对数函数及其性质课件ppt

(2019·厦门检测)若函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在 [0，1]上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值等于________． 解析：当 0<a<1 时，因为 y＝ax 在[0，1]上为减函数，y＝loga(x ＋1)在[0，1]上也是减函数， 所以 f(x)在[0，1]上为减函数， 所以 f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是 1＋a＋loga2 ＝a，
的性质
02 新知探究
对数值的大小比较
比较下列各组中两个值的大小． (1)ln 0.3，ln 2； (2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且 a≠1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3π，logπ3.
【解】 (1)因为函数 y＝ln x 是增函数，且 0.3＜2， 所以 ln 0.3＜ln 2. (2)当 a＞1 时，函数 y＝logax 在(0，＋∞)上是增函数，又 3.1＜ 5.2，所以 loga3.1＜loga5.2； 当 0＜a＜1 时，函数 y＝logax 在(0，＋∞)上是减函数，又 3.1 ＜5.2，所以 loga3.1＞loga5.2.
2
所以 x∈(－1，0]时，y＝log1(1－x2)是减函数； 2
同理当 x∈[0，1)时，y＝log1(1－x2)是增函数． 2
故函数 y＝log1(1－x2)的单调增区间为[0，1)，且函数的最小值 2
ymin＝log12(1－02)＝0.
(1)求形如 y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定要树立定义域优 先意识，即由 f(x)＞0，先求定义域． (2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求证；②借 助函数的性质，研究函数 t＝f(x)和 y＝logat 在定义域上的单调 性，从而判定 y＝logaf(x)的单调性．

(1)lg 6，lg 8；
(2)log0.56，log0.54；
(3)log 13 2 与 log 15 2;
(4)log23 与 log54.
解：(1)因为函数 y＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且 6＜8，
所以 lg 6＜lg 8.
(2)因为函数 y＝log0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且 6＞4，
性质？
2. 反函数的概念是什么？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
知识清单
1．对数函数的图象及性质
a 的范围
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1
a＞1
图 象
a 的范围
(0，＋∞)
定义域
性
值域
R
(1,0) ，即 x＝ 1 时，y＝ 0
质 定点
单调性 在(0，＋∞)上是 减函数 在(0，＋∞)上是 增函数
5
2
5
10
解题方法（对数函数图象的变化规律）
1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x
轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向
越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各
图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.
人教A版必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.4.2 对数函数的图像和性质
课程目标
1、掌握对数函数的图象和性质,培养学生实际应用函
数的能力；
2、通过观察图象,分析、归纳、总结对数函数的性质；
3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并
养成勇于探索的良好习惯.

2

3

返回
学点三 对数函数的图像 已知a＞ 且 的图像只能是（ 已知 ＞0且a≠1，函数 ，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ） 的图像只能是 【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底 分析】应先由函数定义域判断图像的位置， 进行讨论， 数a进行讨论，最后选出正确选项 进行讨论 最后选出正确选项. 【解析】解法一:首先 曲线 首先,曲线 解析】解法一 首先 曲线y=ax 只可能在上半平面,y=loga(-x)只 只可能在上半平面 只 可能在左半平面上,从而排除 从而排除A,C. 可能在左半平面上 从而排除 其次,从单调性着眼 其次 从单调性着眼,y=ax与 从单调性着眼 y=loga(-x)的增减性正好相反 又 的增减性正好相反,又 的增减性正好相反 可排除D. 可排除 故应选B. 故应选
单调性
当0<x<1时，y∈(0,+∞) 时 ∈ 函数值的 当 x=1 时，y=0; 变化规律 当 x>1 时, y<0.
当x=1时， y=0 ; 时 当x>1时， y>0 . 时
返回
学点一 比较大小 比较大小： 比较大小：
4 6 log 1 ，log 1 ； （1） ） 2 5 2 7
2） （2） 1 3, log 1 5 ; log
） （2） y = log 2 2 ） . - x + 2x + 2 (1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 ∵ 又 在 上是增 函数, 函数
(x2-4x+6);
∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). 函数的值域是［ (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 + 2x + 2 <0或 - x 2 + 2x + 2 ≥ 1 . 或 1 3 1 ≥ log 2 ∴ 2 log - x + 2x + 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 ,+∞ ,

2
.
（2）要使函数有意义，必须且满足

2x+3>0 x-1>0 3x-1>0

解得
3x-1 0

x>

3 2
x>11 x>
3
2 3
x
因此，函数的定义域为 (1,+∞) .
学点三
求下列函数的值域： （1）y log （2）
y log
1 2 2
求值域
(-x
- 4x 12);
1 2
(x - 2x - 3);
又∵x2-2x-3>0,且y=log 1 x在(0,+∞)上是减函数,
∴y∈R,
2
∴函数的值域为实数集R.
求值域： （1）y=log2 (x2-4x+6); （2） y
log 1
2
-x
2
2x 2
.
(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 函数, ∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,
5
1 3
0 . 3, log
2
0 .8 .
【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.
【解析】（1）∵函数y=
log
6 7
1 2
x
在(0,+∞)上Байду номын сангаас减，又∵
log 4
1 2
4 5
,
∴
5
log
6

例 求下列函数定义域
(3) f x lg x2 2x 9 x2 解：
(3)
令
x2 2x 0 9 x2 0
则
x 0或x 2 3 x 3
，
对数函数的图像与性质【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册PP T课件
所以定义域为3,0 2,3
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(1,0)
O
x
f(x)=logax (0<a<1)
(1) 定义域：(0,+∞)，
(2) 值域：R，无最值
(3) 过点(1,0)，即x=1时，y=0
(4) 在(0,+∞)上是增函数
性质 (5) 非奇非偶
(4) 在(0,+∞)上是减函数
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y
分析：构造两个函数 y log0.5 x，y log2 x
c b
解题技巧
O
对数函数单调性应用——
a
数形结合、找中间值0或1等.
6.7
4.3 5.6
x
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例6
设
loga
2 3
1
，则a的取值范围是A(
).
A.
0,
2 3
1,
B.
2 3
,1
C.
2 3
,
D.
0,
2 3
2 3
,
解：loga
2 3

注: 例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况 对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
练习1:
比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 ⑵ log0.56 ＜ log108 log0.54 ＜ ⑶ log0.10.5 ＞ log0.10.6 ⑷ log1.51.6 ＞ log1.51.4
y log 1 x
y log 1 x
2
x
3
对数函数的图象与性质：
函数 底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) a＞1
y 1
0＜a＜1
图象 定义域
o
1
x
o
x
(0,+∞)
(0,+∞)
值域 定点
值分布
R (1,0)
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
R (1,0)
⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 且1.8<2.7,所以log 0.31.8＞log 0.32.7.
小结:对于同底不同真数的对数大小比较，应利 用对数函数的单调性判断大小。
⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a＞0 , a≠1 )
解:①当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1＜log a5.9; ②当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1＞log a5.9.
例2.比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a＞0,a≠1 ).

a>1
时，f(x)＝loga
x＋1 x－1
的单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间；当 0<a<1 时，f(x)
＝loga xx＋－11的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递减区间.
课堂练习 【训练 1】若 a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
课堂总结
对数型函数 y＝logaf(x)性质的研究
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
常见题型：解对数不等式 【典例】若－1<loga34<1(a>0 且 a≠1)，求实数 a 的取值范
围. 【解析】∵－1<loga34<1，∴loga1a<loga34<logaa.
当 a>1 时，0<1a<34<a，则 a>43；当 0<a<1 时，1a>34>a>0，

图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸 值 域 : R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是：减函数
2.思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a 的取值变化图象如何变化？有规律吗？
猜猜: 对数函数 y log 3 x和y log 1 x 的图象。
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(0,+∞)
非奇非偶函数
非奇非偶函数
R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0
当 x＞1 时，y＜0
当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
名称
指数函数
对数函数
指 数
xR
(3).y
log 3
x 1 3x 1
解：x 1 0 ( x 1)(3x 1) 0 3x 1
x 1或x 1 x {x | x 1或x 1}
3
3
小结
（1）本节要求掌握对数函数的概念、 图象和性质． （2）在理解对数函数的定义的基础 上，掌握对数函数的图象和性质的 应用是本小节的重点．
底
数
数
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题：如

[答案] A [解析] ∵函数y＝logax的图象一直上升， ∴函数y＝logax为单调增函数，∴a＞1，故选A.
3．下列函数中是对数函数的是 ( A．y＝log1 x
4 4
)
B．y＝log1 (x＋1) D．y＝log1 x＋1
4
C．y＝2· log1 x
4
[答案] A
[解析] 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，
[规律总结] 对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1. (2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x， 底数a必须是大于0且不等于1的常数．
跟踪练习
指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5 x；④y＝log3 x；⑤y
预习自测
1.下列函数是对数函数的是 ( A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0，且 a≠1) C．y＝logax2(a＞0，且 a≠1) D．y＝lnx )
[答案] D
[解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是
否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
2． 函数 y＝logax 的图象如图所示， 则实数 a 的可能取值为 ( ) A．5 1 B.5 1 C.e 1 D．2
2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表 所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
a＞ 1
0＜a＜1
，＋∞) 定义域：(0 ______ R 值域：______
性质
(1,0) ，即当 x＝1 时，y＝0 图象过定点______ 增函数 在(0，＋∞)上是______ 减函数 在(0，＋∞)上是______

对数函数图像特征及性质
2.本节课用到哪些数学思想方法
（1）数形结合：由解析式到图象(由数到形，以形读数）
图象到性质（由形到数，以数观形)
（2）分类整合：底数的两个范围对函数性质的影响
（3）类比思想：通过研究指数函数方法类比得出
对数函数的性质
六、作业布置
1.函数y = log2x, y=log5x, y = lgx的图象如图所示,
a
二、新知探究
（二）探究对数函数的性质
4.视察底数a的变化对数函数的影响，总结一般特征
（1）请同学们视察这些函数图像的位置、公共点、
变化趋势，它们有哪些共性？有哪些不同？
共同点：1. 这些函数图像都在由右侧,并且都过(1,0）.
2.这些函数定义域均为(0, +∞)、值域均为R.
差异点：1.当a>1时，图像从左至右逐步上升,并且
而1.8 < 2.7，∴0.3 1.8 > 0.3 2.7.
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;
(2)log0.31.8，log0.32.7;
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
(4)log3.55，log4.55．
解：(3)∵ =
∴当 > 1时， = 在定义域上单调递增
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 < 5.9 .
当0 < < 1时， = 在定义域上单调递减
而5.1 < 5.9,∴ 5.1 > 5.9 .
三、例题精讲
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5;

a＞1 图
0＜a＜1
象
定义域 : ( 0,+∞)
值域:
R
性
过定点 (1 ,0)
即当x =1时,y=0
在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数
质
当x>1时， 当x=1时，
y>0 y=0
当x>1时， y<0 当x=1时， y=0
当0<x<1时， y<精0选ppt课件202当1 0<x<1时， y>0
精选ppt课件2021
15
精选ppt课件2021
16
对数函数及其图像与性质
精选ppt课件2021
李正杭
1
导入新课，展示目标
一、理解对数函数的概念，会画对数函数图像。
二、依据对数函数图像总结对数函数性质。
三、会用对数函数解决生活中实际问题。
精选ppt课件2021发现震惊世界。专家发掘西汉辛追遗 尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有 弹性，关节还可以活动，骨质比现在六 十岁的正常人还好，是世界上发现的首 例历史悠久的湿尸。在长沙马王堆“沉 睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追， 日前奇迹般地“复活”了。在此人们最 关注有两个问题， 第一：怎么鉴定尸体的年份？ 第二：是什么环境使尸体未腐？其中第 一个问题就与这节课内容相关。
A y lg x B y log1 x C y ln x D y log2 x
习
2
2．作出下列函数的图像并判断它们在 (0,) 内的单调性．
(1) y log3 x ；
(2) y log1 x ．
3
精选ppt课件2021
13
情感升华
知识

提示：利用画图找点比上下的方法 在同一坐标内画出函数 y= log3x和y= log4x的图象
知识探究
探究1:设点P(m，n)为对数函数 y loga x 图象上任意一点，则 n loga m ，从而
有 m a n .由此可知点Q（n，m）在哪个
函数的图象上？
y ax
探究2:对数函数 y loga x 的图象与指数
练一练
例1：比较以下各组中，两个值的大小： log23与 log28.5
解法1：画图找点比上下 解法2：利用对数函数的单调性
y
log28.5
y log2 x
考察函数y=log 2 x , ∵a=2 > 1,
log23
01 3
8.5 x
∴ y=log 2 x在〔0，+∞〕 上是增函数；
∵3<8.5
log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log 2 0.8 log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
3
3
log1.5 6 ＜ log1.5 8
log1.5 m ＜ log1.5 n 则 m ＜ n
•例2：比较以下各组中，两个值的大小： • loga5.1与 loga5.9
∴ log23< log28.5
∴ log23< log28.5
比较两个同底对数值的大小时:
小 １.观察底数是大于1还是小于1〔 a>1时为增函数
〔 0<a<1时为减函数〕
结 ２.比较真数值的大小；
３.根据单调性得出结果。
你能口答吗？ 变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n