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2018-2019学年高二数学选修1-2学业分层测评试题29

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模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n【解析】 依据含有一个量词的命题的否定判定即可．因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.【答案】 C2．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 的值为( )A ．5B ． 5C ．52D ．54【解析】 由焦点在x 轴上的渐近线方程为y ＝±12x ，可得b a ＝12， 所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a ＝52.【答案】 C3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 结合平面与平面平行的判定与性质进行判断． 当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．【答案】 B4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为( ) A.55 B ．555 C.355D ．115【解析】 ∵b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2 ＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， 当t ＝15时，|b －a |min ＝355. 【答案】 C5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74【解析】 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.【答案】 C6．下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )【导学号：32550103】A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【解析】 要求a ＞b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a ＞b ，而由a ＞b 不能推出选项．在选项A 中，a ＞b ＋1能使a ＞b 成立，而a ＞b 时，a ＞b ＋1不一定成立，故正确；在选项B 中，a ＞b －1时，a ＞b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2＞b 2时，a ＞b 也不一定成立，因为a ，b 不一定同为正数，故C 错误；在选项D 中，“a 3＞b 3”是“a ＞b ”成立的充要条件，故D 错误．【答案】 A7．与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上D ．一个圆上【解析】 将x 2＋y 2－8x ＋12＝0配方，得(x －4)2＋y 2＝4，设所求圆心为P ，设两圆的圆心分别为O 1，O 2，则由题意知||PO 2|－|PO 1||＝|R －r |＝1，根据双曲线的定义可知其轨迹是双曲线的一支．【答案】 B8．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( )A ．(0,0，±2)B ．(0,0，±3)C ．(0,0，±3)D ．(0,0，±1)【解析】 设M (0,0，z )，直线的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33，故点M 到直线l 的距离d ＝|OM →|2－|OM →·s 0|2＝z 2－13z 2＝6，解得z ＝±3.【答案】 B9．如图1，已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( )图1A ．1B ． 2C ．2D ．4【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.【答案】 C10．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，P A ＝2，则直线P A 与平面DEF 所成角正弦值为( )A.15 B ．255C.55D ．25【解析】 以A 为原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，P A ＝2，得A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1， ∴AP →＝(0,0,2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎨⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设P A 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝|P A →·n ||P A →|·|n |＝55，∴P A 与平面DEF 所成角的正弦值为55，故选C.【答案】 C11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0B ．3x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，∴PF 1→＋PF 2→＝2PO →， ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→|·|PF 2→|＝28a 2.① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2.② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|，∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba ＝ 2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0. 【答案】 D12．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( )A.55 B ．33 C.255 D ．63【解析】取BC 中点O ，连结AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n ＝(1，－3，1)，∴cos 〈n ，OA →〉＝55， ∴sin 〈n ，OA →〉＝255. 【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题是________．【解析】 根据逆否命题的定义知“若p 则q ”与“綈q 则綈p ”互为逆否命题．【答案】 若A B ，则A ∪B ≠B14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________.【解析】 a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∵(a ＋b )⊥c ，∴(a ＋b )·c ＝0， 即－2×1＋1×(－x )＋(x ＋3)×2＝0. 解得x ＝－4. 【答案】 －415．如图2，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，点M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________．图2【解析】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋OB →＋12OC →－12OB →＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 【答案】 16OA →＋13OB →＋13OC →16．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【导学号：32550104】【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF .由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图像可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 【答案】 12 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0.若p是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．【解】 解不等式x 2－8x －20＞0得p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}． 解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}． 依题意，p ⇒q 但q p ，说明A B .于是，有⎩⎨⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2，或⎩⎨⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2.解得0＜a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0＜a ≤3.18．(本小题满分12分)已知p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．【解】 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1，有0＜x 1＋x 2＜2且0＜x 1x 2＜1.根据根与系数的关系⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎨⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1，即－2＜m ＜0,0＜n ＜1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p q .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．19．(本小题满分12分)在如图3所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：图3(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．【解】 (1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a ，0)，E (0，－2a ，a )，所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →＝(a ，a ，－a )， 所以CM →·EM →＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0， 所以CM ⊥EM .(2)CE →＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎨⎧ －2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩⎨⎧z ＝2y ，x ＝－z ，令y ＝1， 则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM →，n 〉＝CM →·n |CM →||n |＝a ×(－2)＋(－a )×1＋0×22a ×3＝－22，所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.20．(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、图4M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设所求曲线方程为y ＝ax 2＋647，由题意可知，0＝a ·64＋647，解得a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647. (2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)． 所以x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． 所以C (6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.故当观测点A ，B 测得AC ，BC 距离分别为25，4时应向航天器发出变轨指令．21．(本小题满分12分)如图5所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .图5(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D -AF -E 的余弦值．【解析】 (1)由题意可知DA ⊥DC ，DA ⊥DP ，DC ⊥DP ，则以D 为原点，DP 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为a ， 则C (0，a,0)，且A (0,0，a )，由平面几何知识可求得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，所以CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，DA →＝(0,0，a )，所以CF →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0＝0， CF →·DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·(0,0，a )＝0，故CF ⊥DF ，CF ⊥DA ；又DF ∩DA ＝D ， 所以CF ⊥平面ADF .(2)易得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，0，则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ，又AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ，设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AE →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ＝34ax －az ＝0，n ·AF →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ＝34ax ＋34ay －az ＝0， 取x ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，34.由(1)知平面ADF 的一个法向量为CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，故cos 〈n ，CF →〉＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，34·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0194×12a ＝25719，由题图可知二面角D -AF -E 为锐二面角，所以其余弦值为25719.22．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .图6(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图6，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【导学号：32550105】【解】 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，得点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得 x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10， 解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.。

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2019人教版高中数学选修1-2测评卷答案

2019人教版高中数学选修1-2测评卷答案

）单元测评(一)1.D[解析]并不是任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.2.B[解析]斜率的估计值是-5,说明x每增加1个单位,y平均减少5个单位.3.D[解析]由相关系数及回归分析的知识可知,当相关系数r越大时,A,B两变量有更强的线性相关性.4.A[解析]图A中的点不成线性排列,故两个变量不适合用线性回归模型拟合.故选A.5.A[解析]∵P(K2≥5.024)≈0.025,∴判定是否喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为97.5%.6.B[解析]由题中散点图知,去掉D后,x与y的相关性变强,且为正相关,所以r变大,R2变大,残差平方和变小.7.A[解析]由题意可得,当与相差越大时,X与Y有关系的可能性越大,分析四组选项,A中的a,c的值最符合题意.故选A.8.B[解析]画出散点图如图所示,则应去掉第3组数据(-3,4).9.D[解析]依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断,选项D中命题为真命题.10.C[解析]∵K2的观测值k=≈9.616>6.635,∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”,故选C.11.A[解析]由已知数据得到如下2×2由公式得K2的观测值k=≈13.11.由于13.11>10.828,所以有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的,但是否改造设备这一行为并不对含杂质的高低起决定性作用.12.B[解析]由样本点(4,3)处的残差为-0.15,即3-(0.7×4+)=-0.15,可得=0.35,故线性回归方程为=0.7x+0.35.又=4.5,=,所以0.7×4.5+0.35=,解得m=4.5.13.±1[解析]由题易知,相关系数r=±1.14.99.5%[解析]根据题目中所给的数据可得到2×2列联表(略),再由公式得k=≈10.76.因为10.76>7.879,所以约有99.5%的把握认为“学生的数学成绩和物理成绩有关系”.15.④[解析]因为有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关,所以K2的观测值k>6.635,故填④.16.15[解析]因为=×(2+4+5+6+8)=5,=×(30+40+60+50+70)=50,所以50=6.5×5+,则=17.5,所以当y=115时,6.5x=115-17.5⇒x=15,即需广告费为15万元.17.解:K2的观测值k=≈9.638.∵9.638>7.879,∴有99.5%的把握认为“患胃病与生活不规律有关”.18.解:(1)=x i=9.5,=y i=90,故(x i-)(y i-)=-14,(x i-)2=0.7,故=-=-20,从而=-=280,因此=-20x+280.(2)设该产品的单价定为x元,工厂获得的利润为L元,则L=(x-5)(-20x+280)=20(x-5)(14-x)≤20·--=405,当且仅当x-5=14-x,即x=9.5时取等号,因此单价应定为9.5元.19.解:(1)调查的500位老年人中,有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例的估计值为×100%=14%.(2)K2的观测值k=≈9.967.由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.(3)由(2)中的结论知,该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,并且从样本数据可以看出该地区男性老年人与女性老年人中需要志愿者提供帮助的比例有明显差异,因此,在调查时先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层,采用分层抽样方法更好.20.解:(1)由茎叶图知甲班的数学成绩集中于50~90分之间,乙班的数学成绩集中于60~100分之间,所以乙班的数学成绩的平均分高.(2)完整的2×2列联表如下:由以上数据得K2的观测值k=≈5.584>5.024,因此能够在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为数学成绩是否优秀与教学方式有关.21.解:(1)=ln x+更适合刻画x,y之间的关系.理由如下:x的值每增加1,y的值的增加量分别为7, 4, 3, 2,增加得越来越缓慢,适合对数型函数的增长规律,与直线型函数的均匀增长存在较大差异,故=ln x+更适合刻画x,y之间的关系.(2)令z i=ln x i,计算知===14.6,·所以=-·≈14.6-10×0.96=5,所以所求的回归方程为=10ln x+5.当x=6时,日销售额为=10ln 6+5≈23(万元).22.解:(1)设抽到不相邻2组数据为事件A.因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况是等可能出现的,其中抽到相邻2组数据的情况共有4种,所以P(A)=1-=,故选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率为.(2)利用12月2日至12月4日的数据,求得=×(11+13+12)=12,=×(25+30+26)=27,(x i-)(y i-)=(-1)×(-2)+1×3+0×(-1)=5,(x i-)2=(-1)2+12+02=2,由公式求得=--=,=-=-3.-所以y关于x的线性回归方程为=x-3.(3)当x=10时,=x-3=22,|22-23|<2,同样地,当x=8时,=×8-3=17,|17-16|<2,所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的.单元测评(二)1.D[解析]归纳推理的结论并不都是不可靠的.2.B[解析]由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=sin2A,即sin(B+C)=sin A=sin2A,而sin A>0,∴sin A=1,A=,∴△ABC是直角三角形.3.B[解析]记数列为{a n},观察规律可知:a2比a1多2,a3比a2多3,a4比a3多4,….故当n≥2时,a n比a n-1多n,可得递推公式为-∈-4.C[解析]大前提、小前提都正确,其推理形式错误,故选C.5.C[解析](x-a)(x+a)<1⇔(x-a)(1-x-a)<1,即x2-x-a2+a+1>0.上述不等式恒成立的充要条件是Δ=1-4(-a2+a+1)<0,即4a2-4a-3<0,解得-<a<.6.C[解析] C中的推理属于合情推理中的类比推理,A,B,D中的推理都是演绎推理.7.D[解析]根据反证法的定义可知证明某个命题成立时,应假设命题的反面成立,即假设命题的否定成立.∵命题“抛物线y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b中至少有一条与x轴有两个交点”的否定为“三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点”,∴应假设“三条抛物线与x轴只有一个交点或没有交点”,故选D.8.A[解析]由定义知,千位9为横式;百位1为纵式;十位1为横式;个位7为纵式.故选A.9.D[解析]假设a,b,c都小于,则a+2b+c<2,与a+2b+c=2矛盾,故a,b,c中至少有一个不小于.10.C[解析]∵==,且由正弦定理有==,∴===,∴sin B=cos B,sin C=cosC,∴B=C=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.11.A[解析]==-·-=-·-=-.若a>b>0,则>1,a-b>0,∴>1;若0<a<b,则0<<1,a-b<0,∴>1;若a=b,则=1.∴p≥q.12.B[解析]一开始,甲同学仅凭花色无法判断这张牌是什么,说明这张牌的花色在6张牌里不是唯一的,可能是红桃或黑桃;乙同学仅凭数字无法判断这张牌是什么,说明这张牌的数字也不是唯一的,只能是6.结合甲同学的话,乙同学就知道了这张牌是红桃6,甲同学根据乙同学的话也就知道答案了,所以这张牌是红桃6.故选B.13.68[解析]∵2113是第1057个奇数,宝塔形数表中第i行有i个数,∴前i行共有1+2+3+…+i=(个)数,∵=1035,∴2113在宝塔形数表的第46行,又奇数行中的数从左向右依次变小,偶数行中的数从左向右依次变大,∴2113为第46行从左向右数第22个数,即a46,22=2113,∴i+j=46+22=68.14.在四面体A-BCD中,G为△BCD的重心,则=(++)[解析]△ABC中BC边上的中点类比为四面体中一个面的重心.15.[解析]由f(x)=,得f(1)=,且f==,即f(x)+f=1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)+f+f+…+f=f(1)+f+f(2)×2017=+2017=.16.3024+[解析]a1=,a2=1+-=+,a3=2+-=+,a4=4+-=+,a5=5+-=+,a6=7+-=+,…归纳可得,当n为奇数时,a n=-×3+;当n为偶数时,a n=-×3+.∴a2017=×3+=3024+.17.证明:因为a>0,b>0,所以要证≥,只需证(a+b)2≥4ab,只需证(a+b)2-4ab≥0,即证a2-2ab+b2≥0,而a2-2ab+b2=(a-b)2≥0恒成立,故≥成立.18.解:(1)由已知中给出的证明过程,我们可以得到一个一般性的结论,若a1,a2,…,a n∈R,a1+a2+…+a n=1,则++…+≥.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2x+++…+,因为对一切x∈R,都有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(++…+)≤0,从而得++…+≥.19.解:(1)证明:设点P(x0,y0)(x0≠±a).依题意,不妨令A(-a,0),B(a,0),所以直线PA的方程为y=(x+a),令x=0,得y M=.同理得y N=--,所以y M y N=-.又点P(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1,因此=(a2-),所以y M y N=-=b2.因为=(a ,y N ), =(-a ,y M ),所以 · =-a 2+y M y N =b 2-a 2. (2)-(a 2+b 2).20.解:(1)证明:任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,∴ - >1,且 >0,∴ - = ( - -1)>0. 又∵x 1+1>0,x 2+1>0,∴ -- - =- - = ->0,于是f (x 2)-f (x 1)= - +- - ->0,故函数f (x )在区间(-1,+∞)上为增函数. (2)假设存在x 0<0(x 0≠-1)满足f (x 0)=0,则 =- -,且0< <1,∴0<- -<1,即<x 0<2,与假设x 0<0矛盾,故方程f (x )=0没有负根.21.解:锐角三角形.∵c n=a n+b n(n>2),∴c>a ,c>b ,故c 是△ABC 的最大边长.要证△ABC 是锐角三角形,只需证角C 为锐角,即证cos C>0.∵cos C=-,∴要证cos C>0,只需证a 2+b 2>c 2.①又a n+b n=c n,∴将①式等价变形为(a 2+b 2)c n-2>c n.②∵c>a ,c>b ,n>2,∴c n-2>a n-2,c n-2>b n-2,即c n-2-a n-2>0,c n-2-b n-2>0,从而(a 2+b 2)c n-2-c n =(a 2+b 2)c n-2-a n -b n =a 2(c n-2-a n-2)+b 2(c n-2-b n-2)>0,这说明②式成立,从而①式也成立. 故cos C>0,角C 是锐角,△ABC 为锐角三角形.22.解:由已知,得P n,Q n. ∵点Q n 在曲线y=上,∴=,化简可得a n+1=.由a 1>0及a n+1=,知a n >0, 下证:a 2n-1<<a 2n .证法一:∵a n+1- =- -,∴a n+1-与a n -异号,由a 1-<0,知a 2n-1-<0,a 2n ->0,即a 2n-1< <a 2n . 证法二:由a n+1=可得 a n+1- =- - ,a n+1+ =,∴有 -=-· -, 即-是以-为公比的等比数列. 设t= -,则 -=t · - -, 解得a n =· -- · --,从而有a n - =· - -· - - -=-- -,由0<a 1< 可得- <t<0,∴a 2n-1-=-- <0,a 2n - =- - ->0,∴a 2n-1<<a 2n . 单元测评(三)1.D [解析] i (2+3i )=2i +3i 2=-3+2i ,故选D. 2.A [解析] ∵=2+i ,∴ =(2+i )(1+i )=1+3i ,∴z=1-3i ,故选A .3.C [解析] 由已知得 - ∴∴z 1=-3-i ,故选C .4.C[解析]依题意得--≠解得a=0或a=-2.5.A[解析]=i2017(1-i)=i(1-i)=1+i,∴z=1-i.6.D[解析]设z=b i(b∈R,且b≠0),则==-=[(2-b)+(2+b)i].∵∈R,∴2+b=0,∴b=-2,∴z=-2i.7.A[解析]由复数的几何意义,得z=2+i,则==--=-i,则该复数在复平面内对应的点为,-,即为点H.8.B[解析] e2i=cos 2+isin 2,它在复平面内对应的点为(cos 2,sin 2).∵2∈,∴cos 2∈(-1,0),sin 2∈(0,1),∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限.9.C[解析]∵1+2a i=b+i,又a,b∈R,∴即∴|a+b i|===.10.C[解析]∵(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i,∴z=1+2i或z=-1-2i.11.A[解析]复数z满足|z+1-i|=2,其在复平面内对应的点的轨迹为以C(-1,1)为圆心,2为半径的圆.|z-2+i|表示圆上的点与点M(2,-1)的距离.∵|CM|==,∴|z-2+i|的最大值是+2.12.A[解析]z1-z2=---=-=-2i,由|z1|=|z2|=1,设z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β,∴cos α=cos β,sin α-sin β=-2,∴cos α=cos β=0,sin α=-1,sin β=1,∴z1=-i,z2=i,∴z1·z2=-i·i=1.13.+i[解析]=--==-i,其共轭复数为+i.14.1+i[解析]∵z1=1+i,z1·=2,∴==1-i,∴z2=1+i.15.-20[解析]∵(z1-z2)i=[4+29i-(6+9i)]i=(-2+20i)i=-20-2i,∴(z1-z2)i的实部是-20.16.④[解析]由y∈∁C R,知y是虚数,则-不成立,故①错误;两个不全为实数的复数不能比较大小,故②错误;实数的虚部为0,故③错误;z3+1=+1=i+1,其在复平面内对应的点位于第一象限,故④正确.17.解:(1)÷(1+i)2=--÷[(1+i)(1+i)]=-÷(1+3i2+2i)=÷(-2+2i)=---=----=-=--i.(2)方法一:=-==-=-= =.方法二:=-=-=--=.18.解:(1)=(2 +a i)2= 4-a2+ 4a i,因为为纯虚数,所以解得a=2.(2)由(1)知,z1=2+2i,所以z==-==2i,所以|z|=2.19.解:(1)由已知得①-②由①得-1<m<0,由②得m<2,故不等式组的解集为{m|-1<m<0},因此m的取值范围是{m|-1<m<0}.(2)由已知得,点(log2(1+m),lo(3-m))在直线x-y-1=0上,即log2(1+m)-lo(3-m)-1=0,整理得log2(1+m)(3-m)=1,从而(1+m)(3-m)=2,即m2-2m-1=0,解得m=1±,且当m=1±时,都能使1+m>0,且3-m>0,故m=1±.20.解:(1)设z=x+y i(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,∵=-=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i,∴由题意得x=4,∴z=4-2i.(2)(z+m i)2=(12+4m-m2)+8(m-2)i.由于(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限,∴--解得2<m<6.∴实数m的取值范围是(2,6).21.解:(1)z=+3i=-2i-1+3i=-1+i,所以|z|==.(2)因为复数z是方程x2+ax+b=0的一个根,所以x2+ax+b=b-a+(a-2)i=0,所以--解得a=b=2.22.解:(1)设z=x+y i(x,y∈R),由|z-z0|=,得|x+y i-(2+2i)|=|(x-2)+(y-2)i|=,即(x-2)2+(y-2)2=2.∴复数z在复平面内对应点的轨迹为以(2,2)为圆心,为半径的圆.(2)设复数z0在复平面内对应的点为Z0,复数z在复平面内对应的点为Z,O为坐标原点,易知当点Z在线段OZ0上时,|z|取得最小值.∵|OZ0|=2,半径为,∴当z=1+i时,|z|取得最小值,|z|min=.单元测评(四)1.A[解析]程序框图是流程图中的一种.2.B[解析]由结构图的特征可知,“环”形结构具有表达逻辑先后关系的功能.3.B[解析]病人到医院看病的过程是一个动态过程,如先挂号,再就诊,检查化验等,所以该问题的解决过程属于程序流程图.4.D[解析]从上而下可以看出教务处的直接领导是教学副校长,而督导处是校长的直接下属,这是一所学校的组织结构图,不是流程图,故选D.5.B[解析] A,D是流程图,C是频率分布直方图,只有B是结构图.6.B[解析]由结构图的概念及应用可知A,C,D均正确,结构图还有“环”形结构,故选B.7.A[解析]“随机数与随机模拟”的上位要素有两个,即“古典概型”和“几何概型”,其他说法都正确.8.D[解析]按流程图顺序,因为a=-8<0,所以输出|-8-2|=10.9.A10.B[解析]由工序流程图可知,粗加工的不合格品进入返修加工,返修加工的合格品进入精加工,不合格品作为废品处理;粗加工的合格品进入精加工,精加工的合格品为成品,不合格品为废品.由以上可知,一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验4道程序.11.B[解析]因为0+2+22+23+24+25+26=126,所以当S的值为126时,n的值为6,再执行下一步“n=n+1”后,n的值为7,此时应退出循环,所以判断框内应填“n≤6?”.12.B[解析]由题意,列方程2[2(2x-1)-1]-1=0,解得x=,故选B.13.流程图[解析]该图表述的是动态过程,应填“流程图”.14.17分钟[解析]由题意可知,在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播,故小明要花费的最少时间为4+5+8=17(分钟).15.①③②④(或①③④②)16.y=x?i=i+1[解析]①处应填“y=x?”,当y=x成立时,则输出i,否则指向②,并转入循环,因此②处应具有计数功能,故应填“i=i+1”.17.解:结构图如下图所示:18.解:流程图如下图所示:19.解:(1)将各分厂所需装卸工人数由大到小排列,得7,6,6,5,5,4.(2)车辆数为4,上列数中第四个数是5.(3)跟车人数应为5,此时所需的装卸工人数为5×4+2+1+1=24.所以每辆车上安排5个人跟车,各分厂安排的装卸工人数如图所示,这样所需人数最少,最少要安排24名装卸工人.20.解:流程图如下:21.解:根据程序框图可知,甲、乙两人玩游戏的规则是:从装有3个红球和1个白球的袋中任意取出1个球后不放回,再任意取出1个球,若取出的两球不同色,则甲胜,否则乙胜.记A1,A2,A3表示3个红球,B表示1个白球,则取出一个球不放回,再取出一个球有12个基本事件:A1A2,A1A3,A1B,A2A1,A2A3,A2B,A3A1,A3A2,A3B,BA1,BA2,BA3.其中甲胜包含6个基本事件:A1B,A2B,A3B,BA1,BA2,BA3.故甲胜的概率P==.22.解:决定主办权归属的流程图如下:模块终结测评(一)1.C[解析]由已知得A={i,-1,-i,1},故A∩B={1,-1}.2.C[解析]①是类比推理;②是归纳推理;④是归纳推理.所以①②④是合情推理.3.A[解析]将y=7.765代入=0.66x+1.562,可得7.765=0.66x+1.562,则x≈9.4,所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.4.B[解析]根据结构图的含义,知识结构图是用图形直观地再现出知识之间的关联,由集合的含义是集合的一种,从而得出正确答案为B.5.D[解析]根据“三段论”的一般形式,可以得到大前提是②,小前提是③,结论是①.6.D[解析]要求P0对应的复数,只需知道对应的复数,而=+,==(1,-1),=(-1,0),所以=(0,-1),故P0对应的复数为-i.7.C[解析]相关指数R2越大,说明模型拟合效果越好,故②错误,①③正确.8.B[解析]假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定为“都不是”,故应假设a,b,c都不是偶数.9.C[解析]当i=7时,选项C中程序框图执行最后一次循环,此时S=1+++,与题意不符,故选C.10.C[解析]∵i2019=i4×504+3=i3=-i,∴2-3i2019=2+3i=,∴1-2b i=(2+3i)(a+i)=2a-3+(3a+2)i,∴-解得∴|z-(a+b i)|=|z-(2-4i)|=,∴复数z表示的点在以(2,-4)为圆心,半径为的圆上,∴|z|的最大值为+=3.故选C.11.A[解析]K2的观测值k=-=≈7.822>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“是否爱好游泳运动与性别有关”,故选A.12.B[解析]从T i中最小的开始,按由小到大的顺序排队接水可使总时间最少.举例说明,假设只有T1,T2两人接水,T1需10分钟,T2需5分钟,若T1先接,则总的花费时间为10+(10+5)=25(分钟),若T2先接,则总的花费时间为5+5+10=20(分钟).13.副校长甲[解析]由结构图知,“教研处”的直接领导为副校长甲.14.6[解析]由z=1+2i,知=1-2i,则·=z·+1=(1+2i)(1-2i)+1=6.15.3[解析]按照程序框图逐一执行.当x=1时,满足1≤x≤3,所以x=1+1=2,n=0+1=1;当x=2时,满足1≤x≤3,所以x=2+1=3,n=1+1=2;当x=3时,满足1≤x≤3,所以x=3+1=4,n=2+1=3;当x=4时,不满足1≤x≤3,所以输出n=3.16.---[解析]根据图甲所示的分形规律,1个白圈分形为2个白圈和1个黑圈,1个黑圈分形为1个白圈和2个黑圈.∵第一行记为(0,1),第二行记为(1,2),第三行记为(4,5),第四行记为(13,14),第五行记为(40,41),各行黑圈数乘2,分别是2,4,10,28,82,即1+1,3+1,9+1,27+1,81+1,∴第n行的黑圈数为-,而第n行共有3n-1个圈,故第n行的白圈数为3n-1--=--,故第n行中白圈与黑圈的“坐标”为--,-.17.解:原式=-··+(5+i16·i3)-=+(5-i)--=i+5-i+i=5+i.18.解:建立列联表如下:∴K2的观测值k=≈6.201>5.024,即在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为休闲方式与性别有关.19.解:某大学远程教育学院网上学习流程图如图所示:20.解:z=(a+b i)=-2a-2b i.由|z|=4得a2+b2=4,①因为复数0,z,对应的点构成正三角形,所以|z-|=|z|.把z=-2a-2b i代入化简得a2=3b2.②又因为z对应的点在第一象限,所以a<0,b<0.由①②得故所求值为a=-,b=-1.21.解:(1)令a=b,得≤M≤,故M=.(2)证明:先证明+≤.∵a>0,b>0,∴要证上式,只需证3a(2b+a)+3b(2a+b)≤2(2a+b)(2b+a),即证a2+b2≥2ab,即证(a-b)2≥0,这显然成立,∴+≤.再证明≤+.∵a>0,b>0,∴要证上式,只需证3a(2a+b)+3b(2b+a)≥2(a+2b)(b+2a),即证a2+b2≥2ab,即证(a-b)2≥0,这显然成立,∴≤+.故原命题成立.(3)猜想命题:存在一个常数M,使得不等式+++≤M≤+++对任意正数a,b,c,d恒成立.22.解:(1)散点图如图所示.由散点图可以看出,这些点分布在一条直线的附近,所以各店铺该季度的销售额y与店铺附近地区大学生人数x具有线性相关关系.(2)由表中数据可知=1.4,=13,-10=5.68,x i y i-10=28.4,所以==5,=13-5×1.4=6,因此回归方程是=5x+6.当x=1时,=5×1+6=11,即若店铺所在地区内有大学生1万人,则该店铺的季度销售额约为11万元.模块终结测评(二)1.A[解析]由=i,得z=-=---=i,所以|z|=1.2.C[解析]选项C为组织结构图,其余为流程图.3.B[解析]“至少有一个”的否定为“一个也没有”,故假设应为“a,b都不能被3整除”.4.A[解析]选项B为归纳推理,选项C和选项D为类比推理,选项A为演绎推理.5.A[解析]因为i2016=(i2)1008=(-1)1008=1,所以z===-=,所以z在复平面内对应的点的坐标为,它在第一象限.6.C[解析]由①②③④可归纳得出符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,所以A*D是(2),A*C是(4).7.C[解析]由独立性检验可知,有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关,若某人数学成绩优秀,则他的物理成绩不一定优秀,故A错误;两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1,故B错误;线性回归方程对应的直线=x+可能不经过其样本数据点中的任何点,故D错误;在线性回归方程=0.2x+12中,当变量x每增加1个单位时,变量平均增加0.2个单位,故C正确.故选C.8.A[解析]易知①②正确,③④错误,④中,虚数不能比较大小,故选A.9.D[解析]因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,所以x2+y2-4=0,且x≠y,即x2+y2=4(x≠y),故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(,),(-,-).10.C[解析]观察可得,第1层正方体的个数为1;第2层正方体的个数为3,比第1层多2个;第3层正方体的个数为6,比第2层多3个;…每一层比上一层多的正方体个数依次为2,3,4,5,…,故第20层正方体的个数为1+2+3+4+…+20=×=210,故选C.11.B[解析]由题意,假设服药和患病没有关系,则K2的观测值应该很小.而k=≈3.405,3.405>2.706,由独立性检验临界值表可以得出,有90%的把握认为该药物有效.12.B[解析]执行第一次循环,a=,n=2,此时|a-1.414|=|1.5-1.414|=0.086>0.005;执行第二次循环,a=,n=3,此时|a-1.414|=|1.4-1.414|=0.014>0.005;执行第三次循环,a=,n=4,此时|a-1.414|<0.005,此时不满足判断条件,故输出n=4.13.[解析]|z2|=|3+4i|=5,所以|z|=.14.经过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1[解析]圆的性质中,经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆+=1的类似的性质为经过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.15.地龟哺乳动物长尾雀[解析]根据题意,动物分成三大类:爬行动物、哺乳动物和飞行动物,故②为哺乳动物,然后细分每一类动物,可得①为地龟,②为长尾雀.16.9[解析]由题意可得==8.5,==80,则----故线性回归方程为=-20x+250,则利润H(x)=(x-5.5)(-20x+250)=-20(x-5.5)(x-12.5)=-20(x-9)2+245,故当x=9时利润最大.17.解:由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,知z的实部为正数,虚部为负数,所以复数z所对应的点在第四象限.设z=x+y i(x,y∈R),则--因为a2-2a=(a-1)2-1≥-1,所以x=a2-2a+4≥3,消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3).所以复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3). 18.证明:因为S2=2ab,所以要证S<2a,只需证S<,即b<S.因为S=(a+b+c),所以只需证2b<a+b+c,即证b<a+c.因为a,b,c分别为三角形三边,所以b<a+c成立,所以S<2a成立. 19.解:(1)S(x)=-(2)根据题中数据得到如下2×2列联表:计算可得K2的观测值k==≈10.714>6.635,所以有99%的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关.20.解:设z=x+y i(x,y∈R),由①得x<0,y>0.由②得x2+y2+2i(x+y i)=8+a i,即x2+y2-2y+2x i=8+a i,由复数相等的充要条件,得-即-因为x2+(y-1)2=9表示以(0,1)为圆心,3为半径的圆,又x<0,所以-3≤x<0,所以-6≤2x<0,即-6≤a<0,所以a的取值范围是[-6,0).21.解:(1)<.证明如下:要证<,只需证<.因为a,b,c>0,所以只需证b2<ac.因为,,成等差数列,所以=+≥2,所以b2≤ac.又a,b,c均不相等,所以b2<ac,故<.(2)证明:假设角B是钝角,则角B的对边b为最大边,则b>a,b>c,所以>>0,>>0,则+>+=,这与+=矛盾,故假设不成立,所以角B不可能是钝角.22.解:在回归方程=t+中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=----由题意得--------≈≈0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(2)由已知及=≈1.331得=---=-≈1.331-0.103×4≈0.92,所以y关于t的回归方程为=0.92+0.10t.将2019年对应的t=8代入回归方程,得=0.92+0.10×8=1.72,所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量约为1.72万吨.。

2018-2019学年高二下学期数学(人教版选修1-2)第二章章末综合检测 含答案

2018-2019学年高二下学期数学(人教版选修1-2)第二章章末综合检测 含答案

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·天津和平区高二期中)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与所证结论矛盾；④与定义、定理、公理、法则矛盾；⑤与事实矛盾．A ．①③④⑤B ．①②④⑤C ．①②③⑤D ．①②③④解析：选B.矛盾是可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、法则、事实矛盾等，故选B.2．(2014·天津耀华中学高二期中)“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝(13)x 是增函数(结论)”．上面推理的错误在于()A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A.因为函数y ＝a x 的增减性受a 影响，当a >1时，函数y ＝a x 为增函数，而0<a <1时，函数y ＝a x 为减函数，故大前提错．3．(2014·成都高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一排：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)…，则第66个“整数对”是()A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(11,1)解析：选D.由条件可知，“整数对”中，两数字和为2的1个“整数对”，和为3的两个，和为4的3个，和为5的4个，由n (n ＋1)2＝66，得n ＝11，又n ＝10时，10×(10＋1)2＝55，又66－55＝11，所以第66个整数对应为(11,1)．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面________”．()A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C.正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.5．(2014·台州高二检测)用反证法证明“方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)至多有两个解”的假设中，正确的是()A ．至多有一个解B ．有且只有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解解析：选C.“至多n 个”的反设应为“至少n ＋1个”，故选C.6．(2014·广大附中高二期中)某演绎推理的“三段”分解如下．①(250－1)不能被2整除②一切奇数都不能被2整除③(250－1)是奇数按照演绎推理的三段论模式排序正确的是()A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①解析：选D.根据三段论的模式，大前提→小前提→结论．故选D.7．(2014·襄阳高二检测)已知x >0，由不等式x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，可以推出结论：x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝()A ．n B ．3n C ．n 2D ．n n 解析：选D.由两个不等式的结构特点知，x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n n 个＋a x n≥(n ＋1)n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a x n ＝(n ＋1)n ＋1a n n＝n ＋1.所以a ＝n n .8．(2014·遵义高二检测)对于直角坐标系内任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，定义运算P 1⊗P 2＝(x 1，y 1)⊗(x 2，y 2)＝(x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2＋x 2y 1)，若M 是与原点相异的点，且M ⊗(1,1)＝N ，则∠MON ＝()A.34πB.π4C.π2D.π3解析：选B.设M (x 0，y 0)且x 0≠0，y 0≠0，由M ⊗(1,1)＝N ，得N (x 0－y 0，x 0＋y 0)，所以cos ∠MON ＝OM →·ON →|OM →||ON →|＝x 20＋y 20x 20＋y 20·(x 0－y 0)2＋(x 0＋y 0)2＝22，所以∠MON ＝π4.9．(2014·济宁高二期中)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断对一切正整数n ，(n ＋1)2>2n解析：选A.A 正确．B 是利用定义推出f (x )＝x cos x 是奇函数．C 是类比推理，D 是归纳推理，但不正确．10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值()A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能解析：选A.因为f (x )＝x 3＋x 为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a ＋b >0时，a >－b ，有f (a )>f (－b )＝－f (b )．a ＋c >0时，c >－a ，有f (c )>f (－a )＝－f (a )，b ＋c >0时，b >－c ，有f (b )>f (－c )＝－f (c )，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>－f (a )－f (b )－f (c )，从而f (a )＋f (b )＋f (c )>0.故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1.在用反证法证明时，假设应为________．答案：x ，y 均不大于1(或x ≤1且y ≤1)12．(2013·高考陕西卷)观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n 个等式可为________．解析：分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式的左边为12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2.。

高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试

高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试

章末综合测评(一)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．【答案】 D3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是()A ．0.75B ．0.60C ．0.48D ．0.20【解析】 记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A ，记“开关了15 000次后还能继续使用 ”为事件B ，根据题意，易得P (A )＝0.80，P (B )＝0.60，则P (AB )＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.600.80＝0.75. 【答案】 A4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y ＝73.93＋7.19x ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )A ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以上C ．她儿子10岁时的身高在145.83 cm 左右D ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以下【解析】 由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C ．【答案】 C5．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75【解析】 ∵x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝( )A ．13B ．518C．16D．14【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.【答案】 A7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X 和Y有关系”的百分比为()AC．2.5% D．97.5%【解析】查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X和Y有关系”．【答案】 D8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．12B．35C．23D．34【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为12×12＝14，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－14＝34.【答案】 D9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.【答案】 A10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A．12B．6091C．518D．91216【解析】P(A)＝6×5×46×6×6＝120216，P(AB)＝3×4×56×6×6＝60216，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝60216×216120＝12.【答案】 A11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是()①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，∴③正确；④正确，故选D．【答案】 D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” .A．0B．1C．2D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝992×(700×32－60×200)2 760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知x，y的取值如下表：1.02x＋a，则a ＝________.【解析】由题意得x＝4，y＝5，又(x，y)在直线y＝1.02x＋a上，所以a ＝5－4×1.02＝0.92.【答案】 0.9214．已知P (B |A )＝12，P (A )＝35，则P (AB )＝________. 【解析】 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB ) ＝P (B |A )·P (A )＝12×35＝310. 【答案】 31015．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (χ2≥3.841) χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】 χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05. 【答案】 0.0516．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：5℃时，热茶销售量为________杯.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x【解析】 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70. 【答案】 70三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】 设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12.因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立， 所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×12＋13×12＝12.18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：【解】 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，把相关数据代入公式，得χ2＝85×(5×28－40×12)217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：图2将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n (ad －bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，【解】 (1)“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2χ2＝n(ad－bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝7 10.20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23.P(B)＝1－P(B)＝1 3.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵ P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？ (3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？ 【解】 (1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，r＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2∑i＝110y2i－10y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．(3)b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.22．(本小题满分12分)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：“非高收入族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，当χ2<2.718时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.718时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)赞成楼市限购令的概率．【解】 (1)χ2＝50×(25×7－15×3)40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b 为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be 为所求事件数，因此所求概率P ＝710.。

2018-2019年人教版高中《数学选修1-2》试题(题后含答案)106

2018-2019年人教版高中《数学选修1-2》试题(题后含答案)106

2018-2019年人教版高中《数学选修1-2》试题
（题后含答案）
单选题（共5道）
1、下面说法正确的有()
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

A1个
B2个
C3个
D4个
2、用三段论推理：“指数函数y=ax是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）
A大前提错误
B小前提错误
C推理形式错误
D是正确的
3、在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于（）
A第一象限
B第二象限
C第三象限
D第四象限
4、证明不等式的最适合的方法是（）
A综合法
B分析法
C间接证法
D合情推理法
5、以下说法不正确的是（）
A顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构B循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中一定包含选择结构
C循环结构中不一定包含选择结构
D用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解
简答题（共5道）
6、用三段论证明：．
7、已知复数．
(1)求z的共轭复数；
(2)若，求实数的值．
8、用分析法证明：
9、已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3-4，求|ω|；
（2）若=1-i，求a，b的值．
10、设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），求复数z2+z的模和辐角．。