组合数学第一章习题解答

第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{{1,6},{2,7},{3,8},…,3,8},…,3,8},…,{45,50} {45,50} ) (b) 45´5+(4+3+2+1) = 235 ( 1®2~6, 2®3~7, 3®4~8, …,45®46~50, 46®47~50, 47®48~50, 48®49~50, 49®50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20! 5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2´5´P(8,2)+3´4´P(8,2). 6. (n+1)!-1 7. 用数学归纳法易证。

用数学归纳法易证。

8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m 5n ,个数为41´31. 9. 设有素数因子分解设有素数因子分解 n=p 1n 11p 2 n 22…p k nk k , 则n 2的除数个数为的除数个数为( 2n 1+1) (2n 2+1)…(…(2n 2n k +1). 10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

验证等式成立。

1.35凸10 边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10 边形的对角线交于多少个点？解：根据题意,每4 个点可得到两条对角线,1 个对角线交点,从10 个顶点任取4 个的方案有C(10,4)中,即交于210 个点。

1.36试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。

证：设,p1、p2、…、p l是l个不同的素数，每个能整除尽数n的正整数都可以选取每个素数p i从0到a i次，即每个素数有a i+1种选择，所以能整除n的正整数数目为(a1+1)·(a2+1)·…·(a l+1)个。

而,能被(2a1+1)·(2a2+1)·…·(2a l+1)个数整除，2a i+1为奇数(0≤i≤l)，所以乘积为奇数。

证毕。

1.37给出的组合意义.解：如图：可看作是格路问题：左边第i项为从点C到点(-1,i)直接经过(0,i)的路径,再到点B的所有路径数。

左边所有项的和就是从点C到B的所有路径数即为右边的意义。

1.38给出的组合意义。

解：C(n+1,r+1)是指从n+1个元素a1, a2,…,a n+1中任取r+1个进行组合的方案数。

左边：若一定要选a n+1,则方案数为C(n,r).若不选a n+1,一定要选a n,则方案数为C(n-1,r).若不选a n+1,a n,…a r+2,则方案数为C(r,r). 所有这些可能性相加就得到了总方案数。

1.39证明:证：组合意义,右边：m个球,从中取n个,放入两个盒子,n个球中每个球都有两种放法,得到可能的方案数。

左边：第i项的意义是一个盒子中放i个,另一个盒子放n-i个,所有的方案数相加应该等于右边。

证毕。

1.40 从n个人中选r个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？解：圆排列:共有P(n,r)/r种不同的方案。

1.43对于给定的正整数n,证明当时，C(n,k)是最大值。

证：取C(n,k)和C(n,k-1)进行比较。

组合数学引论第一章习题解答3. 任意一个整数除以n的余数最多只可能有n种情况：0，1，2…n-1. 所以n+1个整数除以n，必有至少两个数的余数相同，那么它们的差是n的倍数。

4.令b1，b2，…，b77分别为这11周期间他每天下棋的次数，并作部分和a1=b1，a2=b1+b2，…，a77=b1+b2+ … +b77.依题意，b i≥1 (1 ≤ i < j ≤77)，b i+b i+1+ … +b i+6 ≤ 12 (1 ≤ I ≤71)，故有 1 ≤ a1 < a2 < … < a77≤ 12∙11= 132，当1 ≤ k ≤ 21时，考虑数列a1，a2，…，a77；a1+k，a2+k，…，a77+k，它们都在1与132+k之间，共有154项。

由鸽巢原理，必有两项相等。

由于a1，a2，…，a77这77项互不相等，a1+k，a2+k，…，a77+k这77项也互不相等，所以一定存在1 ≤ i < j ≤77，使得a j = a i + 21.故而k= a j - a i .而选手不一定能在连续的一些天里下22盘。

类似如上证明，我们可以构造出a1，a2，…，a77；a1+k，a2+k，…，a77+k这154项均不相等的情形。

但同时，如果该棋手每天下一盘，则可轻易看出是可能的。

6. 首先，运用抽屉原理将整数1至200按照1*2n，3*2n，5*2n，…，197，199的形式分成100个抽屉，从1到200中任取100个，其中有一数a小于16，假设没有两个构成整除关系，首先按抽屉原理，这100个数必须为每个抽屉中仅取且必取1个数，否则假设不成立，其次，1、当a为小于16的奇数时（比如15），显然有数与其构成整数关系（比如抽屉15*11=165）结论成立2、当此数为1*2n时，显然n≤3,考虑抽屉3*2n1，9*2n2，27*2n3，81*2n4，显然若不存在整除关系，则n4 < n3 < n2 < n1 < 3，即四个数只能在0、1、2三个数中选择，此时产生矛盾，必存在两数整除关系;3、更一般的，当此数为非2的幂的偶数时，可写成b*2n，b为奇数，且1<b≤7，n≤2，考虑抽屉3b*2n1,9b*2n2,27b*2n3(因b≤7,27b<200), n3<n2<n1<2，即三个数只能在0、1两个数中选择，此时产生矛盾，综上，假设不成立，必存在两数整除关系。

组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。

卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。

在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。

第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。

习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。

答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

综上所述，B=C。

1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。

（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。

答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。

（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。

习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。

（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。

第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。

习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。

2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。

答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。

第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 48→49~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2).6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m 5n ,个数为41⨯31. 9. 设有素数因子分解 n=p 1n 11p 2 n 22…p k n k k , 则n 2的除数个数为( 2n 1+1) (2n 2+1) …(2n k +1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(1010-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kk nx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk k n n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

1第一章 排列组合1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。

2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。

（2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。

（或：()()4142*2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。

（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。

所以满足条件的串共48个。

3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。

如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。

求n 和m 。

解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。

以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。

因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。

因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。

习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。

2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。

十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。

百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。

又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。

十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。

第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。

满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。

满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。

（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。

将女生插入，有5!种方案。

故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。

组合数学初步课后答案 第一章排列与组合1．下列各数有多少个不同的正因子？ （1）32435711;⨯⨯⨯ ()2620.解：设其任一正因子为321435711k k k k ⨯⨯⨯则k1可取0.1.2.3.4 K2可取0.1.2.3 K3可取0.1.2 K4可取0.1则其正因子个数为N= 54321⨯⨯⨯⨯=120个 (2)620= 22531⨯⨯设其任一正因子为3212531k k k ⨯⨯k1可取0.1.2. K2可取0.1. K3可取0.1.则其正因子个数为N= 322⨯⨯=12个2． 一教室有两排，每排有8个座位，今有14名学生，5人总在前排，4人总在后排。

问学生入座方式有多少种？解：前排有5人共58A 种坐法 后排有4人共48A 种坐法 还剩下14-5-4=5人在剩余的座位16-5-4=7中任选座位57A 种坐法 故总共有N=58A 48A 57A =8449792⨯1010种坐法3. 6位男孩与6位女孩围圆桌就做，如果男孩与女孩交替就做，有多少种个入座方式？解：6位女孩先入座，则有（6-1）！=5！种，6位男孩后入座，则有66A =6！种 由乘法原理。

共有5！6！座法。

4. 给定空间25个点，任意4点不共面，它们可以确定多少个三角形？多少个四面体？解：（1）任意三点确定一个三角形，则共有325C =2300个三角形（2）任意不共面的四点可以确定一个四面体，则共可确定425C =12650个四面体5. 在有15个队参加的足球锦标赛中，前三名授予金杯、银杯、铜牌，而最后三个队被降级。

只要分别获得金、银、铜杯与降级的足球队是一样的，就认为比赛结果相同，问这次锦标赛有多少种不同的结果？ 解：法一：N=315A `312C法二：此问题等价于从15个人中选取6个人，再从6人中选3个排在1、2、3位，其余3人放入3个位子（不分次序）N=63156C C 33A 或615C 36A6 . 某人从他的住所步行L16条街段到大楼W 上班（见图1-2）。

习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？ 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。

2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。

十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。

百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。

又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。

十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。

1.1 题（宗传玉）从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a-b|=1时，两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）……（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题（王星）解：（a）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！，（b）用x表示男生，y表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺，Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数：C（8，5）×7！×5！（c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A，B之间存在0个男生，A，B之间共有3个人，所有的排列应为P6=C(5,3)*3!*8!*21．若A，B之间存在1个男生，A，B之间共有4个人，所有的排列应为P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22．若A，B之间存在2个男生，A，B之间共有5个人，所有的排列应为P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23．2．若A，B之间存在3个男生，A，B之间共有6个人，所有的排列应为P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24．若A，B之间存在4个男生，A，B之间共有7个人，所有的排列应为P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25．若A，B之间存在5个男生，A，B之间共有8个人，所有的排列应为P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。

１.１ 从{}5021，，，⋅⋅⋅中找两个数{}b a ,，使其满足 （1） 5||=-b a ；（2）5||≤-b a解：（1）根据5||=-b a 可得 55-=-=-b a b a 或则有种种4545 共有90种。

（2）根据5||≤-b a 得 )50,,2,1(,55{⋅⋅⋅∈+≤≤-b a b a b则：当5≤b 时，有 1=b ， 61≤≤a ， 则有 6种 2=b ， 71≤≤a ， 则有7种 3=b ， 81≤≤a ， 则有8种 4=b ， 91≤≤a ， 则有 9种5=b ， 101≤≤a ， 则有10种当455≤<b 时，有 6=b ， 111≤≤a ， 则有 11种7=b ， 122≤≤a ， 则有 11种. . . . . . . . .45=b ， 5040≤≤a ， 则有11种当5045≤<b 时，有 46=b ， 5041≤≤a ， 则有 10种 47=b ， 5042≤≤a ， 则有 9种48=b ， 5043≤≤a ， 则有 8种49=b ， 5044≤≤a ， 则有 7种50=b ， 5045≤≤a ， 则有 6种故：共 种520)678910(21140=+++++⨯1.2 （1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进行排列，总方案数为5！×8！（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间的8个空位种的任意5个，总方案数为7！×58P（3）应该是A 女生x 女生y 女生z B,或是B 女生x 女生y 女生z A 的形式，从5个女生中选出3人进行排列，方案为35P ，考虑A,B 可以换位，方案为2×35P ，然后把这个看成一个整体，和剩下的2个女生，5个男生，一共7个人进行排列，总方案数2×35P ×8！1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m,n 都是正整数,若（a ）男生不相邻（m ≤n+1）； （b ）n 个女生形成一个整体； （c ）男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。