复变函数课件4-2

w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8

主值支 w l n z l n |z | i a r g z L n z l n z i 2 k ,k Z .
(2)运算性 (3)解析性
Ln(z1z2)Ln(z1)Ln(z2);Ln(z1/z2)Ln(z1)Ln(z2);
Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业！
2 i
2
c o s z s i n z
注: 正、余弦函数可以大于1.
函数图像
2.性质
(1)单值性
(2)周期性 T 2.
(3)奇偶性 cosz 偶 ,sinz 奇 .
(4)三角公式
(5)解析性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( s i n z ) ' c o s z , ( c o s z ) ' s i n z .
§2.3 初等函数
• 指数函数 • 对数函数 • 三角函数与反三角函数 • 双曲函数与反双曲函数 • 幂函数 • 小结
2.3.1 指数函数
1.定义 对于复数z =x+iy,定义指数函数为
w e z e x p (z ) e x ( c o sy is in y ) 函数图像
注:
x 0 E u l e r 公 式 ： e i y ( c o s y is i n y ) ;
017－44/1－2
教学方式与要求
• 方式
板书结合PPT 源于课本稍高于课本
• 要求
适当做笔记 按质完成作业
《复变函数与积分变换》主要内容
解析函数(讲 共9周36课时
级数
两者关系: 留数
积分变换
Fourier 变换
Laplace变换
复球面
4.4 罗朗级数
反 函 数

其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z

例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还
是无界的,单连通的还是多连通的.
(1) Re(z2 ) 1; (2) arg z ; (3) 1 3;
3
z
(4) z 1 z 1 4; (5) z 1 z 1 1.
解 (1)当 z x iy 时,
Re(z2 ) x2 y2, Re(z2 ) 1 x2 y2 1, 无界的单连通域(如图).
y z
z
o
x
有界！
17
1.2.2 区域与Jordan曲线
定义1.5 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它
为一个区域.
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一条
D
z2
z1
•
•
折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
18
说明
不包含边界！
第一章 复数与复变函数
• 第一节 复数 • 第二节 复平面上的点集 • 第三节 复变函数 • 第四节 复球面与无穷远点
1
第一节 复数
• 1 复数域
形如 z x iy y x 的数，称为复数。其中实数 和
分别称为复数的实部和虚部，常记为
x Re z, y Im z
全体复数并引进四则运算后称为复数域
32
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
33
(5) 0 arg z i , zi 4
当 z x iy 时,
zi zi