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练习: 用>,<填空
(1) lg 6 _<_ _ lg 8 ( 2 ) lo g 0.5 6 _ <_ _ lo g 0.5 4 (3 ) lo g 1.5 1 .6 _>_ _ lo g 1.5 1 .4
( 4 ) l o g 0 .9 0 . 3 _ >_ _ 0 ( 5 ) l o g 7 0 . 9 _ _ <_ _ 0 ( 6 ) l o g 3 _ _>_ l o g 3
解：⑴ 考察对数函数y = log2x,因为它在(0,+∞)
上是增函数,所以log 23.4＜log 28.5 ⑵ 考察对数函数 y = log0.3x,因为它在(0,+∞)上 是减函数,所以 log0.31.8＞log0.3Байду номын сангаас.7
(3 )lo g a 5 .1 ,lo g a 5 .9(a > 0 且 a 1 )
一般地，函数y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量， 定义域是（ 0 ，+∞)
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图
象
o (1, 0)
0<a<1
y
（1, 0) o
x
(1) 定义域： (0,+∞)
性
(2) 值域：R
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(3 )lo g a 5 .1 ,lo g a 5 .9(a > 0 且 a 1 )
分析: 对数函数的增减决定于底数a是大于1还是小于 1因此需要对底数a进行讨论
当a>1时,因为函数logax在 (0,+∞) 上是增函数 且5.1>5.9, 所以loga5.1<loga5.9 当0<a<1时,因为函数logax在(0,+∞) 上是减函数 且5.1>5.9, 所以loga5.1>loga5.9

log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log 2 0.8 log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
3
3
log1.5 6 ＜ log1.5 8
log1.5 m ＜ log1.5 n 则 m ＜ n
比较下列各组中两个值的大小:
o
x
y=log1/2x
y
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y … 3 2 1 0 -1 -2 -3 …
o
x
画出函数 y log 2 x与 y log 1 x的图像．
y
2
y log 2 x
o
x
y log 1 x
2
对数函数y=logax 0,a≠1)
性质a ＞ 1
图y
(a＞ 的图象与
4.2.3 对数函数的性质与 图像
引例：对数函数的引入：
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个 分裂为4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的
细胞个数设为y,则y与x的函数关系式为：Y=2x
问题2：某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分 裂为4个……如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约 可以得到1万个，10万个……细胞，那么分裂次数x就 是要得到的细胞个数y的函数。由对数的定义，这个
对数函数 y log 3 x和y log 1 x的图象。
3
y 2
1 11 42
0 1 23 4 -1 -2
y log 2 x
y log 3 x
x
y log 1 x
3
y log 1 x
2
y
y log a1 x y log a2 x

“底大图低”，可知 > .故选B.
【变式】画出函数 = |2 ( + 1)|的图象，并写出函数的值域和单调区间.
解：由图可知,其值域为[0, +∞),单调递增区间
为[0, +∞)，单调递减区间为(−1,0).
题型二：比较对数值的大小
【例2】.比较下列各组数的大小.
3
4
(1)5 ，5 ；(2)1 2，1 2；
解（2）：考察函数y=log 0.3 x ,
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（3） log a 5.1与 log a 5.9 （a＞０，且a≠１）
解（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的
人教A版2019必修第一册
第 4章 指数函数与
对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
目录
1
学习目标
2
新课讲解
3
课本例题
4
课本练习
5 题型分类讲解
6
随堂检测
7
课后作业
学习目标
1.通过具体对数函数图象，掌握对数函数的图象和性质
特征，并能解决问题。
2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。
情境导入
净水的pH 值.
解： (2)当[ H ] 107 时，pH lg 107 7.
即纯净水的pH是7.
国家规定，饮用纯净水的pH应该在5.0 ～ 7.0之间.
lg[ H ],

例2:求下列各式中x的值 ：
2
(1)log x 当
时，
64
3 恩格斯把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一.
一般地，如果
，那么数
叫做以 为底N的对数，记作
(2)logx 86
求真数
(3)lg100 x 以 为底的对数
叫做以 为底N的对数，记作 数x叫做以 为底N的对数，记作
(4)lne2 x
• 答：2的3次方等于8，是乘方运算，表示为：2 3 = 8 .
• ② 8，3两个数通过什么运算可以得到2？如何表示？
• 答：8的3次方根等于2 是开方运算，表示为：3 8 = 2 .
• ③ 2，8两个数通过什么运算可以得到3？如何表示？
1 .0 1 x 1 8 x? 怎么办？怎么办？
13
二．探索新知
底数 对数 真数
两个重要对数：
1、常用对数：以10为底的对数
log10 N 简记为 l g N
2、自然对数：以e为底的对数 (e≈2.71828…)
了吗？
三．例题讲解与课堂练习
例1:将下列指数式写成对数式，对数式写成 指数式：
解：（1） 54 625 4 = log 5 625
-2
= x 3 3 3 3 Napier也是一位天文爱好者，经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数.
6 4 x 64 ( ) 例2:求下列各式中x的值 ：
4 （1）指对数的互化关键是抓住对数式和指数式的关系，弄清楚各个量在对应式子中扮演的角色。
注意：①底数的限制:a>0且a≠1
例 题 解
叫做以 为底N的对数，记作
4 2 1 16
（2） log x 8 6

由图知，函数 y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增 区间为(－1，＋∞)．
【答案】 略
(2)当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax 恒成立，则 a 的取值 范围是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(1,2]
D．(0，12)
【解析】 设 f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当 x∈(1,2) 时，不等式(x－1)2<logax 恒成立，只需 f1(x)＝(x－1)2 在(1,2)上的 图像在 f2(x)＝logax 的下方即可．(如图所示)
3．设 y＝loga(x＋2)(a>0 且 a≠1)，当 a∈________时 y 为减 函数；这时当 x∈________时，y<0.
答案 (0,1) (－1，＋∞) 4．(1)若 loga3<logaπ，则 a 的范围是________． (2)若 log3a<logπa，则 a 的范围是________．
【思路】当 x∈[3，＋∞)时，必有|f(x)|≥1 成立，可以理解 为函数|f(x)|在区间[3，＋∞)上的最小值不小于 1.
【解析】 当 a>1 时，对于任意 x∈[3，＋∞)，都有 f(x)>0. 所以|f(x)|＝f(x)，而 f(x)＝logax 在[3，＋∞)上为增函数， ∴对于任意 x∈[3，＋∞)，有 f(x)≥loga3. 因此，要使|f(x)|≥1 对于任意 x∈[3，＋∞)都成立． 只要 loga3≥1＝logaa 即可，∴1<a≤3.
由对数函数的性质可知 0<logab<1，logba>logbb＝1.
∵log1ba＝log1a1b＝－log1ab，

∴
1－x＞0， x＜1，
∴－1＜x＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)．
5－x＞0， (2)要使函数式有意义，需 x－2＞0，
x－2≠1，
x＜5， ∴ x＞2，
x≠3，
∴2＜x＜5，且 x≠3.
∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5).
20
4.4.1 对数函数的概念 课堂小结
1. 对数函数概念 2. 对数函数的特征
4.4.1 对数函数的概念 变式训练
2、点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则
—14
n=______.
解：设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,所以a-3=8,
则a=
8-
1 3
1 2
17
4.4.1 对数函数的概念 典型例题——对数函数型的定义域
10
4.4.1 对数函数的概念 情景导入 阅读课本130-131页，思考并完成以下问题 1. 对数函数的概念是什么？ 2. 对数函数解析式的特征？
11
4.4.1 对数函数的概念 研探新知 知识点一 对数函数的概念 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数， 其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
解：
①由题意设f(x)=logax(a>0,且a≠1),由函数图象过点（ 可得f(4)= 1
4，1 ） 2
即loga4=
1 2
2
1
,所以4=a2 ,解得a=16,故f(x)=log16x.
②方程f(x)=2,即log16x=2
所以x=162=256.

习
2
2．作出下列函数的图像并判断它们在 (0,) 内的单调性．
(1) y log3 x ；
(2) y log1 x ．
3
智利的复活节岛上矗立着600多尊巨人石像，石像一般高7—10米， 重达30—90吨，都是由整块的暗红色火成岩雕凿而成的.美国科学家在 科考中使用的是“放射性碳年代鉴定法”进行考察与研究。
2
演示
1．函数图像都在 y 轴的 ，
2．函数图像都经过点
；
3．函数 y log2 x 的图像自左至右呈
函数 y log1 x 的图像自左至右呈
2
趋势； 趋势．
整体建构 理论升华
对数函数 y loga x a<0且a 1 具有下列性质：
1 函数的定义域是 (0, ) ．值域为, ；
2
函数图像经过点(1,0)；
. .
运用知识 强化练习
练习4.4.1
1．选择题
（1）若函数 y loga x 的图像经过点 2, 1 ，则底 a =( )．
练
A 2 B −2
C1 2
D 1 2
（2） 下列对数函数在区间(0,+ )内为减函数的是( )．
A y lg x B y log1 x C y ln x D y log2 x
设该物质最初的质量为 1，衰变 x 年后，该物质残留一半，则
0.84x 1 ， 2
于是
x
log
0.84
1 2
≈4（年）．
即该物质的半衰期为 4 年．
巩固知识 典型例题
例 碳-14的半衰期为5730年，古董市场有一幅达·芬奇的 绘画，测得其碳-14的含量为原来的94.1％，根据这个信息， 请你从时间上判断这幅画是不是赝品.

(4) g＝log3x -1；
将 函 数 y ＝ log3x 的 图 象 向下平移1个单位， 即得y＝log3x－1的图象.
数学建构：
平移变换：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(x＋a)的图 象关系为左右平移； 2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(x)＋a的图 象关系为上下平移；
平移法则：左加右减，上加下减
y y＝log2x
x O
y＝－log2x
将函数y＝log2x的图象作关于x对称的图象， 即为函数y＝－log2x的图象．
数学建构：
对称变换：完全对称变换
1．函数y＝f(x)的图象与 函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
2．函数y＝f(x)的图象与 函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
3．函数y＝f(x)的图象与 到函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
将函数y＝log3x的图象向右 平移1个单位，即得h＝ log3(x－1)的图象.
将函数y＝log3x的图象向 左平移1个单位， 即 得 g ＝ log3(x ＋ 1) 的 图 象.
(3) g＝log3x +1；
将 函 数 y＝ log3x的 图 象 向 上 平移1个单位， 即得y＝log3x＋1的图象.
局部对称变换
1．y＝|f(x)|的图象是保留函数y＝f(x)的图象上 位于x轴上方部分，而将位于x轴下方部分作关于x 轴对称变换；
2．函数y＝f(|x|)的图象是保留y＝f(x)的图象上 位于y轴右侧部分，而将位于y轴右侧部分作关于 y轴对称变换； 注：任一偶函数y＝f(x)都可以表示为y＝f(|x|)形 式．
于C1，C2，C3，C4的a的值依次为
1.5 ,e ,0.5 ,0.2

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4.2 对数与对数函数 4.2.3 对数函数的性质与图像 第1课时 对数函数的性质与图像
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
考点
学习目标
核心素养
理解对数函数的概念，会 对数函数的概念
判断对数函数
数学抽象
初步掌握对数函数的图
对数函数的图像
直观想象、数学运算
像与性质
对数函数的简单 能利用对数函数的性质
数学建模、数学运算
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问题导学
预习教材 P24－P27 的内容，思考以下问题： 1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？ 2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪 些性质？
栏目 导引
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
对数函数
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