电磁场与电磁波-课后答案(冯恩信-著)

第一章 矢量场1.1 z y x C z y x B z y xA ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=求:(a) A ； (b)； (c)； (d)； (e)(f)解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x BB b -+==( c) 7=⋅B A ; (d) z y xC B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯(e)z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯(f)19)(-=⋅⨯C B A1.2;求:(a) A ； (b)； (c)； (d); (e)B A+ 解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ;(c) 43-=⋅πB A (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπ(e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ1.3;求:(a) A ； (b)； (c)； (d); (e)解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=r b； (c) 22π-=⋅B A；(d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯rA B ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A 1.4 ;当时，求。

解：当时，=0, 由此得 5-=α1.5 将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

解：(1)圆柱坐标系由(1.2-7)式，ϕϕϕρsin ˆcos ˆˆ1-==xF ;ϕϕϕρcos ˆsin ˆˆ2+==y F(2)圆球坐标系由(1.2-14)式, ϕϕϕθθϕθsin ˆcos cos ˆcos sin ˆˆ1-+==r xFϕϕϕθθϕθcos ˆsin cos ˆsin sin ˆˆ2++==r yF1.6 将圆柱坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2ˆsin 2ˆcos 2ˆ2221y y xx yx y x F ++=+==ϕϕρ)ˆˆ(3ˆcos 3ˆsin 3ˆ3222y x xy yx y x F +-+=+-==ϕϕϕ1.7将圆球坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-15)式，)ˆˆˆ(5)ˆcos ˆsin sin ˆcos (sin 52221z z y y xx zy x z y xF ++++=++=θϕθϕθ)ˆsin ˆsin cos ˆcos (cos 2z y x F θϕθϕθ-+= 22222ˆˆˆˆˆˆˆz y x z z y y xx y x y x x y r ++++⨯++-=⨯=ϕ}ˆ)(ˆˆ{112222222z y x y yz xxz yx z y x +-++++= 1.8求以下函数的梯度：(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6 (b) (c)解：(a) z x y x x z y fˆˆ10ˆ)105(-+-+=∇ (b)z z f ˆˆcos 2ˆρϕρϕρ-+-=∇ (c) ϕθθθθˆsin 5ˆsin 2ˆcos 2r rf --=∇ 1.9 求标量场在点(1,1,1)沿)ˆˆ(21y x l -= 方向的变化率。

解：)(21ˆx y l f l f -=⋅∇=∂∂1.10 在球坐标中，矢量场为其中为常数，证明矢量场对任意闭合曲线的环量积分为零，即解：由斯托克斯定理, ⎰⎰⎰⋅⨯∇=⋅slS d F l d F 因为0)ˆ(2=⨯∇=⨯∇r rkF 所以1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。

1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。

1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。

1.14计算下列矢量场的散度a)b) c)解：(a) z x F +=⋅∇(b) ϕρcos 2zF +=⋅∇(c)θθθsin sin cos 42-+=⋅∇r F1.15计算下列矢量场的旋度 a) b)c)解： (a)z x x y F ˆˆ2--=⨯∇(b) ∧=⨯∇z F ρϕsin (c) )ˆˆsin ˆcos 2(1ϕθθθ+-=⨯∇rrF 1.16计算 a)b)c)解：(a) ;ˆˆˆˆρϕρϕρρρ=∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇z z ;ˆsin ˆˆˆr r r r r r =∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇ϕθϕθθ kr kr kr kr ke rr ke kr e e ˆ)(=∇=∇=∇ (b) ;2)(1=∂∂=⋅∇ρρρρρ ;3)(122=∂∂=⋅∇r r r r rkr krkr kr kr ke rk e k k e e k e k ˆ)(⋅=∇⋅=⋅∇+∇⋅=⋅∇ (c) ϕρρˆ)ˆ(;0;0=⨯∇=⨯∇=⨯∇z r1.17已知，计算解：0)(;ˆ2=⨯∇⋅-=⨯∇A A zA1.18已知计算解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⨯∇F，所以0=A⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅∇=ΦVV r dz dy dx R z y x dV R r F r πδδδππ41''')'()'()'(41')'('41)(24ˆr r F π=Φ-∇=1.19已知计算解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⋅∇F，所以0=Φrzdz dy dx R z z y x dV R F A V V πδδδππ4ˆ'''ˆ)'()'()'(41''41==⨯∇=⎰⎰⎰⎰⎰⎰24ˆˆ)ˆ1ˆ1(41ˆ41r r zz r z r r z A F πππ⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇= 1.20求矢量场z z F ˆˆˆ++=ϕρρ穿过由确定的区域的封闭面的通量。

解：根据高斯定理，矢量场z z F ˆˆˆ++=ϕρρ穿过由l z ≤≤≤≤≤0,0,1πϕρ确定的区域的封闭面的通量⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅=ψSVdVF S d F因为 31)(1=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇zF F F Fzϕρρρρϕρ所以⎰⎰⎰==⋅∇=ψVlV dV F 2332π第二章习题解2-1.已知真空中有四个点电荷，，，，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。

解：设zrˆ=,y r x r y r x r ˆ',ˆ',ˆ',ˆ'2321-=-=== z y r r R z x r r R z y r r R z xr r R ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ'44332211+=-=+=-=+-=-=+-=-=84ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(41024442333222221110πεπεz y x R R q R R q R R q R R q E ++=+++=2-2.已知线电荷密度为的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。

(a) (b) (c)题2-2图解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E(b) 由对称性0321=++=E E E E(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为yay x y x a E E E ll a ˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(40021περπερ-=--+-=+= 半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为y a E lb ˆ20περ=总电场为0=+=b a E E E2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为，求轴线上的电场强度。

解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ϕad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为ϕρρad s l =,对ϕ积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为y d x y a d r a E ss s ˆ)ˆcos ˆsin (22ˆ00000⎰⎰-=--==πππερϕϕϕπερπεϕρ 题2-3图 题2-4图 2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为，求空间任一点上的电场强度。

解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dx s l ρρ=，在点),(y x 处产生的电场为 ρρρπε'ˆ21),(0dx y x E d s =其中 22)'(y x x +-=ρ；22)'(ˆˆ)'(ˆyx x y y xx x +-+-=ρ对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为 )}2/2/(2ˆ)2/()2/(ln ˆ{4),(22220y a x arctg y a x arctg y ya x y a x x y x E s --+++-++=περ 2-5.已知电荷分布为r 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。

求电场强度。

解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理⎰⎰=⋅sq S d E 0ε等式左边为 r sE r S d E ⎰⎰=⋅24π半径为 r 的球面内的电量为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=ar ba a a r a r q ;554;542325ππ 因此，电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=a r rba a a r a r E r ;55;52023203εε2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为r 为场点到z 轴的距离，a 为常数。

求电场强度。

解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理⎰⎰=⋅sq S d E 0ε等式左边为 r sE r S d E ⎰⎰=⋅π2半径为 r 的圆柱面内的电量为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a r a a r ar q ;32;3223ππ 因此，电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a r ra a r a r E r ;3;3022εε 2-7. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。

解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为⎩⎨⎧><=a x aS a x xS q ;2;200ρρ因此，电场强度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a x a a x xE x ;;0000ερερ 题2-9图题2-7图2-8. 在直角坐标系中电荷分布为求电场强度。

解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为 ⎩⎨⎧><=a x S a a x S x q ;;22因此，电场强度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<=ax a a x x E x ;20;202002ερερ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<<--=a x a x a x E x ;20;20202εε2-9.在电荷密度为（常数）半径为a 的带电球中挖一个半径为b 的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c<a)。