第8届全国中学生物理竞赛决赛试题及参考答案

2014 第 31 届全国中学生物理竞赛预赛试题及参考答案与评分标准一、选择题．本题共 5 小题，每小题 6 分，在每小题给出的 4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内，全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错或不答的得 0分．1．一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于A．α1/3B．α3C．αD． 3α2．按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为 lcm 3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度．当秤砣放在 Q 点处时秤杆恰好平衡，如图所示，当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度．下列说法中错误的是A．密度秤的零点刻度在Q 点B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边C．密度秤的刻度都在Q 点的右侧D．密度秤的刻度都在Q 点的左侧3．一列简谐横波在均匀的介质中沿z 轴正向传播，两质点P1和 P2的平衡位置在 x 轴上，它们相距 60cm，当 P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为 24 m/s，则该波的频率可能为A． 50Hz B ． 60HzC． 400Hz D ． 410Hz4．电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式，电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用钢、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环；当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和 F3．若环的重力可忽略，下列说法正确的是A． F1>F 2>F3B． F2 >F3 >F1C． F3 >F 2> F 1 D ． F1=F2=F35．质量为 m A的 A 球，以某一速度沿光滑水平面向静止的 B 球运动，并与B 球发生弹性正碰．假设 B 球的质量m B可选取为不同的值，则A．当 m B=m A时，碰后 B 球的速度最大B．当 m B =m A时，碰后 B 球的动能最大C．在保持m B>m A的条件下， m B越小，碰后 B 球的速度越大D．在保持 m B<m A的条件下， m B越大，碰后 B 球的动量越大二、填空题．把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．（ 10 分）用国家标准一级螺旋测微器（直标度尺最小分度为0.5mm，丝杆螺距为0.5mm，套管上分为 50 格刻度）测量小球直径．测微器的初读数如图(a)所示，其值为 _____mm，测量时如图 (b) 所示，其值为_____mm ，测得小球直径d=___________mm ．7．（ 10 分）为了缓解城市交通拥问题，杭州交通部门在禁止行人步行的十字路口增设“直行待区”（行人可从天桥或地下过道过马路），如图所示．当其他车道的车辆右拐时，直行道上的车辆可以提前进入“直行待行区”；当直行绿灯亮起时，可从“直行待行区”直行通过十字路口．假设某十字路口限速50km/h ，“直行待行区”的长度为12m，从提示进入“直行待行区”到直行绿灯亮起的时间为4s.如果某汽车司机看到上述提示时立即从停车线由静止开始匀加速直线运动，运动到“直行待行区”的前端虚线处正好直行绿灯亮起，汽车总质量为 1.5t ，汽车运动中受到的阻力恒为车重的0.1 倍，则该汽车的行驶加速度为_________；在这4s 内汽车发动机所做的功为 _____________ （取 g=10m/s2）8．（ 10 分）如图所示，两个薄透镜L 1和 L2共轴放置，已知 L 1的焦距 f 1=f ，L 2的焦距 f 2=―f ，两透镜间的距离也是f，小物体位于物面 P 上，物距 u1=3f ．(1)小物体经过这两个透镜成的像在L 2的 _____边，到 L2的距离为 ________，是 ______像（填“实”或“虚”）、 _______像（填“正”或“倒”），放大率为 ___________．(2)现把两个透镜位置调换，若还要使给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向 ______边移动距离 _________．这个新的像是 ______（填“实”或“虚”）、______像（填“正”或“倒”），放大率为 __________ ．9．(10 分 )图中所示的气缸壁是绝热的．缸内隔板 A 是导热的，它固定在缸壁上．活塞 B 是绝热的，它与缸壁的接触是光滑的，但不漏气． B 的上方为大气． A 与Ｂ之间以及 A 与缸底之间都盛有n mol 的同种理想气体，系统在开始时处于平衡状态．现通过电炉丝 E 对气体缓慢加热，在加热过程中，A、 B 之间的气体经历____过程． A 以下气体经历____过程；气体温度每上升１K， A、 B 之间的气体吸收的热量与 A 以下气体净吸收的热量之差等于＿＿＿＿＿．已知普适气体常量为Ｒ．10.（ 10 分）字宙空间某区域有一磁感应强度大小为B=1.0 ×10-9 T 的均匀磁场，现有一电子绕磁力线做螺旋运动．该电子绕磁力线旋转一圈所需的时间间隔为_____s；若该电子沿磁场方向的运动速度为 1.0 ×10-2c（c 为真空中光速的大小），则它在沿磁场方向前进 1.0 ×10-3 光年的过程中，绕磁力线转了 _____圈. 已知电子电荷量为 1.60 ×10 -19C，电子质量为 9.11 ×10-31kg ．三、计算题，计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．11．（ 15 分）如图所示，一水平放置的厚度为t 折射率为 n 的平行玻璃砖，下表面镀银（成反射镜）．一物点 A 位于玻璃砖的上方距玻璃砖的上表面为h 处．观察者在 A 点附近看到了A 点的像． A 点的像到 A 点的距离等于多少？不考虑光经玻璃砖上表面的反射．12.（ 20 分）通常电容器两极板间有多层电介质，并有漏电现象．为了探究其规律性，采用如图所示的简单模型，电容器的两极板面积均为A．其间充有两层电介质l 和 2，第 1 层电介质的介电常数、电导率（即电阻率的倒数）和厚度分别为ε、σ和 d ，第 2 层电介质的111则为ε、σ和 d ．现在两极板加一直流电压U，，电容器处于稳定状态．222(1)画出等效电路图；(2)计算两层电介质所损耗的功率；(3)计算两介质交界面处的净电荷量；提示：充满漏电电介质的电容器可视为一不漏电电介质的理想电容和一纯电阻的并联电路．13. (20 分 )如图所示，一绝缘容器内部为长方体空胶，其长和宽分别为 a 和 b，厚度为 d，其两侧等高处装有两根与大气相通的玻璃管（可用来测量液体两侧的压强差）．容器内装满密度为ρ的导电液体，容器上下两端装有铂电极 A 和 C，这样就构成了一个液体电阻，该液体电阻置于一方向与容器的厚度方向平行的均匀恒定的磁感应强度为 B 的磁场中，并通过开关 K 接在一电动势为ε、内阻为 r 的电池的两端，闭合开关．若稳定时两侧玻璃管中液面的高度差为 h，求导电液体的电导率σ．重力加速度大小为 g．14.（ 20 分） lmol 的理想气体经历一循环过程l— 2— 3—1，如 p— T 图示所示．过程l — 2 是等压过程，过程3— 1是通过 p — T图原点的直线上的一段，描述过程 2 — 3的方程2为 c1p + c2p =T ，式中 c1和 c2都是待定的常量， p 和 T 分别是气体的压强和绝对温度．已知，气体在状态 l 的压强、绝对温度分别为p1和 T1．气体在状态 2 的绝对温度以及在状态 3 的压强和绝对湿度分别为T 2以及 p3和 T3．气体常量 R 也是已知的．(1)求常量 c1和 c2的值；(2)将过程 l— 2— 3— 1 在 p—V 图示上表示出来；(3)求该气体在一次循环过程中对外做的总功．15. (20 分 )一个ω介子飞行时衰变成静止质量均为m 的三个π介子，这三个π介子的动量共面．已知：衰变前后介子运动的速度都远小于光在真空中的速度c；衰变后的三个π介子的动能分别为T 1、 T2和 T 3，且第一、二个π介子飞行方向之间的夹角为θl，第二、三个π介子飞行方向之间的夹角为θ（2如图所示）；介子的动能等于介子的能量与其静止时的能量（即其静止质量与c2的乘积）之差．求ω介子在衰变前的辨阀的飞行方向（用其飞行方向与衰变后的第二个介子的飞行方向的夹角即图中的φ角表示）及其静止质量．16. (25 分 )一圈盘沿顺时针方向绕过圆盘中心O 并与盘面垂直的固定水平转轴以匀角速度ω =4.43rad/s转动．圆盘半径r=1.00m ，圆盘正上方有一水平天花板．设圆盘边缘各处始终有水滴被甩出．现发现天花板上只有一点处有水．取重力加速度大小g=9. 80m/s 2．求(1) 天花板相对于圆盘中心轴 O 点的高度；(2) 天花板上有水的那一点的位置坐标，参考答案与评分标准一、 1. (D) 2. (C) 3. (AD) 4. (A) 5. (BCD)二、6. 0.022～ 0.024mm (3 分 )；3.772～ 3.774mm(3 分) ；3.748～ 3.752mm(4 分) ( 若有效位数错，无分 )7. 24分 )1.5m/s (5 分 ) ；4.5 ×10 J(58. (1) 右， f ，实，倒， 1 (每空 1 分 ) (2)左， 2f ，实，倒， 1 (每空 1 分 ) 9. 等压 (2 分) ；等容 (2 分)； nR(6 分) 10. 3.6 ×10-2(5 分) ； 8.8 ×10 (5 分)7三、 11. (15 分) 由折射定律得： sin θ, ①i = sin θd―θ由几何关系得： x1=htan θi , ②， x 2 =htan θd , ③， H=2(x 1+x 2)tan(90④， H 为物A 到i ), 像 A /的距离，在小角度近似下有： tan θi ≈ sin θi ， tan θd ≈ sin θd ，tan(900― θi1, ⑤，联) ≈sin θi 立以上各式得： H=2(h+ t) , ⑥n评分标准：①式 3 分，②③④式各 2 分，⑤⑥各 3 分12. (20 分 )(1) 等效电路如图所示(2) 等效电容 C 1 和 C 2 为： C 1=ε1A ， C 2 =ε2A , ①d 1d 2等效电阻 R 1 和 R 2 为： R 1=d 1 ， R 2= d 2, ② σ1 A σ2 A两层电介质所消粍的功率为： P= U 2 U 2 A σ1σ2, ③ =R 1+R 2 d 1σ2+d 2σ1 (3) 没两层介质各自上下界面之间的电压分别为U 1 和 U 2 ，上层介质界面上的电荷为：ε1A · UR 1 ε1σ2AU Q 1 =C U 1= d 1 R 1+R 2 = d 1σ2+d 2σ1 , ④，下层介质界面上的电荷为：Q 2= ε2σ1AU , ⑤d 1σ2+d 2σ1―ε两层介质交界面处的净电荷量为：Q=Q 1― Q 2=, ⑥d 1σ2+d 2σ1评分标准：第 (1) 问 4 分 (可不标字母、箭头 )，第 (2)问 9 分，①②③式各 3 分，第 (3)问 7 分，④⑤式各 2 分，⑥式 3 分13. (20 分 )沿着电流 I 的方向液柱长度为 a ，该液柱受到的安培力大小为：F 安 =BIa, ①液柱两侧面受到的由压强差产生的压力大小为：F P =ρghad , ②水平方向上二力平衡，有：F 安 = F P , ③，由欧姆定律得：ε=I(R+r) , ④，式中 R= a , ⑤σbd由以上各式解得： σ=ρgha, ⑥b(B ε―r ρghd)评分标准：①式 4 分，②③④⑤式各 3 分，⑥式 4 分14. (20 分 )(1) 设气体在状态i(i=1 、 2 和 3)下的压强、体积和绝对温度分别为p i 、 V i 和 T i ，由题设条件有： c 1 222 22, ①， 1 3 22 3=T 3, ②p + c p =T c p + c pT 2p 3―T 3p 2 T 2p 3―T 3p 1T 2 p 32―T 3p 22 T 2 p 32―T 3p 12由此解得： c 1= p 22 p 3― p 3 2p 2= p 12 p 3― p 32p 1 , ③， c 1 = p 2p 3 2― p 22p 3 =p 1p 3 3― p 12 p 3 , ④(2) 利用气体状态方程pV=RT ，以及 V 1=R T 1， V 2=R T 2，V 3=R T 3, ⑤p 1 p 2 p 3 可将过程 2― 3 的方程为： p V 2― V 3V 2p 3― V 3p 2 , ⑥p 2― p 3=V+p 2―p 3可见，在 p ― V 图上过程 2― 3 是以 (p 2， V 2 )和 (p 3 ， V 3 ) 为状态端点的直线段，过程3―1 是通过原点直线上的一段，因而描述其过程的方程为：p , ⑦，式中c 3 是一常量，利用气=c 3T体状态方程 pV=RT ，可将过程 3— 1 的方程改写为： V=R31, ⑧， 这是以 (p 3，V 1 和 (p 1，c 3V 1) 为状态端点的等容降压过程 .综上所述，过程 1―2― 3― 1 在 p ― V 图上是一直角三角形，如图所示 .1 3― p 1 2― V 1(3) 气体在一次循环过程中对外做的总功为： W= ― 2(p)( V) , ⑨利用气体状态方程 pV=RT 和⑤式，上式即1p 3 ―1) , ⑩W=― R(T 2― T 1)(2 p 1评分标准： 第 (1) 问 8 分，①②③④式各 2 分；第(2) 问 10 分，⑤⑥式各 2 分，过程 1― 2― 3―1 在 p ― V 上的图示正确得 6 分；第 (3) 问2 分，⑩式 2 分.15. (20 分 )以第二个 π介子的飞行方向为 x 轴，以事件平面为 x ―y 平面，设衰变前ω介子和衰变后三个 π介子的动量大小分别为 P ω、 P 1 、P 2 和 P 3，衰变前后粒子在x 和 y 方向的动量分别守恒，有： P ωcos φ= P 1cos θ1+P 2+ P 3cos θ2 ,? ，― P ωsin φ= ― P 1sin θ1+ P 3sin θ2 ,?衰变前后粒子的总能量守恒，有： m ω2ω21 )+( mc 2 2 2 3 ) ,? ，c +T =(mc +T +T )+( mc +T式中左端和右端三个括号内的分别是衰变前ω 介子的总能量 (静能和动能之和 ) 和衰变后三个 π介子的总能量，动能可由动量和静质量表示：T ω= p ω2,? ， T 1=p 12,? ， T 2= p 22 ,? ， T 3 =p 32,?2m ω 2m 2m 2m分别由⑤⑥⑦式得 p 1 = 2mT 1 ,? ， p 2 = 2mT 2 ,? ， p 3 = 2mT 3 ,?联立①②⑧⑨⑩式得：φ=arctanT 1sin θ1― T 3sin θ2, ⑴T 1cos θ1+ T 2+T 3cos θ22T 1T 3cos(θ1+θ2)+ T 1 T 2cos θ1+ T 2T 3 cos θ2] , ⑵P ω =2m(T 1+T 2+T 3)+4m由③④式得：2 2 ― 2m ω 212 3 1 2 3 1 3 1 21 2 12 3 2m ωc+T )+4m[ T(3mc +T +T +T )+2m(T +T T cos(θ+θ)+ T T cos θ+T Tcos θ2]=0 , ⑶3 12(T 1+T 2+T 3 )+31 2 P ω2, ⑷其解为 m ω= m+[ m+ 2(T 1+T 2+T 3)] ―2c 22 2c2 2c式中 p ω2 由⑵式给出。

第36届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题与解答2019年9月26日一、新型号汽车在出厂前都要通过破坏性试验. 在某次汽车测试中，一个汽车轮子的三根辐条被撞掉了其中一根，轮子的横截面如图所示．该轮子可视为内、外半径分别为1045R R =、R 0的轮盘和两根辐条组成（假设轮盘可视为匀质环形圆盘，辐条可视为匀质细杆，每根辐条的质量为m ．轮盘的质量为8M m =，轮子从图a所示位置由静止开始释放，释放时轮子上两辐条所张角的平分线恰好水平，此后该轮子在水平地面上做纯滚动．求 1）刚释放时轮子的角加速度；2）释放后辐条OB 首次转到竖直位置时，轮子的角加速度、地面对轮子的摩擦力和支持力．参考解答：轮盘对过O 点且与轮面垂直的轴的转动惯量为()()0124422O10101112πd π22R R J r r r R R M R R σσ=⋅⋅=-=+⎰ 式中σ是轮环面单位面积上的质量. 两根辐条对该O 轴的转动惯量为 2O21123J mR =⨯ 轮子对O 轴的总转动惯量为()222O O1O210011524346275J J J M m R MR mR =+=++= (1) 以轮子中心O 为坐标原点，建立如解题图a 所示的坐标系. 令 210M M m m '=+= 轮子质心C 的x -坐标为()()()101C0/2225M m m R R mR x M M '+⋅+-⋅-===''(2) 由平行轴定理，求得轮子对过质心C 且与轮面垂直的轴的转动惯量为22C O C 02614375J J M x mR '=-=(3) 在辐条OB 从初始位置转到竖直位置的过程中，任一位置对轮子在地面做纯滚动的瞬时轴P 的转动惯量为2P C CP22C 0C 0C 22C 0C 0C π [2cos()]2(2sin )J J M r J M R x R x J M R x R x θθ'=+'=++--'=++- (4)其中θ为质心C 从起始位置到当前位置所转过的角度，如解题图b 所示.由机械能守恒定律有解题图b图a2P C 1sin 2J M g x ωθ'= (5) 由此得2C P2sin M g x J θω'=将 (4)式代入(5)式后，方程两边对t 求导，可求得转动角加速度α 20C P C 1(2cos )cos 2M R x J M gx ωθωωαθω''-⋅+=⋅ 结果为2C 0Pcos ()M x g R J θωα'+=(6) 1）轮子从图a 所示位置由静止开始释放时，0θ=，由(4)式得，轮子对瞬时轴P 的转动惯量为()()222222,00000261412741037575P C C C J J M R x mR m R x mR θ='=++=++= 此时0ω=，由(6)式得C 0,0015637P M g x gJ R θθα=='==(7) [或者直接用对任意瞬时轴P 的转动定律求解 d ()d PP PC p M t'=+⨯-L M r α 但此时轮子刚开始转动，角速度为零，相对于地面接触点的加速度p α（20R ω）为零，故 ,0P CJ M g x θα='=⋅则此时的转动角加速度C 0,0015637P M g x gJ R θθα=='==(7) ]2）当辐条OB 转到竖直位置时，30θ=︒，由(4)式得()222,3000012442sin3075P C C C J J M R x R x mR θ=︒'=++-︒=由(5)式得230,3002sin3015622C P M g x gJ R θθω=︒=︒'︒==(8) 由(6)式得()230030,300cos30C P M x g R J θθθωα=︒=︒=︒'︒+=据题意，轮子中心O 相对于地面的加速度O a 和质心C 相对于轮子中心O 的切向加速度CO ta 与法向加速度CO n a 分别为O 0a R α=，CO C t a x α=，2CO C n a x ω= (10)质心C 相对地面参考系的加速度（见解题图c ）sin cos sin cos t nCx O CO CO n tCy CO CO a a a a a a a θθθθ=--=- (11)根据质心运动定理可求此时的摩擦力f F 和支持力N FP解题图cfCx f Cy N M a F M a F M g '=''=- (12)联立以上各式可解得7735679=773768f N F F mg =(13)上述结果可以用0cos (sin )C N C f C J F x F R x αθθ=--来验证.二、一个长为l 、内外半径分别为a 和b 的半圆柱体由两种不同的耗损电介质构成，它们的相对介电常数和电导率分别为：εr 1和σ1（00ϕθ≤< 区域），εr 2和σ2（0πθϕ<≤ 区域），其横截面如图a 所示；在半圆柱两侧底部镀有金属膜，两金属膜间加有直流电压V 0，并达到稳定. 已知真空介电常量为ε0，两种介质的相对介电常数大、电导率小. 忽略边缘效应. 1）求介质内电场强度和电势的分布； 2）求ϕ = θ0 界面处的总电荷；3）分别计算00ϕθ≤< 和0πθϕ<≤两介质区域的电阻和电容；4）在t = 0时刻断开电源，求随后的两金属膜间电压随时间的变化（该过程可视为似稳过程），并画出相应的等效电路图.参考解答：1）考虑某一半径为r 的半圆周，如解题图a 所示. 设00ϕθ≤< 区域、0πθϕ<≤区域的电场强度与电位移矢量大小分别为E 1和D 1、E 2和D 2，方向均沿角向. 由电流的连续性和欧姆定律有121122, J J E E σσ== (1) 两介质上的电压之和为10200()E r E r V θπθ+-= (2) 由(1)(2)式得11002[()]V E rσθπθσ=+- (3) 022001[()]V E r σθπθσ=+- (4)假设负极板电势为零，由电势和电场强度之间的关系得 ： 对于00ϕθ≤<区域， 1002010********2()()[1]()()V V E r V V ϕσθϕπθϕσϕσσθπθθπθσσ-+-=-=-=+-+- (5)对于0πθϕ<≤区域，01020000122000000211() [1]=()()()V V E r E r V V ϕθϕθθϕθπϕσσσθπθθπθθπθσσσ=-----=--+-+-+- (6)2）在ϕ = θ0的界面上的总电荷密度为100002021002110000001221()[()][()]()e V V E E V r r r σεεσσεεσσσθπθθπθθπθσσσ-=-=-=+-+-+- (7)在ϕ = θ0的界面上的总电荷为图a解题图a10201002(1)ln()b e a b l a Q ldr V σεσσσθπθσ-==+-⎰ (8) 3）计算介质区域00~ϕθ=的电容C 1. 设半圆柱体的右极板上r 处的自由电荷密度为σe01,，有1000111011002[()]r e r V D E rεεσεεσθπθσ===+- (9)右极板上总的自由电荷100100010111000022ln [()]()b b r r e a a V l V l bQ ldr dr ar εεεεσσσθπθθπθσσ===+-+-⎰⎰ (10)0ϕ=与0ϕθ=之间电势差0010101002()V V E r θθσθπθσ==+- (11)介质区域00~ϕθ=的电容C 1为01101100ln r Q l bC V aεεθ== (12)计算介质区域0~πϕθ=的电容C 2. 设半圆柱体左极板上r 处的自由电荷密度为σe02，有2000222022001[(π)]r e r V D E r εεσεεσθθσ===+- (13)左极板上的自由电荷为200200020222000011ln [(π)](π)b b r r e a a V l V l bQ ldr dr a r εεεεσσσθθθθσσ===+-+-⎰⎰ (14)0ϕθ=与πϕ=之间电势差为002020201(π)(π)(π)V V E r θθσθθσ-=-=+- (15)介质区域0~πϕθ=区域的电容C 2为02202200ln πr Q l bC V aεεθ==- (16)计算介质区域00~ϕθ=的电阻R 1：考虑r 处厚度为d r 的半圆柱壳（见解题图a ）. 该半圆柱壳在介质区域00~ϕθ=中的部分的电导为110ldrdG rσθ=介质区域00~ϕθ=的电导为11100ln b a ldr l bG r aσσθθ==⎰ 相应的电阻为0111==ln R bG l aθσ (17)计算介质区域0~πϕθ=的电阻R 2. 所考虑的半圆柱壳在介质区域0~πϕθ=中的部分的电导为220()ldrdG rσπθ=-介质区域0~πϕθ=的电导为22200ln ()b a ldr l bG r aσσπθπθ==--⎰相应的电阻为2221==ln R bG l aπθσ- (18)4）当断开电源后，形成两个相互独立的RC 回路，其等效电路如解题图b 所示，其电势差从V 10和V 20分别衰减到零. 0i i iq iR C +=式中下标1,2i =分别对应于第一、二个RC 回路，而i q 是断开电源后t 时刻电容i C 正极板上所到的电量. 上式即1i i i idq q R C =-解为10i it R C i q q e -=式中0q 是断开电源时电容i C 正极板上所到的电量，或1100i i i i tt R C R C i i i i iq q V e V e C C --=== (19)式中0101011101111011=ln =, lnr r l b R C b a R C l aθεεεεσθσεεσ⨯= (20) 0202022202222021=ln =, lnr r r l b R C b a R C l aπθεεεεσπθσεεσ-⨯=- (21) 于是1100011002() (π)t V V t e σεεθσθθσ-=+- (22)220002201(π)()πr t V V t eσεεθσθθσ--=+- (23)两金属膜之间的电压为1210200000121200021(π)()()()(π)πr t t V V V t V t V t e e σσεεεεθθσσθθθθσσ---=+=++-+- (24)解题图b1V三、 用超导重力仪对地球表面重力加速度的微小变化及其分布进行长期高精度观测，可获得地幔运动、质量分布、固体潮汐、地下水和矿产分布等地球内部结构信息，以及海洋潮汐、气候变化等外部数据. 超导重力仪灵敏度高（可达地表重力加速度的910-）、稳定性强，是目前地球科学领域广泛采用的重力观测装置. 随着分布于全球的超导重力仪数目的增加、观测网络的建立和数据共享，为地球科学的发展、万有引力规律的精确检验等等提供了新的机遇. 试就有关地下水分布引起的重力变化、超导重力仪原理等问题给出回答. 1）假设地球可视为一个半径为6370 km 的均匀球体，其表面重力加速度g 0=9.80 2m s -⋅ （不考虑地球自转）. 现某处地下有一个直径为20 km 充满水的球形地下湖，其球心离地面15 km. 求地下湖正上方地表处重力加速度的微小变化∆g . 已知万有引力常量116.6710G -=⨯ 22N m kg -⋅⋅，水的密度ρ水 = 1.0⨯103 3kg m -⋅.2）超导重力仪的核心部件是悬浮在磁场中、由金属铌（Nb ）制成的超导球壳，为计算方便起见，这里简化为超导细环（见图a ）. 悬浮磁场由准亥姆霍兹（Helmholtz ）线圈提供，它由匝数分别为αN 和N 的上、下两个同轴细超导线圈（ α < 1）串联而成，两线圈的半径及其中心之间的距离均为R . 超导重力仪调试前，亥姆霍兹线圈和超导细环中的电流均为零，超导细环处在下线圈平面内（z = 0），且与线圈同轴. 调试开始后，外电源对准亥姆霍兹线圈缓慢加上电流i 0，在此过程中超导细环内会产生感应电流. 调节i 0的大小，使超导细环正好悬浮在上线圈平面内（z =R ），如图a 所示. 由于超导线圈和超导细环的电阻均为零（其所在处的温度为4.2 K ），超导环被稳定悬浮后，移去提供超导线圈电流的电源，超导线圈中的电流i 0以及由此产生的磁场均能长期保持稳定. 已知超导细环的质量为m 、直径为D (D << 2R )、自感系数为L ；在上线圈平面附近，由准亥姆霍兹线圈产生的磁感应强度B 的z 方向分量和径向分量可分别近似表示为：00[1()]12z r B B z R B B r ββ=--⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中B 0为上线圈中心处的磁感应强度，β为径向系数，r 是到轴线的距离. 利用上述线圈和超导细环的已知参数、以及线圈中的外加电流i 0，求 i ）B 0和β 的表达式； ii ）超导细环在平衡处（z = R ）感应电流I 0的表达式； iii ）超导重力仪放置地的重力加速度g 0的表达式.3）为了精确测量重力加速度的微小变化，在超导重力仪中采用了交流电桥平衡法.为了理解其原理并便于计算，将超导细环视为面积为A 的薄“平板”，并在超导细环的上下对称位置，即/2R d +和/2R d -处，分别固定两个形状相同、面积也为A 的金属平板，构成上极板与超导“平板”、下极板与超导“平板”两个电容器C 1和C 2，如图b 所示. 再将C 1和C 2与两组完全相同的电感L 0和电容C 0连接成电桥，并接在交流电源（频率远高于重力加速度的变化的快慢）上，如图c 所示. 假设某时刻超导重力仪所在地的重力加速度为g ，超导细环（超导“平板”）处在其平衡位置z = R 处，交流电桥处于平衡，这时C 1和C 2上加有相同的直流电压V C ；当重力加速度改变g ∆，导致电桥失衡，将C 1上的直流电压增加V ∆，同时在C 2上减少V ∆，电桥又重新达到平衡. 试给出g ∆与V ∆的关系式（不计电容器的边缘效应）.图cac图b 上极板 超导环 R +d/R R -d/图αN , i 0N , i 0参考解答：1）如解题图a ，地下湖在地面下深度d 处. 设地球的平均 密度为ρ0，水的密度为W ρ，地球质量E M 和地下湖中水的 质量W M 分别为3E E 04π3M R ρ=， 3W W W 4π3M r ρ=设地下湖中没有水时，地面重力加速度大小为0g ，由引力定律有E 02E Mmg mG R = (1)由3E E 04π3M R ρ=和(1)式得33003 5.5110kg/m 4E g R Gρπ==⨯ (2)设地下湖中充满水时，重力加速度大小的改变为g ∆，同样有 W E E 0222E()M Mm m g g mG R d d ⎛⎫-∆=-+ ⎪⎝⎭ (3)由3E E 04π3M R ρ=、3W W W 4π3M r ρ=和 (1)(2)(3)式得30W 324024[]3 5.6010m s 5.7110r g G g dπρρ----∆==⨯⋅=⨯ (4) 由此可见地下湖水的存在对当地重力加速度的影响很小. 2）i ）通有电流i 的单匝线圈（见解题图b ）在过线圈中心的轴上产生的磁场的磁感应强度大小为20223/22()z iR B R z μ=+ (5) 4分方向沿z 轴正向（按电流i 的流向）.在上线圈平面中心附近磁场的磁感应强度z 分量为上、下两线圈（见题图a ）产生磁场的叠加 {}12220000223/2223/220012 2[()]2() (z)(z)2z z zB B B Ni R Ni R R z R R z Ni R f f μαμμ=+=++-+=+ (6)上式中z – R 是一个小量，仅保留在一阶项有1223/23()[()]f z R z R Rαα=≈+- (7)2223/223/231113()1() [][2()2]222f z z R R z z R R R R R ⎡⎤=≈≈--⎢⎥+-+⎣⎦ (8) 于是20033001313{[1()]}=[()()]22222224213[()][1()][1()]122242()22z NiR Ni B z R z R R R R R RNi z R B z R R R μμααμαβα=+--+--=+--=--+ (9) 式中解题图b解题图a00(1)2NiBRμα=++ (10)βii）由于超导细环的电阻为零，超导细环向上悬浮过程中，直至平衡在上线圈平面内，其磁通量总是保持不变.设超导细环在平衡位置时的感应电流为I0，有tΦε∆=-=∆(12)因而()2π()const.2z z RDB LIΦ==+= (13)由初始条件0, 0, 0, 0t z IΦ====和(9)式可知200()2DLI Bπ=- (14)由(17)式得2200001[48Ni DI D BL RLμππα=-=- (15)负号表示超导细环中电流与超导线圈电流方向相反.iii）当超导细环在上线圈平面（z R=）内静止时，径向磁场对其施加的向上的安培力正好与其重力平衡，即0rmg I B Dπ= (16)由题给条件和(19)(20)式得2242002222422211πππ422=16DD B B D D BLgm Lmββα⋅⋅⋅===由此可见，只要已知准Helmhotz超导线圈和悬浮的超导环参数，通过测量i就可测得该地的重力加速度g0.3）当地面重力加速度大小为g时，磁悬浮力与超导细环重力mg平衡，超导细环处在上线圈平面内 (z0 = R). 上极板对超导“平板”、下极板对超导“平板”的吸引力相互抵消，此时加在两个电容上的电压均为V C. 假设上极板与下极板之间的距离为d，超导“平板”与下极板之间距离为x，超导“平板”受到上下两极板的吸引力之差为2022111[]2()CF AVd x xε=--当2dx=时，有/2x dF== (18) 当重力加速度变化g∆时，超导“平板”会受到一个多余的向下的重力m g∆，为了使超导“平板”在交流电桥平衡位置（2dx=）重新达到力学平衡，在两个电容器1C和2C上反向施加电压V∆，使超导“平板”受到上极板的吸引力大于下极板吸引力，其差值为22022()()1[]2()C C V V V V F A d x x ε+∆-∆=-- (19)在2dx =，超导“平板”重新达到力学平衡时有0022814=2()2C C AA F V V V V m g d d εε=∆∆=∆ (20)于是028C Ag V V mdε∆=∆ (21)通过测量V C 和∆V 即可获得重力加速度的微小变化∆g .四、汽车以发动机气缸中的空气与汽油发生燃烧产生动力，发动机的输出功率与进入气缸中的空气质量成正比．为了提高动力，很多汽车加装了涡轮增压器，在空气进入发动机气缸之前对它进行压缩，以增加空气密度；为了进一步提高空气密度，还通过一个中间冷却器，使空气温度降低后再进入气缸．在一个典型的装置中，进入涡轮增压器的初始空气压强为一个大气压p 0 = 1.01⨯105 Pa ，温度T 0 = 15︒C ；通过涡轮增压器后，空气绝热压缩至p 1 = 1.45⨯105 Pa ；然后又通过中间冷却器，让空气等压地降至初始温度T 0并充满气缸. 假设空气为理想气体，已知气缸容积V 0 = 400 cm 3，空气摩尔质量M = 29.0 g ⋅mol -1，摩尔热容比γ = 7/5；普适气体常量R = 8.31 J ⋅K -1⋅mol -1．1）求此时气缸内空气的质量；与未经增压和冷却的情形相比，发动机的输出功率增加到多 少倍？2）如果没有中间冷却器，仅经过涡轮增压器把空气压缩后输入到气缸中，相应的空气质量 为多少？与未经增压的情形相比，发动机输出功率增加到多少倍？3）在经过涡轮增压器和中间冷却器的热力学过程中，求外界对进入气缸的气体所做的功、 及气缸中的气体在上述两个过程中各自的熵变．参考解答：1）按题设，假设空气可视为理想气体，由理想气体状态方程有PV RT ν= (1)其中，(,,)p V T 为气体的一组状态参量，分别表示气体的压强、体积和温度；m 和M 分别为气体的质量和摩尔质量，mMν=是气体的摩尔数. 此状态下气体的密度为 m pMV RTρ==(2) 由(2)式可算得空气处于初始状态000(,,)p V T '的密度533000 1.011029.010= 1.22 kg/m 8.31288.15p M RT ρ-⨯⨯⨯==⨯ (3)初始状态000(,,)p V T '的空气经过涡轮增压器后，状态变为111(,,)p V T ，密度变为1ρ；经中间冷却器等压降温后，状态变为212020(,,)p p V V T T ===. 气缸中空气的质量为111111100010056351.45101.2240010 kg 0.70310 kg 1.0110p M p M pm V V V V RT RT p ρρ--====⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯ (4)推导中应用了等压过程方程0110VV T T =和(3)式. 若不经过涡轮增压器和中间冷却器两个步骤，直接把外界空气压入气缸中，63000 1.2240010 kg 0.49010 kg m V ρ--==⨯⨯=⨯ (5) 气缸的输出功率增加到的倍数为1301130000.70310 1.430.49010m V m R m m V --⨯====⨯ (6) 2）不经过中间冷却器，直接使用经涡轮增压器压缩后的空气. 此时，空气的温度已经升高至T 1，相应的体积为变为V 1，利用绝热过程方程，const.PV γ= (7)和(1)式，可求出气体在此状态111(,,)p V T 下的温度和体积(1)/1100p T T p γγ-⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)(1)/1110110 nRT nR p V T p p p γγ-⎛⎫== ⎪⎝⎭(9)再利用(2)式，该状态下的空气密度1ρ为(1)/1/01111100010000=T p p p p T p p p p γγγρρρρ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(10) 相应地，输入到气缸中的空气质量为 5/756311051.4510=1.2240010 kg 0.63210 kg 1.0110m V ρ--⎛⎫⨯'=⨯⨯⨯=⨯ ⎪⨯⎝⎭(11)气缸的输出功率增加到的倍数为 5/75112500 1.4510 = 1.295 =1.301.0110m R m ρρ'⎛⎫⨯=== ⎪⨯⎝⎭(12)3）分别考虑气体经过涡轮增压器和中间冷却器两个过程中外界对气体所做的功. 涡轮增压为绝热压缩过程，从(4)式得,进入涡轮增压器的空气摩尔数为， 10.7030.02424mol 29.0m M ν=== (13) 据题设，75γ=，故 75p V VV C C R C C γ+=== ， 52V C R = (14) 式中V C 和p C 分别表示气体的定容摩尔热容量和定压摩尔热容量. 由(14)式可知，空气为双原子分子混合物. 对于绝热过程，由热力学第一定律有0Q U A ∆=∆+=， (15)此绝热压缩过程中外界做功W 1为1V 10()W A U C T T ν=-=∆=- (16) 由(8)(16)式和相关数据得0.40/1.4051551.45100.024248.31288.001 J 15.78 J 2 1.0110W ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪=⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭(17)[另一种解法：直接由功的定义式 d P V ⎰和绝热过程方程const.pV γ=，得111011111111111111110101=d d d 1-1p p p p p p p V W p V V p p pp V p nRT p p p p γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ-------==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰将(8)式的T 1代入上式得 1111001110001111RT RT p W p p p p γγγγγγγγννγγ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭(16) 代入相关数据得0.40/1.405150.024248.31288.0 1.45101 J 15.78 J 0.4 1.0110W ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭(17) ]气体经过中间冷却器的过程是等压降温过程，外界对气体的做功为 2101W p V V =--（） (18) 其中，1V 由(9)式确定 13431105100.024248.31288.0=1.1088 m 4.43610 m 1.4510Rp V T p p γγν--⎛⎫⨯⨯=⨯=⨯ ⎪⨯⎝⎭(19) 将(19)式代入(18)式，并利用相关数据得5442 1.4510(4.00010 4.43610) J 6.32 J W --=-⨯⨯⨯-⨯= (20)从而，经过涡轮增压器（绝热压缩过程）和中间冷却器（等压降温过程）两个过程，外界对气体做的总功为，1215.78 J 6.32 J 22.1 J W W W =+=+= (21) 气体经过涡轮增压器（绝热压缩过程）的熵变为1d 0QS T∆==⎰绝热 (22) 气体经过中间冷却器（等压降温过程）的熵变为 01p 0112p 100d d 71=l J n ln ln 0.07284 2/K T T C T T Q R p pS C R T T T p p ννγννγ-∆===-=-=-⎰⎰冷却 (23) [另一种算法：00012+00d d d ln ln 0.07J/K 284 V V V Q p V R V p S R R T T V V p ννν''∆====-=-=-⎰⎰⎰绝热冷却等温 推导中应用了等温过程方程002210p V p V pV '== . ]五、2018年诺贝尔物理学奖的一部分授予美国科学家阿瑟·阿什金对光捕获（光镊）所做的开创性工作. 光镊是用聚焦的激光束实现对微小颗粒的捕获，图a 所示为一种光镊实验装置示意图. He-Ne 激光器输出波长632.8 nm λ=的激光，光束直径1 1.5 mm D =，输出功率30 mW P =. 为了使得捕获效果更好，可在输出的激光束后加一个扩束镜. 激光束经反射镜反射后入射到一个焦距 4.0 mm f =的聚焦物镜，聚焦物镜将光束汇聚于样品池内蒸馏水液体中，样品池内液体中有一定数量的聚苯乙烯小球，聚苯乙烯小球经过激光聚焦光斑时有可能被光捕获. 已知小球的直径b 2.0 μm D =，密度为33b 1.010 kg m ρ-=⨯⋅，样品池光学玻璃材料折射率g 1.46n =，池内蒸馏水折射率w 1.33n =，样品池底部玻璃厚度1.0 mm d =，池底部外表面到聚焦物镜中心的距离2.0 mm a =实验时温度300 K T =，空气折射率a 1.0n =，重力加速度29.80 m s g -=⋅，玻尔兹曼常量231B 1.3810 J K k --=⨯⋅.1）求不加扩束镜时激光束在空气中经聚焦物镜聚焦后聚焦光斑的直径；2）为了提高捕获效果，对输出激光束进行扩束，采用的扩束镜由一个焦距1 6.3 mm f =-的凹透镜和焦距225.2 mm f =的凸透镜组成，求两个透镜之间的距离和扩束后的平行激光束的直径2D ；3）将扩束后的激光束经图a 所示聚焦物镜聚焦于样品池内蒸馏水中，求在傍轴近似下聚焦光斑中心到样品池底部内表面距离和聚焦光斑的直径； 4）图b 为浸没在蒸馏水中的小球在梯度光强（简化成强度不同的两束光）中受力的几何光学模型，入射光线L 1和L 2沿x 轴方向，其光功率分别为1 1.0 mW p =和2 2.0 mW p =，光线经小球折射后其方向与x 轴的夹角如图b 所示，不考虑光线在传播过程中的吸收和反射损耗，求小球在x 方向和y 方向所受到的力，并分别求其与小球重力之比； 5）求室温（300 K ）下蒸馏水中小球的方均根速率；6）光镊也可以通过光势阱模型理解，平行激光束经透镜聚焦后在径向ˆr的光势阱分布为 图a图b. 小球在梯度光强中的受力分析简化模型2021, ()0 r U r bU r b r b ⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩当，当上式中，00.078 eV U =，b 是常量，r 是到对称轴的距离. 试问速率不超过多大的小球才能被光势阱捕获？7）已知聚苯乙烯小球的速率分布函数可表示为：2B 3222B ()4π2πm k Tm f e k T -⎛⎫= ⎪⎝⎭v v v 式中，m 和v 分别是小球的质量和速率，T 是绝对温度；试分析比较质量分别为m 和2m 的聚苯乙烯小球被光势阱捕获的概率大小.参考答案：1）He-Ne 激光器输出激光的波长632.8 nm λ=；聚焦物镜焦距 4.00 mm f =. 当输出激光束截面直径1 1.50 mm D = 时，聚焦光斑大小受到圆孔衍射限制，其光斑大小为o112 1.222 1.220.6328μm4.00mm 4.12μm 1.50mmD f R λ⨯⨯⨯==⨯= (1) 2）扩束镜由一个焦距1 6.3 mm f =-的凹透镜和焦距225.2 mm f =的凸透镜组成，两个透镜距离为：12 6.3 mm 25.2 mm 18.9 mm l f f =+=-+= (2) 扩束后，激光束得直径为：221125.2 1.5 mm 6.0 mm 6.3f R R f ==⨯=- (3) 3）在傍轴近似下，样品池中聚焦点位置可以通过二次折射成像公式求得. 利用折射成像公式，扩束后的激光束经聚焦物镜进入样品池底部玻璃表面时，首先在样品池底部外表面一次成像，其成像位置1i 满足g g a a 111n n n n o i r -+= (4) 式中，1o 为物距，由于底部外表面距离聚焦物镜 2 mm x =，聚焦物镜焦距 4.0 mm f =，所以1 2 mm o =-， 1r =∞，由此得g 11a1.46 2 mm2.92 mm ni o n =-=⨯= (5)激光束在样品池底部内表面二次折射成像的位置2i 满足g w gw 222n n n n o i r -+= (6)式中，2o 为物距，在这里相对于底部内表面，21 2.921 1.92 mm o o h =-=-=，由于此时物是虚的，所以2o 取负值，也就是2 1.92 mm o =-，2r =∞，由此得w 12g 1.331.92 mm 1.75 mm 1.46n i o n =-=⨯= (7) 样品池中聚焦点位置到样品池底部内表面的距离为1.75 mm .扩束后激光束直径2 6.0 mm D =，经聚焦透镜聚焦于样品池内蒸馏水中时，由几何关 系可知，在样品池底部外表面光束直径等于2/2D ，在样品内表面光束直径可以表示为 g 2W g211.97 mm 22n D D n -== (8)液体中激光焦点处光斑的直径为 22W W 2 1.222 1.220.6328μm 1.75 mm 1.03 μm 1.33 1.97 mmo D i n D λ⨯⨯⨯==⨯=⨯ (9)[或2a 22 1.222 1.220.6328μm4.0mm 1.03 μm 1.0 6.0 mmo D f n D λ⨯⨯⨯==⨯=⨯ (9)实际上， 222a 21W W W a 22W 12 1.222 1.222 1.22()o i i D f n i o D n n n D D f n o λλλ⨯⨯⨯===-⎛⎫ ⎪-⎝⎭]分别考虑光线在样品池底部内外表面折射对光斑大小影响，光在样品池内外表面的放大倍数分别为111 2.9211.462a g n i V n o =-==⨯ (9) 2221.46 1.7511.33 1.92g w n i V n o ⨯=-==⨯ (10) 所以样品池底部内外表面折射对聚焦光斑大小的影响实际上可忽略.4）在蒸馏水中，功率为P 的光束在t ∆时间内携带的动量可以表示为： W W Wn h pn thp t p Nh cλνλ∆∆===(11)式中N 是在t ∆时间内通过光束横截面的光子数. 光束L 1的初始动量为：1W 1i p n tc ∆=p i(12)这里i 是x 轴方向的单位矢量. 光束L 2的初始动量为：2W 2i p n tc ∆=p i(13)经小球两次折射后，光束L 1的动量为：1W 1W 1cos15sin15f p n t p n tc c ∆∆=︒+︒p i j(14)经小球两次折射后，光束L 2的动量为：2W 2W 2cos15sin15f p n t p n tc c ∆∆=︒-︒p i j (15)经小球折射后，光束动量的改变为121212W 12W ()()()(cos151)()sin15 l f f i i p p n t p p n tc c∆=+-++︒-∆-︒∆=+p p p p p i j(16) 小球动量的改变为12W 21W b ()(1cos15)()sin15l p p n t p p n tc c +-︒∆-︒∆∆=-∆=+p p i j(17)小球受到的光力（光强梯度力）作用：b 12W 21Wb ()(1cos15)()sin15p p n p p n tc c ∆+-︒-︒==+∆p F i j(18) 12b (0.45 1.15)10N -=+⨯F i j (19)在光强梯度力作用下，小球分别受到一个沿x 正方向和y 正方向的力.小球重力大小为318314b b 44π 3.14 1.010109.8 4.1110 N 323D mg ρ--⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭ (20)小球在x 方向和y 方向所受到的光力与其重力之比分别为：12140.451010.94.1110x η--⨯==⨯ (21)12141.151028.04.1110y η--⨯==⨯ (22)5）在水中，常温（300 K ）下，小球的平均动能为232131.5 1.3810300 6.2110J 2k E kT --==⨯⨯⨯=⨯ (23) 小球的方均根速率为31.7210m/s p -=⨯v (24) 6）设速率不超过m v 的小球才能被光势阱捕获，由能量守恒有2min 102mm U +=v (25) 式中2min00014y y U U U =⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ (27)由(25)(26)式得，最大捕获速度为32.4410m/s m -==⨯v(28)7）聚苯乙烯小球能够被捕获的概率可表示为2B 3222B 0()d 4πd 2πmmm k T m P f e k T -⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰v v v v v v v (29)设pv 有22p2p pdmP e-⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎭⎝⎭⎰vvvv vv v(31)令px=vv聚苯乙烯小球被被光势阱捕获的概率可表示为22dxP e x-= (32)由(31)式可知，概率P与0U和温度T有关，而与m无关.因此，质量为m的聚苯乙烯小球和质量为2m的聚苯乙烯小球被光势阱捕获的概率m P和2mP相等，即2m mP P= (33)六、仰望星空可以激发人们无限的想象. 随着科学与技术的进步，人们对宇宙的认识不断加深，随着中微子丢失之谜的破解，引力波的直接探测，以及近期黑洞照片的拍摄，引起了大众对探索宇宙的广泛兴趣. 人类是如何利用有限设备观察研究浩瀚的宇宙以及宇宙重要组成部分——恒星的呢？具有高中物理基础的公众是否有可能定量理解恒星的内外性质，如大小、质量、年龄、寿命、组成部分、产能机制等等？本题以我们赖以生存的恒星——太阳为例，按照历史脉络，试从简单到复杂构建起太阳模型. 由于不能直接观察太阳内部，所建的模型需要多角度的检验，如年龄、半径、表面温度、能量输出、中微子通量等等，都需要在同一个模型下相互自洽.已知地球半径为6370 km ，万有引力常量G = 6.67⨯10-11 N ⋅m 2⋅kg -2，斯忒藩-玻尔兹曼常量σ = 5.67⨯10-8W ⋅m -2⋅K -4，玻尔兹曼常量 k B = 1.38⨯10-23 J ⋅K -1，电子电量e = 1.602⨯10-19 C ，电子质量m e = 0.51 MeV/c 2， 质子质量m p = 938.3 MeV /c 2，氘核质量m D = 1875.6 MeV /c 2， 3He 核质量m 3He = 2808.4 MeV /c 2，4He 核质量m 4He = 3727.5 MeV /c ，光在真空中的速度813.0010 m s c -=⨯⋅2．1）成书于两千多年前的《周髀算经》（原名《周髀》）介绍了测量太阳直径D 与日地距离S 日地（也称1个天文单位）比值的方法：取一根长竹竿，凿去竹节使其内部贯通，竹竿的内直径为d . 用这根竹竿对准太阳，改变竹竿长度L ，使太阳盘面刚好充满竹竿内管. i ）给出太阳视角（/D S Φ=日地）与d 和L 的关系；ii ）为了减少误差需要L 足够长，此外还有哪些方法可以减少误差？ iii ）测得1d =寸，8L =尺 (10寸为一尺)，试估算Φ的值.2）在某些特殊时间（如2012年6月6日），地球、金星和太阳几乎在一条直线上，这时从地球上观测，金星就像一个小黑点镶嵌在太阳盘面上，并缓慢移动，这称为金星凌日，如图a 所示. 英国天文学家哈雷曾在1716年建议在世界各地联合观察金星凌日以测量太阳视角和日地距离. 已知地球和金星同向绕日公转周期分别为365.256天和224.701天，各自的轨道平面之间的倾角很小. 不考虑地球自转.i ）地球和金星的公转轨道均可视为圆，求日金距离S 日金与日地距离S 日地之比VE r ； ii ）2012年6月6日，某地观察到金星凌日现象如图a ，试计算金星凌日扫过太阳盘面弦长P D 与日地距离S 日地的比值；若此弦与盘面圆心之间的距离是P =5/16h D , 则太阳视角Φ为多少？图a. 2012年6月6日金星凌日过程示意图iii ）为了测量日地距离需要在地球表面不同地点分别观察金星凌日现象，如图b 所示. 假设在地面同一经度上直线距离（在垂直于观测方向上的投影）为H 的两位观察者P 和P'同时观察金星凌日现象，对于P 而言，金星在太阳盘面上的运动轨迹为AB ，观察到的金星凌日时间（金星中心扫过太阳盘面的时间间隔）为P t ；而对于P'而言，金星在太阳盘面上的运动轨迹为A'B'，观察到的金星凌日时间为P t '.试求日地距离S 日地的表达式（用VE p p Φr T T t t '地金、、、、、和H 等表示）.iv ）已知北京和香港的纬度分别为39.5︒和22.5︒， 2012年6月6日北京和香港的金星凌日时间分别为P 6:21:57t =和 P 6:19:31t '=，试以此数据，利用iii ）小题的结论，计算日地距离S 日地3）1882年的金星凌日观测结果得出平均日地距离81.510km S =⨯日地，太阳直径D =1.4⨯106 km. 地球在垂直于太阳辐射方向上接收到的太阳辐射照度I = 1.37 kW ⋅m -2. 求 i ）单位时间内，地球从太阳接收到的总能量；ii ）全球70亿人口消耗掉的能源与地球接收到的太阳能量之比（按人均年消耗能源3吨标准煤，1kg 标准煤可以发电4度电计算）； iii ）太阳单位时间辐射的总能量； iv ）估算太阳表面温度 .4）i ） 计算太阳的总质量与平均密度；ii ）若太阳能源来自化学反应，设单位质量放出的能量与煤相当，则以太阳现在单位时 间辐射的能量计算，可以持续多久？太阳作为恒星存在约50亿年以上，那么其产能效率应该是化学反应效率的多少倍？5）通过光谱分析可知太阳的主要成分是氢，涉及氢的基本核聚变反应式如下 P + P → D + e + + νe （a ） D + P → 3He + γ （b ） 3He + 3He → 4He + P + P （c ）上述核聚变反应过程中产生的正电子将会湮灭，中微子将逃逸；原子核均带正电，相互排斥，只有温度很高时，其动能有可能克服库仑排斥力，从而实现聚变反应. 当温度足够高时，所有原子均电离成了原子核和电子，处于等离子体状态.（在此不考虑中微子带走的能量，也不考虑由于太阳风带走的未聚变的氢. ）i ）要维持太阳的辐射，单位时间需要消耗多少个质子（氢核）？ii ）现在太阳质量的71%是氢，按照此消耗速率，最多还可以维持多少年？并计算单位时间质子-质子的反应概率（单位时间反应的粒子数与总粒子数之比）PP P ；iii ）逃逸出的中微子的数目在传播过程中不会减少，单位时间在垂直于太阳辐射方向图b. 金星凌日示意图地球' B。

第26届全国物理竞赛决赛试题理论部分及标准答案一、填空题（每题5分，共20分）1.某光滑曲面由曲线()y f x =绕竖直y 轴旋转一周形成，一自然半径为a 、质量为m 、劲度系数为k 的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度，则曲线方程为 。

参考答案：222()y C x a mgπ=--（C 为任意常数）。

2.如图所示的电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中的投影模型（可视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来），若该结构中每条棱均由电阻R 的材料构成，则AB 节点间的等效电阻为 。

参考答案：712R 3.某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500nm 的光，它是由5000个小眼构成的复眼，小眼一个个密集排放在眼睛的整个表面上，小眼构造很精巧，顶部有一个透光的圆形集光装置，叫角膜镜；下面连着圆锥形的透明晶体，使得外部入射的光线汇聚到圆锥顶点连接的感光细胞上（入射进入一个小眼的光线不会透过锥壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点”（像素）；所有小眼的影像点就拼成了一个完整的像。

若将复眼看作球面圆锥，球面半径1.5r mm =，则蜜蜂小眼角膜镜的最佳直径d 约为（请给出两位有效数字） 。

参考答案：30m μ4.开路电压0U 与短路电流SC I 是半导体p-n 结光电池的两个重要技术指标，试给出两者之间的关系表达式：0U = ，式中各符号代表的物理量分别为 。

参考答案：0ln 1SCS I kT U e I ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，式中e 为电子电量的绝对值，k 为波尔兹曼常量，T 为绝对温度，S I 为p-n 结的反向饱和电流。

评分标准：本题共20分。

第1、2题每题填对均得5分，第3题只要答案在27-30m μ之间即得5分，否则0分。

第4题第一空格占4分，第二空格占1分。

二、（15分）天体或微观系统的运动可借助计算机动态模拟软件直观显示。

这涉及几何尺寸的按比例缩放。

为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运动时间也应缩放。

第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分.一、选择题.本题共5小题，每小题6分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.1.下列说法正确的是：A.一束单色光从真空射入玻璃时，在玻璃表面处发生折射现象，这与光在玻璃中的传播速度不同于在真空中的传播速度有关B.白纸上有两个非常靠近的小黑斑，实际上是分开的，没有重叠部分.但通过某一显微镜所成的象却是两个连在一起的没有分开的光斑，这与光的衍射现象有关C.雨后虹的形成与光的全反射现象有关D.老年人眼睛常变为远视眼，这时近处物体通过眼睛所成的像在视网膜的前方（瞳孔与视网膜之间），故看不清2.图中A、B是两块金属板，分别与高压直流电源的正负极相连.一个电荷量为q、质量为m的带正电的点电荷自贴近A板处静止释放（不计重力作用）.已知当A、B两板平行、两板的面积很大且两板间的距离较小时，它刚到达B板时的速度为u0，在下列情况下以u表示点电荷刚到达B板时的速度A.若A、B两板不平行，则u<u0B.若A板面积很小，B板面积很大，则u<u0C.若A、B两板间的距离很大，则u<u0D.不论A、B两板是否平行、两板面积大小及两板间距离多少，u都等于u03.α粒子和β粒子都沿垂直于磁场的方向射入同一均匀磁场中，发现这两种粒子沿相同半径的圆轨道运动.若α粒子的质量是m1，β粒子的质量是m2，则α粒子与β粒子的动能之比是A.m2m1B.m1m2C.m14m2D.4m2m14.由玻尔理论可知，当氢原子中的核外电子由一个轨道跃迁到另一轨道时，有可能A.发射出光子，电子的动能减少，原子的势能减少B.发射出光子，电子的动能增加，原子的势能减少C.吸收光子，电子的动能减少，原子的势能增加D.吸收光子，电子的动能增加，原子的势能减少5.图示两条虚线之间为一光学元件所在处，AB为其主光轴.P是一点光源，其傍轴光线通过此光学元件成像于Q点.该光学元件可能是A.薄凸透镜B.薄凹透镜C.凸球面镜D.凹球面镜二、填空题和作图题.把答案填在题中横线上，或把图画在题中指定的地方。