2015海淀区高三(上)期中数学(文)

2014-2015学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）2．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=（）A．10 B．13 C．20 D．254．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）设a=（），b=log2，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）设a，b∈R，则“ab＞0，且a＞b”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．C（0，1）D．（0，）8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g （n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数z=，则|z|=．10．（5分）已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是．11．（5分）（x+sinx）dx=．12．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过h后池水中药品的浓度达到最大．13．（5分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC．若=m+n （m，n∈R），则m﹣n=．14．（5分）已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，x0∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=；A=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调递增区间．16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．17．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．18．（14分）已知函数f（x）=2alnx﹣x2+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（2）求证：（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n（n≥2）；﹣1（3）判断数列{a n}是否为等差数列，并说明理由．20．（14分）设函数f（x）=，L为曲线C：y=f（x）在点（﹣1，）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜﹣时，证明：除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=﹣3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．2014-2015学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（1，2]D．[﹣1，1）【解答】解：由题意得，集合A={x∈R|x＞1}，B={x∈R|﹣1≤x≤2}，则A∩B={x∈R|1＜x≤2}=（1，2]，故选：C．2．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选：D．3．（5分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=（）A．10 B．13 C．20 D．25【解答】解：由等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，∴a3+a5=a1q2+a3q2=q2（a1+a3）=20，故选：C．4．（5分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B．5．（5分）设a=（），b=log2，c=log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜a=（）＜1，b=log2＜0，c=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．6．（5分）设a，b∈R，则“ab＞0，且a＞b”是“＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a＞b，ab＞0，∴＞，∴＞，即＜；是充分条件，若＜，则﹣＜0，∴＜0，∴或，不是必要条件，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．C（0，1）D．（0，）【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故选：D．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，在同一个坐标系中，a n=f（n）及S n=g （n）的部分图象如图所示，则（）A．当n=4时，S n取得最大值B．当n=3时，S n取得最大值C．当n=4时，S n取得最小值D．当n=3时，S n取得最大值【解答】解：由图象可知可能：①a7=0.7，S7=﹣0.8，a8=﹣0.4，由a7=0.7，a8=﹣0.4，可得d=﹣1.1，a1=7.3．∴S7=＞0，与S7=﹣0.8，矛盾，舍去．②a7=0.7，S7=﹣0.8，S8=﹣0.4．由S7=﹣0.8，S8=﹣0.4，可得a8=0.4，∴=﹣0.4，解得a1=﹣0.5，∴a8=﹣0.5+7d，解得d=≠0.4﹣0.7=﹣0.3，矛盾，舍去．③a7=﹣0.8，S7=0.7，a8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得=0.7，解得a1=1，∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，而﹣0.4﹣（﹣0.8）=0.4，矛盾，舍去．④a7=﹣0.8，S7=0.7，S8=﹣0.4．由a7=﹣0.8，S7=0.7，可得，解得a1=1．∴﹣0.8=1+6d，解得d=﹣0.3，∴a8=﹣0.8﹣0.3=﹣1.1，∴S8=0.7﹣1.1=﹣0.4，满足条件．∴a n=a1+（n﹣1）d=1﹣0.3（n﹣1）=1.3﹣0.3n≥0，解得=4+，因此当n=4时，S n取得最大值．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数z=，则|z|=．【解答】解：z==，∴．故答案为：．10．（5分）已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是0．【解答】解：∵函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称，∴函数y=2|x+a|为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即2|x+a|=2|﹣x+a|，即|x+a|=|﹣x+a|=|x﹣a|恒成立，故a=0，故答案为：011．（5分）（x+sinx）dx=0．【解答】解：（x+sinx）dx=（﹣cosx）=﹣cosπ﹣[﹣cos （﹣π）]=0故答案为：0．12．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=，则经过2h后池水中药品的浓度达到最大．【解答】解：C===5，当且仅当t=2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．13．（5分）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC．若=m+n （m，n∈R），则m﹣n=﹣2．【解答】解：在△ABC中，∵BD=2DC，∴=，又∵=﹣，∴=+=+=+（﹣），∴=﹣，∴=﹣=﹣+；又∵=m+n，∴m=﹣，n=，∴m﹣n=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知函数f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，设集合M={直线l|l为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线，x0∈[0，π）]．若集合M中有且只有两条直线互相垂直，则ω=2；A=．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（xω+φ）的最小正周期为π，∴，即ω=2．∴f（x）=Asin（2x+φ），f′（x）=2Acos（2x+φ），∵曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线x0∈[0，π）]有且只有两条直线互相垂直，∴f′（x）=2Acos（2x+φ）的最大值为1，即A=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）f（）=sin﹣sin（+）=1﹣=．（Ⅱ）f（x）=sinx﹣sin（x+）=sinx﹣（sinxcos）=sinx﹣（sinx+cosx）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）函数y=sinx的单调递增区间为[2k，2k]（k∈Z）由2k≤x﹣≤2k，（k∈Z）得：2kπ（k∈Z）所以f（x）的单调递增区间为[2kπ]（k∈Z）．16．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1，a3，﹣a2成等差数列．∴2a3=a1﹣a2，设等比数列{a n}的公比q＞0，则，化为2q2+q﹣1=0，解得q=．∴=．（2）a n﹣n=﹣n．∴其前n项和S n=﹣=﹣．17．（13分）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…（3分）因为∠D∈（0，π），所以sinD=．…（5分）因为AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S===．…（7分）（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以AC=2．…（9分）因为BC=2，，…（11分）所以=．所以AB=4．…（13分）18．（14分）已知函数f（x）=2alnx﹣x2+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2lnx﹣x2+1，f′（x）=，（x＞0），令f′（x）＜0．∵x＞0，∴x2﹣1＞0，解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）f′（x）=，（x＞0），令f′（x）=0，由a＞0，解得x1=，x2=﹣（舍去），①当≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f′（x）≤0，函数f（x）是减函数．所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；②当＞1，即a＞1时，x在[1，+∞）上变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表∴函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（）=alna﹣a+1，综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（）=alna﹣a+1，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a≤1时，f（x）≤f（1）=0在区间[1，+∞）上恒成立；当a＞1时，由于f（x）在区间[1，]上是增函数，∴f（）＞f（1）=0，即在区间[1，+∞）上存在x=使得f（x）＞0．综上所述，a的最大值为1．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n=1，2，3，…）（1）求a1的值；（n≥2）；（2）求证：（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n﹣1（3）判断数列{a n}是否为等差数列，并说明理由．【解答】（1）解：由S n=，得，解得a1=1；（2）证明：∵S n=，∴．两式作差得：，即（n﹣2）a n+1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2）；（3）数列{a n}是等差数列．事实上，由S n=，∴．．由（2）可得，（n≥3）．∴．即（n﹣2）a n﹣2（n﹣2）a n﹣1+（n﹣2）a n﹣2=0．∵n≥3，∴a n﹣2a n﹣1+a n﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣2（n≥3）．∴数列{a n}是以1为首项，a2﹣1为公差的等差数列．20．（14分）设函数f（x）=，L为曲线C：y=f（x）在点（﹣1，）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜﹣时，证明：除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=﹣3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴，∴．∴L的方程为，即；（2）证明：要证除切点（﹣1，）之外，曲线C在直线L的下方，只需证明∀，恒成立．∵5x2+16x+23＞0，∴只需证明∀，5x3+11x2+7x+1＜0恒成立即可．设，则g′（x）=15x2+22x+7=（x+1）（15x+7）．令g′（x）=0，解得x1=﹣1，．当时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．∴明∀，5x3+11x2+7x+1＜0恒成立；（3）①当时，由（2）知，，，．三式相加得：．∵x1+x2+x3=﹣3，∴，当且仅当x1=x2=x3=﹣1时取等号．②当x1，x2，x3中至少有一个大于等于时，不妨设，则，∵，，∴．综上所述，当x1=x2=x3=﹣1时，f（x1）+f（x2）+f（x3）取到最大值．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p)f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）A （6）D （7）C （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）2 （10）4 （11）16,16 （12）π12或5π12（13）24 （14）(,0)(1,)-∞+∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 1cos 2()4()2x f x π-+=………………2分 1sin 22x+=.所以 2ππ2T ==. ………………4分 令π2π()2x k k =+∈Z ，得：ππ()24k x k =+∈Z . ………………6分 所以 ()f x 的最小正周期为π，对称轴的方程为ππ()24k x k =+∈Z . （Ⅱ）sin 2()13()32x f x π-+π-= 12π1sin(2)232x =--+. ………………9分令π2ππ2π22π()232k x k k -≤-≤+∈Z ， 得：π7πππ()1212k x k k +≤≤+∈Z .所以 π()3f x -的单调递减区间为π7π[π,π]()1212k k k ++∈Z . ………………13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分2212s s >. ………………4分 （Ⅱ）设事件A ：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B ：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.则()0.200.100.3P A =+=，()0.100.200.3P B =+=. ………………6分所以 ()()()()()0.42P C P A P B P A P B =+=. ………………8分（Ⅲ）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3. ………………9分0033(0)0.30.70.343P X C ==⨯⨯=，1123(1)0.30.70.441P X C ==⨯⨯=，2213(2)0.30.70.189P X C ==⨯⨯=，3303(3)0.30.70.027P X C ==⨯⨯=.所以X 的分布列为………………11分 所以 X 的数学期望00.34310.44120.18930.0270.9EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………13分另解：由题意可知(303)X ~B ,..所以 X 的数学期望30.30.9EX =⨯=. ………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形11ABE F 为正方形， 所以 AB BE ⊥1.因为 平面⊥ABCD 平面11F ABE ，平面 ABCD 平面AB F ABE =11，1BE ⊂平面11ABE F ， 所以 ⊥1BE 平面ABCD . ………………2分因为 ⊂DC 平面ABCD ，所以 DC BE ⊥1. ………………4分（Ⅱ）解：如图，以点B 为坐标原点，分别以1,BC BE 所在的直线为,x z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设1AD =，则1(0,0,0),(2,0,0),(0,(1,1,2B C E M .所以(1,1,2BM =，1(CE =-，1(1,1,2E M =-. ………………6分 设平面1CE M 的一个法向量为(,,)n x y z =.由110,0,n CE n E M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0.2x x y z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 令1x =，得0z y ==，所以 (1,0,2)n =. ………………8分设BM 与平面1CE M 所成角为θ，则1sin cos ,155BM n BMn BM nθ⋅+=<>===. 所以BM 与平面1CE M ………………10分（Ⅲ）解：直线DM与直线1CE 平行. 理由如下：………………11分 由题意得，(2,1,0),(1,D DM =-1(CE =-. 所以 12CE DM =.所以 1//CE DM . ………………13分 因为DM ，1CE 不重合，z1所以 //DM 1CE . ………………14分 另解：直线DM 与直线1CE 平行. 理由如下：取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE 且112PQ BE =. 因为 M 为1AF 的中点，四边形11ABE F 是正方形， 所以 1//AM BE 且112AM BE =. 所以 //PQ AM 且PQ AM =. 所以 APQM 为平行四边形. 所以 //MQ AP 且MQ AP =.因为 四边形ABCD 为梯形，2BC AD =， 所以 //AD PC 且AD PC =. 所以 四边形APCD 为平行四边形. 所以 //CD AP 且CD AP =. 所以 //CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形.所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . ………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………2分 （ⅰ）当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.………………3分（ⅱ）当0a >时，令'()0f x =，得1x a=. 当x 变化时，'()f x ,()f x 的变化情况如下表PQ ABCDE 1F 1M所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a <时，函数()f x 在区间(0,)+∞内是减函数，所以，函数()f x 至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分当0a >时，因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数，所以 要使{()0}[,]x f x b c ≤=，必须1()0f a<，即1ln 0a a a +<.所以 e a >. ………………7分 当e a >时，222211()ln()2ln (2ln )f a a a a a a a a a a=+=-+=⋅-. 令()2ln (e)g x x x x =-≥，则22'()1(e)x g x x x x-=-=≥. 当e x >时，'()0g x >，所以，()g x 在[e,)+∞上是增函数. 所以 当e a >时，()2ln (e)e 20g a a a g =->=->. 所以 21()0f a>. ………………9分 因为2111a a <<，1()0f a<，(1)10f =>， 所以 ()f x 在211(,)a a 内存在一个零点，不妨记为b ，在1(,1)a内存在一个零点，不妨记为c . ………………11分 因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1(,)a+∞内是增函数，所以 {()0}[,]x f x b c ≤=.综上所述，a 的取值范围是(e,+)∞. ………………12分 因为 211(,)b a a ∈，1(,1)c a∈，所以 [,](0,1)b c ⊆. ………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分 解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD . （20）（共14分）解：（Ⅰ）由①，得26a <<.由②，当2i =，3j =，4k =时. 2a ,6a ,12中至少有一个是数列1，2，a ，6中的项，但66a >，126>，故26a =，解得3a =.经检验，当3a =时，符合题意. ………………3分（Ⅱ）假设2,3,5是数列n A 中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列n A 中的项，则有限数列n A 的最后一项5n a >，且4n ≥.由①，1231n n n n a a a a --->>>>. ………………4分对于数21,,n n n a a a --，由②可知：21n n n a a a --=；对于数31,,n n n a a a --，由②可知：31n n n a a a --=. ………………6分所以 23n n a a --=，这与①矛盾.所以 2,3,5不可能是数列n A 中的项. ………………7分 （Ⅲ）n 的最大值为9，证明如下： ………………8分 （1）令9111:4,2,1,,,0,,1,2242A -----，则9A 符合①、②. ………………11分（2）设12:,,,(3)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥符合①、②，则：（ⅰ）n A 中至多有三项，其绝对值大于1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设i a ，j a ，k a ，l a 是n A 中绝对值最大的四项，其中1||||||||i j k l a a a a <≤≤≤.则对i a ，k a ，l a 有||||i l l a a a >，||||k l l a a a >，故i l a a ，k l a a 均不是数列n A 中的项，即i k a a 是数列n A 中的项.同理：j k a a 也是数列n A 中的项.但||||i k k a a a >，||||j k k a a a >. 所以 i k j k l a a a a a ==. 所以 i j a a =，这与①矛盾.（ⅱ）n A 中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.假设n A 中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾.A中至多有两项绝对值等于1.（ⅲ）nA中至多有一项等于0.（ⅳ）nA中至多有9项.综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知n………………14分由（1），（2）可得，n的最大值为9.。

为
1.-
-----
------
--9
分
(
)
当
函
数
是
函
数
时
若
则
显
然
不
是
函
数
矛
盾
.
-10
分
若
则
所
以
在
上
单
调
递
增
此
时
不
存
在
使
得
同
理
不
存
在
使
得
又
注
.、、八 意
到
即
不
会
出
现
的
情
形
所
以
此
时
不
是
函
数
.
—
---1
1
分
当
时
设
所
以
所
以
有
其
/、
中
当
时
因
为
?
所
以
所
以
.
—
---1:
分
当
时
因
为
所
以
所
以
.
—
-13
分
记
J
综
上
我
们
可
时
对
成
立
只
要
在
上
的
最
小
值
大
于
等
于
0
即
可
因
为
函
数
的
对
称
轴
为
当
时
在

那么：当 x＞ 0 时，二次函数 f（ x）=ax2﹣2x 的最小值大于等于 ．
∴ a＞ 0，其对称 x= ＞0．
则 f（ x）min =f（ ）
．
即
，
解得： a≥e 故选： D．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．（5 分）已知等差数列 { an} 满足 a1=2，a2+a4=a6，则公差 d= 2 ． 【解答】 解：在等差数列 { an} 中，由 a1=2，a2+a4=a6， 得 2a1+4d=a1+5d，即 4+4d=2+5d，得 d=2． 故答案为： 2．
=
．
令
（k∈Z），
得
所以函数 f（ x）的单调递增区间为
【解答】 解：数列 { an} 满足 a1+a2+…+an=2a2（n=1，2，3，…），
n=1 时， a1=2a2；
n=2 时， a1+a2=2a2，
可得 a2=0．
故选： D．
5．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的纵坐标为 2，点 C 在 x 轴的正半轴
上．在△ AOC中，若
，则点 A 的横坐标为（
那么用列举法表示集合 A 为
．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（ 13 分）已知函数 f （x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
第 2 页（共 19 页）
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函数 f （x）的单调递增区间．
16．（ 13 分）已知等比数列 { an} 满足 a1a2a3=8，a5=16．
，小球振动过程中最大的高度差为