2017-2018学年文数一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.）1.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．x y x e =+ B ．1y x x =+C ．122xx y =+ D．y =2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．1,xy y x==B．11,y x y=+=．,yx y ==D ．2,y x y ==3.已知函数()()log 32a x f x x -=-，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．(),3-∞B ．()(],22,3-∞C ．()(),22,3-∞D ．()3,+∞4.已知函数()20,1,01,0x f x x x ππ>⎧⎪==⎨⎪+<⎩，则()()()1f f f -的值等于（ ）A ．21π-B ．21π+ C ．π D ．05.已知定义在R 内的奇函数()f x ，满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则（ ）A ．()()()251180f f f -<<B ．()()()801125f f f <<-C ．()()()118025f f f <<-D ．()()()258011f f f -<<6.已知函数()21f x ax bx =++是定义在区间22,3a a ⎡⎤--⎣⎦上的偶函数，那么a b +的值是（ ）A ．3B ．-1C ．-1或3D ．1 7.已知函数()[)21,8,41x f x x x +=∈---，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75 C ．()f x 有最大值75，无最小值 D ．()f x 有最大值2，最小值758.设函数()f x 是奇函数，对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y+=+，且当0x >时，()0f x <，则()f x 在区间[],a b 上（ ）A ．有最小值()f aB ．有最大值()f aC ．有最大值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭ D ．有最小值2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭9.若函数()11x mf x e =+-（其中e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2 10.已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()2015f =（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．9811.若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 内的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．[)4,8C ．()4,8D ．()1,8 12.具有性质：()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①1y x x =-；②1y x x =+；③,10,11,1x x y x x x⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪->⎩其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设(){}()min 2,2,100x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为_______________．14.已知函数()y f x =是定义在区间()2,2-内的增函数，若()()112f m f m -<-，则实数m 的取值范围是____________． 15.已知函数()2sin 21xf x x =++，则()()()()()21012f f f f f -+-+++=____________．16.设()f x 是定义在R 内，且周期为2 的函数，在区间[]1,1-上，()1,102,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪=+⎨≤≤⎪+⎩，其中,a b R ∈．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分） 设:p 函数()2f x x m=-在区间()1,+∞内是减函数；12:,q x x 是方程220x ax --=的两个实根，且不等式21253m m x x +-≥-对任意的实数[]1,1a ∈-恒成立．若p q ⌝∧为真，试求实数m 的取值范围． 18.（本小题满分12分）设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，求实数a 的值． 19.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 内的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-+．（1）求函数()f x 在R 内的解析式；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围． 20.（本小题满分12分）设函数()f x 的定义域[]1,1-上是奇函数，当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成立，求θ的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若[],1,1,0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n+>+成立．（1）证明：函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数；（2）解不等式()()21330f x f x -+-<；（3）若不等式()221f x t at ≤-+对[][]1,1,1,1x a ∀∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围． 22.（本小题满分12分）已知函数()f x 定义在区间()1,1-内，对于任意的(),1,1x y ∈-，有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，且当0x <时，()0f x >．（1）验证函数()1ln1xf x x-=+是否满足这些条件； （2）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明； （3）若112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求方程()102f x +=的解．参考答案一、选择题二、填空题 13. 6 14. 12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ 15. 5 16. -10 三、解答题 17.解：由于()2f x x m=-的单调递减区间是(),m -∞和(),m +∞， 而()f x 又在区间()1,+∞内是减函数，所以1m ≤，即:1p m ≤．对于12:3q x x -==≤，则2533m m +-≥，即2560m m +-≥， 解得1m ≥或6m ≤-． 若p q ⌝∧为真， 则p 假q 真，所以116m m m >⎧⎨≥≤-⎩或，解得1m >．因此实数m 的取值范围是()1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分此时()f t 在区间1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()2max 111214f t f a a ⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以15a =-（舍）或13a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ②当1a >时，[]11,1,,xx t a a a⎡⎤∈-=∈⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分此时()f t 在区间1,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()()21214max f t f a a ==+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以5a =-（舍）或3a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 综上所述，13a =或3a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）设0x <，则0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+-=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又函数()f x 为奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以0x <时，()22f x x x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分所以()()()()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）根据（1）作出函数()f x 的图象，如下图所示：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增， 结合函数()f x 的图象，知2121a a ->-⎧⎨-≤⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以13a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）依题意可知，()()f x f x -=-． 设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩， 所以()()max 13f x f ==． 因为()22cos sin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ∀∈-都成立．即()2max 2cossin 13a f x θθ-+≥=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ∀∈-恒成立．所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ⎧-+≥⎨++≥⎩，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ⎧+≤⎨-≤⎩， 所以sin 0θ=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 即()k k Z θπ=∈．所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）任取1211x x -≤<≤， 则()()()()1212f x f x f x f x -=+-()()()121212f x f x x x x x +-=--，∵ 1211x x -≤<≤， ∴()120x x +-≠， 又∵()()1212120,0f x f x x x x x +->-<-，∴()()120f x f x -<，即函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分（2）∵函数()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且在区间[]1,1-上是增函数，则不等式可转化为()()2133f x f x -<-，根据题意，则有221331111331x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得41,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．即不等式的解集为4|13x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭． （3）由（1）知，()f x 在区间[]1,1-上是增函数， ∴()f x 在区间[]1,1-上的最大值为()11f =，要使()221f x t at ≤-+对[]1,1x ∀∈-，[]1,1a ∈-恒成立，只要2211t at -+≥，即220t at -≥恒成立． 设()22g a t at =-，对[]()1,1,0a g a ∀∈-≥恒成立，则有()()22120120g t t g t t ⎧-=+≥⎪⎨=-≥⎪⎩即0220t t t t ≥≤-⎧⎨≥≤⎩或或， ∴220t t t ≥≤-=或或． 即实数t 的取值范围为(][){},22,0-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）∵101xx->+，∴11x -<<， 即定义域为()1,1-． 又()()111lnln 111x y x y xyf x f y x y x y xy----++==+++++，111ln ln 1111x yx y xy x y xy f x y xy xy x y xy+-⎛⎫++--+== ⎪+++++⎝⎭++， ∴()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++=⎪+⎝⎭成立， 且0x <时，110x x ->+>，即111x x ->+，∴1ln 01xx->+． 即()0f x >，符合条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）令0x y ==，则()00f =， 令y x =-，则()()0f x f x +-=，∴()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数． 任取()12,1,1x x ∈-，且 12x x <，则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭．∵1211x x -<<<，∴12120,11x x x x -<-<<． ∴121201x x x x -<-，则121201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭， 即()()12f x f x >．∴()f x 在区间()1,1-内是减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）∵()f x 为奇函数， ∴112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()()()2221x f x f x f x f x ⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭， 且()102f x +=， ∴()210f x +=，()21f x =-． ∴22112x f f x ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭． ∵()f x 在区间()1,1-内是单调函数，∴22112x x =+．即22x x ==．故方程的解为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
