三角函数单调区间

增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
【规律技巧】
1. 求形如
或
(其中 A≠0，
)的函数的单调区间，可以通过解不等式的
方法去解答，列不等式的原则是：①把“
(
)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方
向与
(
)，
(
)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
2. 如何确定函数
当
时函数的单调性
对于函数
求其单调区间，要特别注意 的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，
1，5
1，3
A. 2 4 B. 2 4
0，1 C. 2 D．(0，2]
0，π 【答案】(1) 4 (2)A 【规律方法】
(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，
只需把ωx＋φ看作一个整体代入 y＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调
【基础知识】 1.三角函数的单调区间：
的递增区间是
第 8 节 三角函数的单调性 ，
递减区间是
；
的递增区间是 递减区间是
， ，
的递增区间是
，
2.复合函数的单调性
设
，
都是单调函数，则
在
上也是单调函数，其单调
性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数 为减函数，如下表
【答案】C
－π，π 3．已知函数 f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间 3 4 上的最小值是－2，则ω的最小值等于 ( )

第63课求三角函数的单调区间（或判断三角函数的单调性）基本方法：1.将问题转化为单一名称的三角函数，再求三角函数的单调性或单调区间2.三角函数的单调性函数sin y x =的单调性：单调增区间：2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 单调减区间：32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎣⎦Z 函数cos y x =的单调性：单调增区间：[2,2]()k k k π-ππ∈Z 单调减区间：[2,2]()k k k ππ+π∈Z 函数tan y x =的单调性：单调增区间：,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z 一、典型例题1.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求()f x 的单调递增区间.答案：5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z 解析：3(cos 21)()sin cos 2x f x x x +=+133sin 22222x x =++3sin(2)32x π=++，由πππ2π22π()232k x k k -+≤+≤+∈Z ，得5ππππ()1212k x k k -+≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z .2.已知函数()2sin 2sin 22cos 166f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.答案：（1）最小正周期T =π，()f x 的最大值为2；（2）()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.解析：（1）()ππsin2cos cos 2sin sin2cos cos 2sin cos26666f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin2cos cos26x x π+=cos2x x +=2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期T =π，()f x 的最大值为2.（2）∵,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴720,66x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由0262x ππ≤+≤得126x ππ-≤≤，72266x πππ≤+≤得62x ππ≤≤，∴()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.二、课堂练习1.已知函数()21cos sin262f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()f x 的单调递增区间.答案：,63k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 解析：()21cos sin 262f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 213cos 22x x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-1cos 2223x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11sin2cos22222x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭31cos244x x =-1sin 226x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222262k x k ππππ-≤-≤π+，则222233k x k πππ-≤≤π+，解得63k x k πππ-≤≤π+，所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .2.已知函数())12f x x π=-，若7[,]46x ππ∈，求函数()f x 的单调减区间.答案：13[,]424ππ，257[,]246ππ解析：由22212k x k ππ≤-≤π+π（k ∈Z ），解得132424k x k πππ+≤≤π+（k ∈Z ），又∵7[,46x ππ∈，∴当k 分别取0和1时满足条件，即函数()f x 的单调减区间为13[,]424ππ，257[,246ππ.三、课后作业1.设函数()πcos 23f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求函数的单调递增区间.答案：πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z .解析：()π1cos 2cos2322f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos222x x +=πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，则ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ．2.已知向量2cos ,16x ⎛π⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a，sin ,62x ⎛⎫π⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，设函数()f x x =⋅+a b ，求函数()f x 的单调递增区间.答案：()5,,1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z .解析：()2cos sin 662f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ab 313132(sin )222222x x x x x =++-2sin cos 2x x x =sin 22x x =2sin(2)3x p =+，令()22,2,322x k k k Z πππ⎡⎤+∈-+π+π∈⎢⎥⎣⎦，解得()5,,1212x k k k ππ⎡⎤∈-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为()5,,1212k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z .3.求函数tan()23y x ππ=+的定义域、最小正周期和单调性.答案：1{|2,}3x x k k ≠+∈Z ；2；51(2,2),33k k k -++∈Z解析：由,232x k k πππ+≠+π∈Z ，解得12,3x k k ≠+∈Z ，∴定义域为1{|2,}3x x k k ≠+∈Z ，最小正周期22T π==，由,2232k x k k πππππ-<+<π+∈Z ，得5122,33k x k k -<<+∈Z ，所以函数的单调增区间为51(2,2),33k k k -++∈Z ，无单调减区间.。

侧
求
函 数
一 １
ｉ ｎ
ｆ詈一 １ ）的单
由２ｋ 一号≤詈＋詈≤２是兀＋号，是∈ｚ，
调 递 增 区 间 。
可 得 所 求 函 数 的 单 调 递 增 区 间 是
错解：令 一导一 １ ，则所求的单调递 Ｉ ４愚丌一７ － ，４ｋａ－ｂ２ Ｉ，愚∈ｚ。
１
剖 析 ：由 题 意 可 知 ，只 需 求 出 区 间 （一 ２ ，
１
ｚ
）的单调递增区间，由于ｚ一詈一号ｚ是
增；
Ｒ 上 的 单 调 减 函 数 ，所 以 只 需 求 出 函 数 一
当 函 数 — ｃ。ｓ 单 调 递 减 ，即 ｚ ∈
寺ｓｉｎ（号一寺ｚ）的单调递减区间，即所求区 减。
间 与 一 １ ｎ． ｚ 的 递 减 区 间 一
不 确
故 所 求 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 Ｅｅｋ ７【一 ，２ｋｎ］（忌 ∈ ｚ），递 减 区 间 为 ［－２ｋ ，
１一 ＋４ ７ｃ，一３ｑ－４ｋ￣ｒ ｌ，足∈ｚ。
当ａ＜ｏ时，所求函数的递增区间为
四 、忽 视 题 设 条 件 致 错
［２愚丌，２ｋ ７ｃ＋ 兀］（ ∈ ｚ），递 减 区 间 为 Ｅ２ｋ 一 ７ｃ，
增区间与函数 一言 ｉｎ ｚ的单调递增区间一 ２ ７ｃ）内的递增区间即可。
致，即一号＋２愚 ≤詈～ １ ≤号＋２忌 ，愚∈ 正解：由２ｋ ７ｃ—Ｔ 一－－￣Ｔ －＋－４￣２ｋ兀＋号，
ｚ，也 即 一 一 ４是 ≤ ≤ 一 ４愚７ｃ，忌∈ ｚ。
忌∈ ｚ， 可 知 在 求 出 的 区 间
于是可得 十２ｋ ≤詈 一 １ ≤ ＋ 是由于想当然地认为ｎ＞ｏ导致错解的。

三角函数的增减区间三角函数是高中数学中重要的内容之一，学好三角函数需要掌握函数的性质，其中一个重要的性质是函数的增减区间。

三角函数的增减区间与其周期、导数密切相关，下面将详细介绍三角函数的增减区间。

正弦函数的一次周期为2π，其函数图像为摆动于某轴上的波形。

在一周期内，正弦函数的增减性质是先增后减，一个周期内有一个最大值和一个最小值，并且最大值和最小值对称于函数图像的中心线。

因此，正弦函数一周期内的增减区间为：[0,π]：增加[π,2π]：减少余弦函数的一次周期也为2π，其函数图像为摆动于y轴上的波形。

在一周期内，余弦函数的增减性质是先减后增，一个周期内有一个最大值和一个最小值，并且最大值和最小值对称于函数图像的中心线。

因此，余弦函数一周期内的增减区间为：[0,π]：减少[π,2π]：增加正切函数的一次周期为π，其函数图像为摆动于某轴上无限延伸的波形。

在一个周期内，正切函数的增减性质是呈现“折线型”，每个点都是单调的。

其中，一个周期内有一个“点断点”，该点落在π/2处。

因此，正切函数一周期内的增减区间为：[0,π/2)：增加(π/2,π)：减少(π,3π/2)：增加(3π/2,2π)：减少余切函数的一次周期也为π，其函数图像为摆动于y轴上无限延伸的波形。

在一个周期内，余切函数的增减性质也是呈现“折线型”，每个点都是单调的。

其中，一个周期内有一个“点断点”，该点落在π处。

因此，余切函数一周期内的增减区间为：[0,π/2)：减少(π/2,π)：增加(π,3π/2)：减少(3π/2,2π)：增加正割函数和余割函数的一次周期都为π，它们的函数图像为摆动于某轴和y轴上无限延伸的波形。

因为它们是余切函数和正切函数倒数，所以其增减性质与正切函数和余切函数相同。

因此，它们的增减区间也呈现“折线型”，每个点都是单调的。

其中，一个周期内有一个“点断点”，该点落在π处。

因此，正割函数和余割函数一周期内的增减区间为：[0,π/2)：减少(π/2,π)：增加(π,3π/2)：减少(3π/2,2π)：增加总结。