第2课时组合的综合应用学习目标：1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题．(重点)2。
能解决无限制条件的组合问题。
3.掌握解决组合问题的常见的方法．（难点）教材整理组合的实际应用阅读教材P19~P21，完成下列问题．1．组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素．不同点：排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关．2．应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．（2）方法:选择利用直接法还是间接法解题．(3）计算:利用组合数公式结合两个计数原理计算．(4）结论：根据计算结果写出方案个数．1．把三张游园票分给10个人中的3人,分法有________种．【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C310＝错误!＝120（种）．【答案】1202．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有________种．【解析】甲选修2门，有C错误!＝6（种）不同方案．乙选修3门，有C错误!＝4(种)不同选修方案．丙选修3门，有C错误!＝4(种)不同选修方案．由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．【答案】963．从0，1，错误!,错误!，错误!，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝x tan α＋b的倾斜角和截距，可组成______条平行于x 轴的直线．【解析】要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0,截距在0以外的五个数字均可．故有C错误!＝5条满足条件．【答案】54．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．【解析】每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人,甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＝112种分配方案．【答案】112无限制条件的组合问题【例1】在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法?(1）任意选5人；(2）甲、乙、丙三人必须参加；（3）甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．【解】(1）从中任选5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．（2）甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人,是组合问题，共有C错误!＝36种不同的选法．(3）甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人，共有C错误!＝126种不同的选法．（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步:先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法;再从另外9人中选4人，有C错误!种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法1．弄清要做的这件事是什么事．2．选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．3．结合两个计数原理,利用组合数公式求出结果．1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C错误!＝错误!＝45。
2021 2021版高中数学第一章计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2第22021-2021版高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第2最新的中小学教学计划、试题和试卷第2课时组合的综合应用学习目标1能够运用组合知识解决与组合有关的简单实际问题。
2.它可以解决带约束的组合问题知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素不同，取出的m个元素也不同，即从n个不同的元素中取出m次而不放回去(2)组合的特性元素无序，即取出的m元素不注意顺序，对位置没有要求。
（3）同样的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．带约束的I型组合问题例1课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用带限制点组合问题的解（1）c13-c11=825（种）(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有c5c8＋c5c8＋c8＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选。
有C12=495（种）选举方法，第二类女队长没当选，有c4c7＋c4c7＋c4c7＋c4＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．在有限的思考和感知条件下，关于绘画（选择）有两种主要类型的问题：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉教学计划、试题、试卷、中小学1十三22314四23十四5五5最新的中小学教学计划、试题和试卷再取，分步计数；第二个是“最多”和“至少”问题。
通常有两种解决方案：一种是直接分类法，但要注意分类；第二，间接法，注意找对边，确保不重复和漏泄跟踪训练1某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有()a、 210种B、420种C、56种D和22种试验场地组合的应用题点有限制条件的组合问题答案a根据分类加法和计数的原则，两种餐食的匹配方法之和就是需求，所以每天不同的午餐有c4c7+c4c7=210种匹配方法类型二与几何有关的组合应用题例2如图所示，有六个点C1，C2，。
第1课时 组合与组合数公式1.理解组合的定义，正确相识组合与排列的区分与联系．2.理解排列数与组合数之间的联系，驾驭组合数公式，能运用组合数公式进行计算．3.会解决一些简洁的组合问题．,1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与依次无关，无序性是组合的特征性质． 2．组合数的概念、公式、性质组合数定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的全部不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法C mn组合数 公式 乘积式 C m n＝A mn A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！性质 C m n ＝C n －mn ，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n备注①n ，m ∈N *且m ≤n ；②规定：C 0n ＝1推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，全部组合的个数为C 23.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)C 35＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3n ＝8C 2n ，则n 的值为( )A．6 B．7C．8 D．9答案：A计算：(1)C37＝________；(2)C1820＝________．答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解推断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】(1)当取出3个数字后，假如变更3个数字的依次，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的支配依次有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样变更这3个数字的依次，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的支配依次无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无依次区分，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区分的，是排列问题．推断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按依次排列还是无序地组合在一起．区分有无依次的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中随意两个元素的位置，看是否会产生新的变更．若有新变更，即说明有依次，是排列问题；若无新变更，即说明无依次，是组合问题．推断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必需分完，有多少种安排方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参与一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的安排方法取决于从5人中选择哪4人，这和依次无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不须要排列他们的依次． 探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值． (1)3C 38－2C 25；(2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1.【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及详细数字的可以干脆用nn －mC mn －1＝nn －m·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应留意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简洁的组合问题现有10名老师，其中男老师6名，女老师4名． (1)现要从中选2名去参与会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男老师或2名女老师参与会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女老师各2名去参与会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名老师中选2名去参与会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45种．(2)可把问题分两类状况：第1类，选出的2名是男老师有C26种方法；第2类，选出的2名是女老师有C24种方法．依据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男老师中选2名的选法有C26种，从4名女老师中选2名的选法有C24种，依据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名老师参与会议，至少有1名男老师的选法是多少？最多有1名男老师的选法又是多少？解：至少有1名男老师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男老师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简洁的组合应用题的策略(1)解简洁的组合应用题时，首先要推断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区分在于排列问题与取出元素之间的依次有关，而组合问题与取出元素的依次无关．(2)要留意两个基本原理的运用，即分类与分步的敏捷运用．[留意] 在分类和分步时，肯定留意有无重复或遗漏．某次足球竞赛共12支球队参与，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环竞赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组其次名，乙组第一名与甲组其次名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参与决赛一场，决出输赢．问全部赛程共需竞赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环竞赛，就是每组6支球队的任两支球队都要竞赛一次，所以小组赛共要竞赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组其次名，乙组第一名与甲组其次名主客场各赛一场，所以半决赛共要竞赛2A22＝4(场)．决赛只需竞赛1场，即可决出输赢．所以全部赛程共需竞赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( ) ①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球竞赛的分组状况； ③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法． A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：选 C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队竞赛一次，并不须要考虑谁先谁后，没有依次的区分，故②是组合问题；③④中两位数依次不同数字不同为排列问题．2．若C n12＝C 2n －312，则n 等于( ) A ．3B ．5C ．3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.学问结构深化拓展1.排列与组合的相同点与不同点2.组合数的两特性质及其关注点 性质1：C mn ＝C n －mn .它反映了组合数的对称性．若m >n2，通常不干脆计算C mn ，而改为计算C n －mn ，这样可以削减计算量.性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .特点是左端下标为n ＋1，右端下标都为n ，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1.要留意性质C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n 的顺用、逆用、变形用.顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式C m －1n ＝C mn ＋1－C mn 的运用，为某些项相互抵消供应了便利，在解题中要留意敏捷运用.名称 排列组合 相同点都是从n 个不同元素中取m (m ≤n )个元素，元素无重复 不同点1.排列与依次有关；2．两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列依次完全相同1.组合与依次无关； 2．两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同, [A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A．72种B．84种C．120种D．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C310＝120(种)．2．方程C x28＝C3x－828的解为( )A．4或9 B．4C．9 D．5解析：选A.当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.3．将2名女老师，4名男老师分成2个小组，分别支配到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女老师和2名男老师组成，则不同的支配方案共有( )A．24种B．12种C．10种D．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C12＝2种选法；其次步，为甲地选2名男老师，有C24＝6种选法；第三步，剩下的3名老师到乙地，故不同的支配方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C9798＋2C9698＋C9598等于( )A．C9799B．C97100C．C9899D．C98100解析：选B.由组合数的性质知，C9798＋2C9698＋C9598＝(C9798＋C9698)＋(C9698＋C9598)＝C9799＋C9699＝C97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人解析：选A.设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A.6．若A3n＝6C4n，则n的值为________．解析：由题意知n(n－1)(n－2)＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参与甲、乙、丙三个会议，甲需2人参与，乙、丙各需1人参与，从10人中选派4人参与这三个会议，不同的支配方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人详细支配会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C mn ＝34，Cm n Cm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．推断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与依次无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小依次已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后依次，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x.解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3，所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3，经检验知，x ＝4是原方程的解．(2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）. 由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12.因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 实力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m 10(m ∈N *)的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8， 所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010.当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910，故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( )A ．35种B ．70种C ．30种D ．65种 解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种状况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种状况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56. (2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参与，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最终决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场竞赛？解：可分为如下几类竞赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，依据赛制规则，16强分成8组，每组两个队竞赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，依据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队竞赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队竞赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强竞赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队竞赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场竞赛．。
