【大学课件】浙大数字信号处理课件第二章离散时间信号与系.pptx

az1)n
n
n0
第二章 Z 变 换
当|z|>a时，级数收敛，
X
(z)
1 1 az1
。该多项式之比表明，
X(z)在z=0处有一个零点， 在z=1处有一个极点。 我们把此时的
零、极点分布情况画于图2.1中， 而且以表示零点，以×表示极
点。图中打斜线的区域就是收敛域, 它包括了Z平面上|z|>a的整
能是n1<0和n2>0，这时z=0与z=∞都是极点，都不在其收敛域之内， 因而Z变换的收敛域为0<|z|<∞。
第二章 Z 变 换 2 右边序列是n小于某一个数值（如n1）时, x(n)=0的序列, 其Z变换
X (z) x(n)zn nn1
（2-6）
此级数的收敛域是一个圆的外部。为了正确确定该收敛域的具体 范围，我们假设它在z=z1 处绝对收敛，即
第二章 Z 变 换 2.2 Z 变 换
2.2.1 Z变换定义 序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn n
（2-1）
式中z为复变量。有时也将序列x(n)的Z变换记作Z［x(n)］。 式 （2-1）所示的Z变换常被称作双边Z变换，而将
X (z) x(n)zn n0
第二章 Z 变 换 定义为单边Z变换。十分明显，如果n<0时，x(n)=0，则其单边和 双边Z变换等效,否则就不等。有些教材只讲单边Z变换, 而我们主 要讨论双边Z变换。
个区域。
序列的性质决定了Z变换的收敛域。为了进一步搞清这种关 系，我们专门讨论几种特殊序列的情景。
第二章 Z 变 换
Z平面 Im
收敛 域
a
Re
图2.1 序列anu(n)的Z平面上的零、极点与收敛域

b
s
c
Xˆ a ( j)
0
s
G( j)
T
T 0 T
ya (t) F 1[Ya ( j)]
d
X a ( j)
xa (t)
0 c
c
取样内差公式(时域滤波进行分析)
讨论采样信号 xˆa (t) 通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。 理想低通G（j）的冲激响应为
g(t) 1
2
G( j)e jt d T
xp (t) xa (t)PT (t)
一般 很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入
信号在离散时间点上的瞬时值。
实际抽样与理想抽样
xa (t)
xa (t)
0
p (t)
1
0
t
p(t) T (t)
t
1
0
xˆa (t)
T
0
T
t
xˆa (t)
T
t
0
非理想采样
t
0
理想抽样
t
实际抽样与理想抽样
xa t xa t
分量。即 s 2h ，才能保证无混叠。
X a ( j)
Xˆ a( j)
h Ωh为最高频率分量
s
0
s
2s
表一些典型的数字信号处理系统
应用系统 地质勘探
上限频率 fmax 500Hz
采样频率 fs 1-2 kHz
生物医学 机械振动
语音 音乐 视频
1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz
２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
实际抽样：
xa t xa t • PT t

为求系数 a ~x(n) k
，
将上式两边乘以
e

j 2 N
mn
，
并对n在一个周期N中求和：
~ x(n)e [ ae ]e [ a]e N 1
n0
j2mnN 1N 1 j2kn j2mnN1 N1
N
N
N
k
k
n0k0
n0 k0
j2(km)n
?21 2[X(ej)X*(ej)] jXI(ej)
x(n)xe(n)xo(n)
X ( e j ) X R ( e j ) jI X ( e j )
X (ej) X e(ej) X o(ej)
§2.2 序列的傅立叶变换
X (ej)X e(ej)X o(ej)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
通信与信息工程学院 数字信号处理教学团队
Jean Baptiste Joseph Fourier 与傅立叶变换
Jean Baptiste Joseph Fourier生于 1768年3月21日法国奥克斯雷 （Allxerre）。
傅立叶级数的提出和完善 1807年 1829年
0,
n0 0,
n0
例2.2.3
序列的傅立叶变换性质：
6. 频域卷积定理 y(n)x(n)h(n)
Y(ej) 1 X(ej)Hej
2
1 X(ej)H(ej())d
2
7.时域卷积定理
y(n)x(n)*h(n)
Y ( e j ) X ( e j ) H e j
x(t)cos2(fct0),
f110Hz,10ra;d
fc 10Hz,0 0rad
f215Hz,2/3rad

第2章. 连续时间信号的离散处理
2.1、数字信号处理系统的基本组成
•大多数数字信号处理的应用中，信号为来自不同模拟信号源，这些模拟 信号(电压或电流)通常为连续时间信号。
•应用数字信号处理(DSP)主要有三个原因： 1)滤波：滤除信号中来自周围环境的干扰或噪声； 2)检测：检测淹没在噪声中的特定信号（如雷达或声纳系统中），当检测 到的信号超过给定的阈值则认为目标信号存在，反之认为不存在； 3)压缩：当信号转换到另外一个域后，在变换域上更容易分辨信息的重 要程度，对重要部分分配多的比特数，次要部分分配尽可能少的比特 数，达到压缩的目的(如DCT算法)。
的是离散时间信号。将连续时间信号转换成离散时间信号的过程叫抽样。
抽样可由称为A/D变换器的器件完成：
量化结果
声卡
5
模拟输入 xa (t)
Ts
抽样器
抽样输出
xˆa (t)
xˆa(t) xa(t)•P (t)
xa(t)(t nTs)
n
xˆa (t)
周期性抽样函数 P (t )
xˆa (t)
Ts
P(t) (tnTs)
是否可以根据抽样后的离散时间序列恢复原始信号？ •奈奎斯特抽样频率：能够再恢复出原始信号的最低抽样频率（使 抽样后的信号频谱不发生混叠的最低抽样频率，即信号最高频率的 二倍）
0 s/2 s2 0
•满足奈奎斯特抽样频率的抽样信号可由理想低通滤波器恢复出原 始信号。此后将推导这个过程。
xˆa(t) G (j )/g (t（ ) 低 通 y滤 (t) 波 xa） (t)
X a ( j)
xa
(t )e
jt dt
[xa
(t )
•
P
(t )]e

通常，X(z)可表示成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个k阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：
[例2-5]利用部分分式法，求
解：
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54 表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部
添加标题
证明：
添加标题
序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部 再乘以j。
证明：
七、序列为实序列的情况
8.实序列也有如下性质：
x(n)
02
|X(ejω)|
03
例2.设x(n)=R4(n)，比较x(n)和x(n-2)的傅里叶变换。
01
arg[X(ejω)]
4
双边序列可分解为因果序列和左边序列。 应先展成部分分式再做除法。
[例2-6] 试用长除法求 的z反变换。
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)
4-Z)
4Z+Z + —Z + —Z + —Z +
2
4
1
3
1
16
4
5
1
同样,对于级数 ，满足 的 ， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
(2).有限长序列
0 n (n)
（3）. 右边序列
x(n) n n1 ... *第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
收敛域
01
02
03
因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：
2
2
3

性延拓，因而采样信号xs(t)就包含了的原信号x(t)全部
信息。
重要结论
第三节 抽样定理
*带限信号抽样定理:
要想连续信号抽样后能够不失真的还原 出原信号，则抽样频率必须大于或等于两 倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是 奈奎斯特抽样定理。
第三节 抽样定理
二、如何从抽样信号恢复出带限信号x(t)
n
其中
1 g (t)
0
t
2
t


2
Ts
第二节 连续信号的离散化
xa (t)
抽样器
（电子开关） P(t)
T
xa (t)
xˆs (t)
fs

1 T
xˆs (t)
第二节 连续信号的离散化
理想抽样：当τ 趋于零的极限情况时，抽样脉冲
方波p(t)变成了冲激函数序列δT(t)，这些冲击函数 的强度准确地为采样瞬间的xa(t)幅值，这样的抽 样称为理想抽样。
余弦与正弦序列示意图如下：
第一节 离散时间信号
5、 用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列δ(n)表示成 加权和的形式，即

x(n) x(m) (n m) m
如:
a n x(n)
可表示为 0
10 n 10 其他
10
x(n) am (n m)
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟 信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。
第一节 离散时间信号
离散时间信号的时域表示 1） 表示离散时间信号可采用枚举的方式。例如
{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2， …}

• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面

）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换

Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n

x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az

例：已知序列x(n) R4 (n), 将x(n)以N 8为周期 进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
7
3
x(n)W8nk W8nk
n0
n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1e 8 e 8 e 8
X (0) 4 X (1) 1 j 2 1 X (2) 0 X (3) 1 j 2 1 X (4) 0 X (5) 1 j 2 1 X (6) 0 X (7) 1 j 2 1
可以看出X~ (k)的周期性：
X~ (k
mN
)
N 1 x~(n)e j(k mN
)
2 N
n
n0
N
1
x~(n)e
j
2 N
kn
X~ (k )
n0
周期为N的 x~(n)的离散傅立叶级数只有N个不同的系数X~ (k) 。
周期序列的离散傅立叶级数对(DFS)：
X~ (k )
N
1
x~(n)e
j
2 N
kn
n0
5
x(n)W6nk
n0
j 2 k
j 2 2k
14 12e 6 10e 6
j 2 3k
j 2 4k
j 2 5k
8e 6 6e 6 10e 6
X (0) 60 X (1) 9 j3 3 X (2) 3 j 3
X (3) 0 X (4) 3 j 3 X (运算的方便。
求解 X~ (k)系数：
1
N
e N 1
j
2 N
rn
n0
1 N
1 e j
2 N

x( n) cos( 0 n) j sin( 0 n) 由于n取整数e j ( 0 2M ) n e j 0 n 复指数序列e j 0 n是以2为周期的周期序列
6.正弦型序列
三、序列的周期性
• 已知序列x(n),如果对所有n存在一个最小的正整数
N满足x(n)=x(n+N),则称序列x(n)是周期性序列,且
h(m)
n N-1 n+n0
x(n-m)
n N-1 n+n0<0无重叠
x(m) n -n0 x(-m) n n0 n N-1 n+n0+N-1 n+n0> 0部分重叠 n n+n0 N-1 n+n0>= 0部分重叠
二、几种常用的序列
单 位 抽 样 序 列 单 位 阶 跃 序 列 矩 形 序 列 实 指 数 序 列 复 指 数 序 列 正 弦 型 序 列
y n
• • • • •
m
xmh(n m) x(n) h(n)

卷积和的运算在图形上可分为四步: 1.翻褶: 2. 移位: 3. 相乘: 4. 相加:
说明
• 离散系统的卷积和是求线性时不变系统输出响应的 主要方法, 表现为迭代法求解线性移不变差分方程.
例1
N 0 2K
周期即为 2 0
0
0 (3)当2 / 0是无理数时， 任何k都不能使N为整数， 此时的正弦序列不是周 期性的。
k
• 注意：无论正弦或是复指数序列是否为周期性序列, 数 0 皆称为它们的频率.
3.正弦抽样序列的周期讨论
x(t ) A sin(0t ) x(n) A sin(n0 )

数字信号处理
离散时间信号与系统
主要内容
1、知识回顾
…
2、离散时间信号与系统
常用序列及其运算 LTI系统的概念及其因果稳定性的判断 系统的差分方程描述及其求解 信号的采样与恢复
2
知识回顾
1、什么是信号？
——是信息的物理表现形式，是信息的载体。 根据载体的不同，信号可以是电的、磁的、声的、光的、机
4
周期信号和非周期信号（信号随时间变量变化的规律） ——信号波形按一定的时间间隔随着自变量周而复始的变化，而且无始
无终。 周期信号满足一下条件： 连续时间信号：x(t)=x(t+kT) 离散时间信号：x(n)=x(n+kN) k为整数，满足条件的最小正实数T或正整数N称为信号的周期
——不满足上述关系式的信号是非周期信号。
械的、热的等各种信号 ——在数学上可以表示为一个或几个独立变量的函数。 变量：时间、空间坐标、温度、压力…
本门课主要讨论一维时间信号。
3
2、信号的分类
确定性信号和随机信号（信号与时间的函数关系） ——确定性信号指信号在任意时刻的取值能精确确定，可以用 明确的数学关系式表示的时间函数 （如正弦信号）。 ——随机信号不能用确定的时间函数来描述，其函数（信号） 值具有随机性，只能用统计方法分析（如噪声）。
出均为离散时间信号。 ——数字系统：系统输入、输出均为数字信号。
18
第一节 常用序列及其运算
1.1 离散时间信号——序列
在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。
20
1.2 序列的运算
序列的运算包括移位、反褶、尺度变换、和、积、累加、差 分、卷积等。 1. 移位
——设某一序列x(n)，当n0 为正时，x(n-n0)是将x(n)沿n轴正方向平移n0 个序号，x(n+n0)是将x(n)沿n轴负方向平移n0个单位。n0为负时， 则相反。

t 单位是rad 定义模拟（角）频率，单位是rad/s， 定义数字频率，单位是rad，n单位是rad
将式 2f 和 f s 1/T s ，带入式 得到数字频率的另外一种形式
Ts
f 2 fs
这表明，数字频率是一个与取样频率有关的频率 度量，即数字频率是模拟频率用取样频率归一化后 的弧度数。 又被称为归一化频率。
n
n
x(n) e
jn
序列
6.正弦型序列
正弦型序列定义为
x(n) A cos(n )
为数字域频率,它表示序列变 式中，A为幅度， 为初相。 化的快慢速率，
对模拟正、余弦信号采样可以得到正、余弦序列。 例
xa t sin t
xn xa nT sin nT sin n
设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列
y(n)定义为
y ( n)
k
x(k )
n
即表示n以前的所有x(n)的和。
6.差分 前向差分（先左移后相减）
x(n) x(n 1) x(n)
后向差分（先右移后相减）
x(n) x(n) x(n 1)
7、尺度变换( yn xmn 抽取、插值） 是 xn 序列每m点取一点形成的，即时间轴压缩了 m倍。 例 m=2 时
x x(n), n
只有当 n 为整数时，序列 x(n) 才有一定 的数值，而对于非整数的 n ， x(n)是没有定 义的。
一个离散时间信号还可以用一个矢量来表示， 如：
x ...,，x(1)，x(0)，x(1)， , ...
这也是MATLAB语言中采用的表示形式。
n
-2 -1 0 1 2

将 x[n] 以纵坐标轴n=0为中心作翻转。
x(n)
3
3
3
2
2
2
…1
1
1
…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
x(-n)
3
3
3
2
2
2
…
1
1
1…
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2.1 离散时间信号
❖ 思考：x(-n+1)和x(-n-1)与x(-n)的移位关系？
作用：表示任意的离散时间序列
任意序列都可以表示成单位抽样序列的移位加权和，即 x(n) x(m) (n m) m
x [n]
3
1 22
n 2 1 0 1 2 3
x[n] 3[n 1] [n] 2[n 1] 2[n 2]
2.1 离散时间信号
➢ 常用典型序列：单位阶跃序列
n ≥0 u1[n] 0 n 0
cos(n) 1（e jn e-jn）；sin(n) 1（e jn - e-jn）
2
2j
x(n)可写成: x(n) rncos(n) jr nsin(n)
由于正弦序列、余弦序列和复指数序列可以相互线性表示，我们统称为正弦类信号。
2.1 离散时间信号
正弦序列：x(n) Asin(n ) 其中，A为幅度；为数字角频率；为起始相位 正弦序列可以由模拟正弦信号xa (t) Asin(2ft )抽样得到 x(n) xa (t) tnT Asin(2ft ) Asin (Tn )，其中 T
R N (n) u(n) - u(n N)
N-1
R N (n) (n m) (n) (n 1) (n 2) (n N) m0

第二章 时域中的离散信号和系统
2.1 2.2 2.3 2.4
取样和内插 离散时间信号序列 基本序列及其运算 离散系统及其普遍关系
2.1 取样和内插
1.取样
将连续信号变成离散信号有各种取样 方法，其中最常用的是等间隔周期取样， 即每隔固定时间T取一个信号值，如图2-1 所示。其中T称为取样周期，T的倒数称为 取样频率或取样率。记为
fS=1/T
x(n)
图2-1 连续信号的取样
x(n) xa (t ) t nT xa (nT)
人们用（2.1.1）式的序列作为离散信号的 研究模型，由于抽掉了模拟信号中的主要 物理量——时间。在数字域处理信号时可 只按序号逐次进行运算和存储，这就是抽 象为序列模型的好处。 另一方面必须看到模型与原物理过程之间 的本质差异。在把序列与模拟信号进行转 换和等价比较的时候，必需按等价序列的 概念来考虑。
取样定理——Shannon定理
任一连续信号xa(t)，设其频谱的最高 频率分量为fm，则当对它进行取样时，只 要选择取样率等于或大于2fm ，就可以由这 个取样序列xa (nT)来唯一准确地恢复xa (t)。
设有一限带信号xa(t)。当|Ω|≤Ω max， 它的付氏变换为Xa(Ω)。将xa(t)乘一取样函 数p(t) 就得到xa(t)，如图2.2所示。
图2-2 连续信号取样的数学模型
图 2 5 取 样 过 程 的 时 域 与 频 域 关 系
-
最后需要说明一点：上述取 样定理是理想取样，如果取样函 数不是单位冲击函数序列，而是 窄脉冲函数序列，则如图2-6所 示(详细情况请参看相关资料)。
图 2 6 理 想 取 样 和 非 理 想 取 样 的 比 较
-
2.内插

xlabel('w(rad)');ylabel('arctanX(e^jw)'); axis([0,4*pi,min(fai),max(fai)]);line([0,4*pi],[0,0]);
例3 x(n) R4 (n)，求 x(n) 的FT 解
X (e jω ) e jωn
1 π jω jωn x ( n) X ( e )e dω 2π π
例1、x(n) a n u(n)，a 1，求X (e jω )
解：由定义 X (e ) a e
jω n 0

n jωn
(ae jω )n
n 0

jω ae 1 ，则： X (e jω ) 因为: a 1 ，所以
(b) x(n) xe (n) x o (n)
结论：将序列分为共轭对称部分和共轭反对称 部分，序列的共轭对称部分对应着FT的实部， X (e jω ) X R (e jω ) jX I (e jω ) 序列的共轭反对称部分对应着FT的虚部和 j。
实序列傅立叶变换的共轭对称性可分下面几种情况 时域
例 x( n) cos ωn
当 ω 2πM 时， x (n) 序列值的波形如图(a) 所示， 它代表直流分量。 当 ω (2π 1) M 时，x (n)序列值的波形如图(b)所示，它代表最高频率分量。
cosωn
1 … -1 0 1 2 3 4 5
ω 2πM
cosωn
ω (2 M 1)π
根据定义推出
n
l
l
4.对称性
准备知识：
满足 xe (n) xe (n) 的序列 xe (n) 叫共轭对称序列。 对于实序列称偶对称；

第 2 章 离散系统的变换域分析与系统结构
图 2-1 x(n) anu(n) 收敛域
图 2-2 x(n) anu(n 1) 收敛域
数字信号处理
3．收敛域与序列特性的关系 （1）有限长序列
【例 2-3】 求矩形序列 RN (n) 的 Z 变换及其收敛域。 解：
X (z)
∞
RN (n)z
n∞
n
N 1
zn
n0
1 zN 1 z1
由结果的分母可以看出，似乎 z = 1 是 X(z)的极
点， 但同时分子 多项式在 z = 1 时也有一个零
点，零、极点对消，因此收敛域为|z| > 0， 即
除原点外的整个 z 平面。
第 2 章 离散系统的变换域分析与系统结构
（2）右边序列 由【例 2-1】的结论可知，一般右边序列的收敛域为 Rx< | z | <∞， 即复平面上半径为 Rx的圆的外侧区域，Rx称为收敛 半径。
常 用的部分分式之和，这些分式都可以通过常用的 Z 变换对
确定 其反变换， 再根据线性性质将各部分分式相加即得到原
序列 x(n)。
各部分分式收敛域的确定，原则如下
(1) 收敛域以极点为边界。
(2)总收敛域为各分式收敛域的交集，或者说各分式的收敛域应 包含总收敛域。
第 2 章 离散系统的变换域分析与系统结构
所示。
第 2 章 离散系统的变换域分析与系统结构
图 2-3 x(n) = b|n|的收敛域
数字信号处理
4.常见序列的 Z 变换收敛域
【例 2-5】 求单位序列(n)、(n8)和(n+5)的 Z 变换和收敛域。
解：
∞
ZT[(n)] (n)zn z0 1