点线面位置关系知识梳理(必修二第二章)

如图所示：正方体的棱所在 的直线中，与直线A1B异面的 有哪些？
D1
C 1 答案：
A1
B 1 D1C1、C1C、CD
D
C D1D、AD、 B1C1
A
B
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2.1.2空间中直线与直线之间的位 置关系
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求证： 直线AB和a是异面直线
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异面直线
4、两条异面直线所成的角 定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成的角 (或夹角)
异面直线
5、两条异面直线垂直
如果两条异面直线所成角是直角，则说 这两条异面直线垂直。记作：a⊥b
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一、直线与平面的位置关系
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是 ．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．

个性化辅导教案学员姓名科目年级高一授课时间课时 3 授课老师教学目标重点难点第二章：点线面的位置关系2.1直线、平面垂直的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1直线与平面垂直的判定直线与平面的垂直[导入新知]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[化解疑难]1．关于直线与平面垂直的定义的理解：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α.2．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.直线与平面所成的角[导入新知](1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.[化解疑难]关于直线与平面所成的角的认识(1)把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．(2)其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解．线面垂直的定义及判定定理的理解[例1]下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2 D．3[解析]由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．[答案] D[类题通法]1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]1．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α线面垂直的判定[例2]如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.[证明]∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.[类题通法]1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系．线面垂直．线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的定义3．解决线面垂直的常用方法： (1)利用勾股定理的逆定理．(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线． (3)利用线面垂直的定义．(4)利用平行转化，即a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c . [活学活用]2.如图，直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .直线与平面所成角[例3] 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．[解] 取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ，因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形， 所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1， 所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3， 于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23，即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.[类题通法]求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． [活学活用]3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值．6.证明线面垂直[典例]如图，已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两互相垂直，H 是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC.[解题流程]要证PH⊥平面ABC，需证PH垂直于平面ABC内两条相交直线.P A，PB，PC两两垂直且H是△ABC的垂心，则△ABC的一个顶点与H连线与对边垂直.由PC⊥P A且PC⊥PB―→PC⊥平面P AB―→PC⊥AB―→由H为△ABC垂心，接连CH，CH⊥AB―→AB⊥平面PHC―→AB⊥PH―→同理BC⊥PH―→得出结论.[规范解答]如图所示，∵PC⊥AP，PC⊥BP，AP∩BP＝P①，AP⊂平面APB，BP⊂平面APB②，∴PC⊥平面APB.(3分)∵AB⊂平面APB③，∴PC⊥AB.(5分)连接CH，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB.(7分)∵PC∩CH＝C①，PC⊂平面PHC，CH⊂平面PHC②，∴AB⊥平面PHC.∵PH⊂平面PHC③，∴AB⊥PH.(9分)同理可证PH⊥BC.(10分)∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC②且AB∩BC＝B①，∴PH⊥平面ABC.(12分)[名师批注]①处易漏掉AP∩BP＝P，PC∩CH＝C和AB∩BC＝B的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密.虽然写清了①的条件，若没有写清楚②处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分.,若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的.[活学活用]如图，已知P A⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.[随堂即时演练]1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°3.如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．4.已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F 分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.2．3.2平面与平面垂直的判定二面角[导入新知]二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：α－AB－β，在α，β内，分别取点P、Q时，可记作P－AB－Q；当棱记为l时，可记作α－l－β或P－l－Q.(2)二面角的平面角：①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．②直二面角：平面角是直角的二面角．[化解疑难]对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.平面与平面垂直[导入新知]1．面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β.2．两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图．(3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.[化解疑难]对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”．(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握．面面垂直的判定[例1]如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.[证明]法一：(利用定义证明)∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a，∴SD＝22a，BD＝BC2＝22a.在Rt△ABD中，AD＝22a，在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，∴SA＝AB＝AC，∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．∵△SBC为直角三角形，∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，∴AD⊥平面SBC.又∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.[类题通法]证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．[活学活用]1.(2012·新课标全国高考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．二面角[例2] 已知D ，E 分别是正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D ＝2B 1E ＝B 1C 1.求过D ，E ，C 1的平面与棱柱的下底面A 1B 1C 1所成的二面角的大小．[解] 如图所示，在平面AA 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于点F ，则F 是平面DEC 1与平面A 1B 1C 1的公共点．于是C 1F 为这两个平面的交线．因而，所求二面角即为二面角D －C 1F －A 1. ∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D ＝2B 1E ， ∴E ，B 1分别为DF 和A 1F 的中点． ∵A 1B 1＝B 1C 1＝A 1C 1＝B 1F ， ∴FC 1⊥A 1C 1.又∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴CC 1⊥FC 1.又∵A 1C 1，CC 1为平面AA 1C 1C 内的两条相交直线， ∴FC 1⊥平面AA 1C 1C . ∵DC 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D －C 1F －A 1的平面角． 由已知A 1D ＝A 1C 1，则∠DC 1A 1＝45°. 故所求二面角的大小为45°. [类题通法]解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．[活学活用]2.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．线面、面面垂直的综合问题[例3]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．[证明](1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.则PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵BD∩PD＝D，且PD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC.则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°，即二面角P－BC－D是45°的二面角．[类题通法]本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．[活学活用]3.△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.7.线、面垂直的综合应用[典例](12分)如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，P A⊥PC.(1)求证：平面P AC⊥平面ABC；(2)求二面角D－AP－C的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．[解题流程](1)证面面垂直 (2)求二面角的正弦值 (3)求三棱锥的体积△ABC 是直角三角形且BC ⊥AC ，△PDB 是正三角形，D 为AB 的中点，PD ＝DB ＝10 对于(1)，由△ABC 是直角三角形以及△PDB 是正三角形，寻找线线垂直； 对于(2)，先找出二面角的平面角，再求值； 对于(3)，关键是由垂直找到三棱锥的高(1)证AP ⊥PB ―→AP ⊥平面PBC ―→AP ⊥BC ―→BC ⊥平面P AC ―→平面P AC ⊥平面ABC (2)证∠BPC 是二面角D －AP －C 的平面角―→BC ⊥PC ―→sin ∠BPC ＝BC PB(3)证DM 綊12P A ―→又由P A ⊥平面PBC ―→DM ⊥平面PBC ―→S △BCM ＝12S △PBC ―→V M －BCD ＝V D －BCM ―→得出结论[规范解答](1)证明：∵D 是AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB ＝20， ∴PD ＝12AB ＝10，∴AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴AP ⊥平面PBC .(2分) 又BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC .又AC ⊥BC ，AP ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC .又BC ⊂平面ABC ，∴平面P AC ⊥平面ABC .(4分) (2)∵P A ⊥PC ，且P A ⊥PB ，∴∠BPC 是二面角D －AP －C 的平面角． 由(1)知BC ⊥平面P AC ，则BC ⊥PC ， ∴sin ∠BPC ＝BC PB ＝25.(8分)(3)∵D 为AB 的中点，M 为PB 的中点，∴DM 綊12P A ，且DM ＝53，由(1)知P A ⊥平面PBC ， ∴DM ⊥平面PBC ， ∵S △BCM ＝12S △PBC ＝221，∴V M －BCD ＝V D －BCM ＝13×53×221＝107.(12分)[名师批注]解答(1)的过程中，若漏掉AP ⊥平面PBC ，BC ⊥平面P AC ，而直接得出线线垂直或面面垂直，依据就不够充分.若没有说明∠BPC 是二面角D －AP －C 的平面角，则解析不完整，要扣分，因此，在求二面角时，一定要说明哪个角是二面角的平面角若DM ⊥平面PBC 漏掉，即没有明确三棱锥的高，也是不严谨，在求解三棱锥体积时，要明确底面以及三棱锥的高灵活运用等体积转化法求解.[活学活用]在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．[随堂即时演练]1．在二面角α-l -β的棱l 上任选一点O ，若∠AOB 是二面角α-l -β的平面角，则必须具有的条件是( ) A ．AO ⊥BO ，AO ⊂α，BO ⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β3.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________________________．4．(2013·聊城高一检测)若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．5．在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD.2．3.3 & 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时直线与平面、平面与平面垂直的性质(新授课)直线与平面垂直的性质[导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b.(4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．[化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.平面与平面垂直的性质[导入新知]平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线．[化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．线面垂直性质定理的应用[例1] 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .[证明] 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF . ∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE .则GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .则四边形GF AB 为平行四边形．于是AF ∥BG . ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . [类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．1.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD.面面垂直的性质的应用[例2]如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.[证明](1)连接PG，由题知△P AD为正三角形，G是AD的中点，则PG⊥AD.又∵平面P AD⊥平面ABCD，PG⊂平面P AD，∴PG⊥平面ABCD.∵BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．则BG⊥AD.又∵AD∩PG＝G，且AD，PG⊂平面P AD.∴BG⊥平面P AD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又∵BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG，[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]2.如图所示，在三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC.求证：BC⊥AC.线线、线面、面面垂直的综合问题[例3]已知：如图，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[证明](1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC.∵P A⊂平面P AC，∴DF⊥P A.同理可证，DG⊥P A.∵DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB.∵P A∩PC＝P，∴AB⊥平面P AC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．[活学活用]3.(2012·平顶山高一检测)如图，在三棱锥P－ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面P AB；(2)若平面P AC⊥平面ABC，且P A＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.5.垂直性质定理应用的误区[典例]已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是()A．3B．2C．1 D．0[解析]如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案] C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则不重合的直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的序号是________．4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．5．如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.第二课时直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)1．直线与平面垂直的性质定理是什么？2．直线与平面垂直的性质定理有什么作用？3．平面与平面垂直的性质定理是什么？4．平面与平面垂直的性质定理有什么作用？线面、面面垂直的综合问题[例1]如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.[证明]如图，过点B作直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ.因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c.①因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c.②由①②可得c ⊥γ，又AB ⊥γ，所以AB ∥c . [类题通法]判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判定定理和性质定理，有时也可以放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)然后再判断它们的位置关系．[活学活用]1.如图所示：平面α，β，直线a ，且α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB . 求证：a ⊥β.求点到面的距离[例2] 已知△ABC ，AC ＝BC ＝1，AB ＝2，又已知S 是△ABC 所在平面外一点，SA ＝SB ＝2，SC ＝5，点P 是SC 的中点，求点P 到平面ABC 的距离．[解] 法一：如图所示，连接P A ，PB .易知△SAC ，△ACB 是直角三角形，所以SA⊥AC ，BC ⊥AC .取AB 、AC 的中点E 、F ，连接PF ，EF ，PE ，则EF ∥BC ，PF ∥SA . 所以EF ⊥AC ，PF ⊥AC .因为PF ∩EF ＝F ，所以AC ⊥平面PEF . 又PE ⊂平面PEF ，所以PE ⊥AC . 易证△SAC ≌△SBC .因为P 是SC 的中点， 所以P A ＝PB .而E 是AB 的中点，所以PE ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以PE ⊥平面ABC . 从而PE 的长就是点P 到平面ABC 的距离． 在Rt △AEP 中，AP ＝12SC ＝52，AE ＝12AB ＝22，所以PE ＝AP 2－AE 2＝54－12＝32， 即点P 到平面ABC 的距离为32. 法二：如图所示，过A 作AE ∥BC ，过B 作BF ∥AC ，交AE 于点D ，则四边形ACBD 为正方形．连接SD .因为AC ⊥SA ，AC ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ，所以AC ⊥平面SDA . 所以AC ⊥SD .又由题意，可知BC ⊥SB .因为BC ⊥BD ，SB ∩BD ＝B ，所以BC ⊥平面SDB ，所以BC ⊥SD . 又BC ∩AC ＝C ，于是SD ⊥平面ACBD . 所以SD 的长为点S 到平面ABC 的距离．在Rt △SDA 中易得SD ＝SA 2－AD 2＝22－12＝ 3. 因为P 为SC 的中点，故点P 到平面ABC 的距离为12SD ＝32.[类题通法]求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．[活学活用]2.如图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD ＝G .(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离．折叠问题[例3] 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是AB 的中点，沿DE 将△ADE折起．(1)如果二面角A －DE －C 是直二面角，求证：AB ＝AC ； (2)如果AB ＝AC ，求证：平面ADE ⊥平面BCDE . [证明] (1)过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则AM ⊥平面BCDE ， ∴AM ⊥BC .又AD ＝AE ，∴M 是DE 的中点．取BC 中点N ，连接MN ，AN ，则MN ⊥BC . 又AM ⊥BC ，AM ∩MN ＝M ，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又∵N是BC中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连接AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.[类题通法]解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．[活学活用]3．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD 折成直二面角．求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.[随堂即时演练]1．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点2．在三棱锥P—ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为()A．23B．27C．4 3 D．473．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3 m，4 m,1 m，则P与墙角B的距离为________ m.4．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A—A′BB′的体积V＝________.5．如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ.α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，求证：α∥β.点、直线、平面之间的位置关系。

1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.当堂练习：1．下面给出四个命题：①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若点N在直线a上，直线a又在平面内，则点N，直线a与平面之间的关系可记作（）A．N B．N C．N D．N3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A．0B．1C．1或4D．无法确定4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下面结论成立的是（）A．四点中必有三点共线B．四点中必有三点不共线C．AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D．直线AB与CD必相交5．空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A．①②③B．②③④C．③④D．②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n，则n的可能取值为（）A．1 B．1或3 C．1或2或3 D．1或48．如果那么下列关系成立的是（）A．B．C．D．9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（）A．两个公共点B．三个公共点C．四个公共点D．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（）A．1或3个B．1或4个C．1个、3个或4个D．1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1个B．1个或2个C．1个或3个D．3个13．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF GH=P，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上也不在直线BD上14．设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______．15．直线AB、AD，直线CB、CD，点E AB，点F BC，点G CD，点H DA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．18．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交．求证: 直线共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．参考答案：经典例题：证明：连接EF，QG，E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E，F，G，Q确定平面，F，G，E，P确定平面，由于都经过不共线的三点E，F，G，故重合，即E，F，G，P，Q五点共面，同理可证E，F，G，H，Q五点共面，故E，F，G，H，P，Q共面．当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.B;8.A;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.; 15. BD; 16.; 17. 2:1;18.证明：E，. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线．20.证明: 如图,设与分别交于A ,B ,C ,经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面.,同理B,则AB, 即因经过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面．21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B．故M为D1B与A1C的交点．。