。

在一年级阶段，培养学生解决问题的能力尤为重要，因为这是他们学习数学的基础，也是他们未来学习和生活中所必需的技能。

通过研究一年级数学解决问题教学策略，可以帮助教师更好地指导学生，引导他们探索和发现问题的解决方法，从而提高他们的思维能力和创造力。

研究还可以为教育教学提供新的思路和方法，丰富教学手段，促进学生的全面发展。

通过这项研究，可以不断优化教学模式，提高教学效果，为学生的数学学习打下良好的基础。

研究一年级数学解决问题教学策略具有重要的理论意义和实践意义。

2. 正文2.1 教学策略概述教学策略是指教师在教学过程中为了更有效地传授知识和培养学生能力而采取的一系列方法和手段。

在一年级数学教学中，教学策略的选择至关重要，可以直接影响到学生对数学的理解和学习兴趣的培养。

一年级数学教学的教学策略应当注重激发学生的学习兴趣，引导他们积极参与课堂活动。