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3.3函数的单调性

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函数的单调性函数的单调性： 一、定义：①()f x 在区间I 上是增函数（递增）：121212221112()(,,()())I D x x I x x x x f x f f x f x x <<⎧⎪⎨⎪⇒⎩>⊆∈⇒>、、任意或中文理解：函数值随着自变量的增大而增大（因变量大小与自变量大小一致）。

图像理解：从左到右，由下至上。

②()f x 在区间I 上是减函数（递减）：121121212212()(),,()()I D x x I x x f x x f x f x x f x ><<⎧⎪⎨⎪⇒⎩∈>⊆⇒任、、意或中文理解：函数值随着自变量的增大而减小（因变量大小与自变量大小相反）。

图像理解：从左到右，由上至下。

二、知识要点：1、单调区间I 与定义域D 的关系：I D ⊆练1：根据下列函数的图像，分别写出其定义域D 与单调区间增区间I ，单调减区间I 直线型 指、对数型：x y a =与log a y x =(0)y k x b k =+> (0)y k x b k =+< (0)y kx b k =+=二次曲线 幂函数：1:()0:1,0aa y xy x a Q a y x ==⎧=∈⎨==≠⎩2()(0)y a x b c a =-+> 2()(0)y a x b c a =-+< =2y x 3y x = 52y x =D D IIIID D IIIIy=x(1,0)a>1y=log a xy=a x oyx(0,1)0<a<1y=x(1,0)y=log a xy=a x(0,1)oyxboxy y xobb oxyx=boxy c cyx o x=b(0)y a x b c a =-+>(0)y a x b c a =-+<x=bx=bc oxyy xo c=12y x 25y x = 13y x =-=1y x 2y x -= 12y x -=三角函数反三角函数双曲线型函数 函数的对称变换 分段函数 小结：1、单调性是局部性质，是对D 内的某一个子集区间而言。

当且仅当单调区间I D =时，我们称函数()f x 是单调函数！ 奇偶性、周期性是整体性质，是对整个D 而言。

D D IIIID D IIIIDD IIIIDD IIIIy=sinx y x2π2π-032π32π-x y y=cosx ππ-02π2π--π2-32π32ππ2OYXtan y x =2π2π-y=arcsinx -11o x y (,1)2π--(,1)2πy=arccosxx y (0,1)π1-1(π,-1)y=arctanxxyo2y π=2y π=-oy x a a -(0)a y x a x =+>o y x (0)a y x a x =+<a -a---222o y x24y x x =-+3xy oo y x3-3-2-413xy o2、如果一个函数()f x 在区间1I 、2I 上有相同的单调性，在区间12I I 上不一定有单调性。

例：1(,0)I =-∞，2(0,)I =+∞，2x y x=在12I I 上递增1y x=-在12I I 上无单调性，在1I 、2I 上分别递增。

3、单调区间的写法：① 区间端点都可以写开区间！② 慎用“”，可用“，”或“和”连接几个单调区间！ 注意：定义域、值域：只能用“”连接，且区间端点必须根据是否能取到，对应写成开闭区间。

练：函数()f x 为定义在R 上的函数，对任意1x 、2x R ∈，当12x x ≠时，1212()()f x f x x x ->-恒成立，71()(5)31xax x f x a ax +<⎧=⎨-+≥⎩，则a 的取值范围是 。

4、定义的变式：① 可以反推 ②递增：1212()()0f x f x x x ->-，递减：1212()()0f x f x x x -<-三、常见应用：1、用定义证明单调性： 注意格式的规范：第一步：1212,,x x I x x ∈<任意 第二步：计算12()()f x f x -，并整理变形至可判断正负为止 第三步：结合第一步的区间I ，及12x x <，推导第二步结论的正负 第四步：得出结论。

（第二步，有时可用12()()f x f x ：注意同号，且商与1比大小） 练1：证明()22x xf x -=+在(,0)x ∈-∞上是减函数。

练2：证明2()f x x =在定义域D 内没有单调性。

为了推翻单调性的任意性，只需举出反例即可！12x x <，12()()f x f x =可同时推得即非递增，也非递减。

2、单调性与奇偶性的联系： 思考方法:数形结合奇函数（点对称）在对称区间上的单调性相同！ 偶函数（轴对称）在对称区间上的单调性相反！练：1、奇函数()f x 在区间[2,5]上是增函数，且其最小值是4，则()f x 在区间[5,2]--上是 函数且最 值为 。

改：偶函数？2、函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)4f =，则使得()4f x <的x 的取值范围是 。

3、函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，在(1,0]-内递减，若2(1)(1)0f a f a -+-<， 求实数a 的取值范围。

(0,1)4、已知函数2()(0)f x ax bx c a =++<，对任意x 都有(2)()f x f x +=-，则()f e ，(2)f ，(2)f -的大小关系是5、函数()f x 是定义在(2,2)-上的偶函数，在(2,0]-内递减，若(1)(1)0f a f a --+≤， 求实数a 的取值范围。

[0,1)6、已知()f x 是定义域为(0,)+∞上的增函数，且满足()()()f xy f x f y =+，(2)1f =，试解不等式：()(2)3f x f x +-<2、单调性与周期性的联系： 周期函数不是单调函数！周期函数的单调区间写法：可先写出，一个周期内的单调区间，然后在区间端点加周期的整数倍即可。

练：函数()f x 的周期8T =，且一条对称轴方程10x =，()f x 在[2,2]-上递增，则(18)f ，(7)f -，(5)f 的大小关系是 。

3、单调区间的求法：①图像法：图像变换：主要是3种变换： 1、平移：注意两点 1）、口诀要记牢：左+右-，上+下- ：例：1()(1)y f x y f x =−−→=+左 1()()1y f x y f x =−−→=+上，练1：利用图像的平移画出下列图像： 1）、2y x =- 2）、123x y +=- 3）、l g(1)y x =-练2：?1252x y y x x +=−−−−→=+ ?14421x y y x x -=-−−−−→=- 结论:：()ax bf x cx d+=+ ，对称中心(,)d a c c -，先画对称中心，再画渐近线，最后确定图像：分离常数或代入点坐标判断（定义域内找一个数值，看函数值与对称中心纵坐标的关系）！2）、左右平移只是对自变量x 的改变，即x x a ←+（x 的整体代换），关注系数！练1：2()sin(2)?f x x =−−−−−→右平移个单位下移3个单位?(3)(33)y f x y f x =−−−−→=+ 练2：?(2)3()y f x y f x =--−−−−→= 善用逆向思维。

2、翻折：注意两点1）、对称翻折：()0()()()0y f x x y f x y f x f x x ≥⎧=−−−−−→==⎨-<⎩轴翻折右（保留）翻左练1：1）、2y x =- 2）、123x y +=- 3）、l g (1)y x =- 练2：1）、2y x =- 2）、123x y +=- 3）、l g (1)y x =-结论：先确定对称轴，然后画出对称轴右侧的图像，然后保留右侧图像，往左翻！2）、上下翻折：()()0()()()()0x f x f x y f x y f x f x f x ≥⎧=−−−−−→==⎨-<⎩轴翻折下（擦去）翻上练1： 1）、123x y +=- 2）、l g (1)y x =- 练2： 1）、123x y +=- 2）、l g (1)y x =-结论：图像变换的常用步骤是：先左右平移，再左右翻折、然后上下翻折。

3、横坐标、纵坐标的变换：（以后再复习，有兴趣可以自己看）周期变换：1(0)()()y x a ay f x y f ax >=−−−−−→=不变原来的 振幅变换：()()x y b y f x y bf x =−−−−→=不变原来的倍练：?sin sin 2y x y x =−−−−→= 结论：方法：看周期 4）、等价变形： 1）、根号型：2()0()0()f x y f x y y f x ⎧≥⎪=⇔≥⎨⎪=⎩练1：1）24y x x =- 2）、224y x x =- 3）、24y x x =-练2：若不等式29(2)2x k x -≤+-的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，求k 的值。

2）、绝对值型： 去绝对值！练：画出sin sin y x x =+图像，写出所有的性质。

②拐点型函数：拐点：⎧⎪⎨⎪⎩二次函数：对称轴双曲线型：等号成立三角函数：最值处练1：若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则a 的取值范围是 。

练2：若函数2()4f x x x =--在区间[,)a b 上递增，则,a b 的关系是 ；若在区间[,)a b 上递减，,a b 的关系是 。

练3：若函数2()(0)x af x a x +=>在区间[2,)+∞上递增，则a 的取值范围是 。

练4：若函数221()(0)x f x a x+=>在区间(0,]a 上递减，则a 的取值范围是 。

结论：关键是抓住拐点（转折点：即单调性改变的点）的横坐标与所给区间的关系！ 步骤：先画区间，然后求出拐点然后考虑拐点与区间的关系！注意点：1、拐点的横坐标一定要求对！2、端点问题：等号能否取到！ ③、单调性与函数的运算： ()f x 增⇒()f x -减，1()f x 减（()f x 恒0>或()f x 恒0<） 练：2y x =与2y x =- y x =与1y x=（画图解释！） 增+增：增； 减+减：减；增-减：增 即：增+（-减） 减-增：减 即：减 +（-增） 练：判断并证明1()f x x x=-在定义域D 上的单调性。

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《3.3.1 函数的单调性》作业设计方案

《3.3.1 函数的单调性》作业设计方案

《函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解和掌握函数的单调性概念及其数学表达；2. 能够根据函数图像识别函数的单调性；3. 学会应用单调性解决简单的数学问题。

二、作业内容1. 理论作业(1)请列举至少三个不同类型的函数，并画出它们的图像。

根据图像，说明这些函数在各自定义域内的单调性。

(2)阅读教材，理解单调性的定义，并尝试用自己的语言进行总结和归纳。

(3)通过练习题，掌握单调性的判断方法，并尝试解决一些简单的数学问题。

2. 实践作业(1)根据教材中的实例，选择一个具体的函数（例如，正比例函数、二次函数、指数函数等），绘制该函数的图像，并观察图像判断其单调性。

(2)自己设计一个函数，绘制图像并判断单调性。

通过这个过程，体会函数的单调性与函数性质的关系。

(3)尝试利用函数的单调性解决一些实际问题，例如：根据气温随时间变化的曲线图，判断气温的变化趋势等。

三、作业要求1. 认真阅读教材和相关资料，理解并掌握函数的单调性概念和判断方法；2. 认真绘制图像，确保图像的准确性和完整性；3. 独立思考，独立完成作业；4. 实践作业需要结合实际生活，注重理论联系实际。

四、作业评价1. 理论作业评价：主要考察学生对单调性概念、判断方法以及相关例题的掌握情况；2. 实践作业评价：主要考察学生能否将所学知识应用于实际问题解决中，以及图像绘制和观察的准确性。

评价标准包括：图像是否完整、准确，判断是否符合实际，应用是否得当等。

五、作业反馈1. 学生提交作业后，教师将对作业进行批改，并将批改结果反馈给学生；2. 学生应根据教师的批改意见进行修改和完善，并在规定时间内提交改进后的作业；3. 教师将对改进后的作业进行再次评价，并给出最终成绩。

通过本次作业，学生将能够更好地理解和掌握函数的单调性，并将其应用于解决实际问题中。

同时，实践作业也将有助于提高学生的观察能力和解决问题的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。

高等数学自考3.3函数的单调性与极值

高等数学自考3.3函数的单调性与极值


上单调增加； 在 上单调增加 （i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加； ）如果在(a, 内 ， 上单调减少。 （ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。 ）如果在(a, 内 ， 在 上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。 例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（ 定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令 得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值 由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定 所以 需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件） 定理2（极值存在的一阶充分条件） 在该邻域（ 可除外）可导， 在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续， 在 的某邻域内连续， 不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。 的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0， 若当x ； ， 则 f (x0) 是f (x)的极大值； 的极大值； 的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0； 当x > x0 时，f ′(x) >0， 若当x ； ， 的极小值； 则 f (x0) 是f (x)的极小值； 的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号， 若在x 的两侧， 不变号， 不变号 不是极值。 则f (x0)不是极值。 不是极值
药学应用数学3.3 函数的单调性与极值

药学应用数学3.3 函数的单调性与极值

第四节函数单调性的判定法要求⑴会用导数求函数的单调区间。

⑵会利用单调性证明不等式。

1．用导数求函数的单调区间前面已经介绍了函数在区间上单调的概念，下面利用导数来对函数的单调性进行研究。

如果函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加（单调减少），那末它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线。

这时，曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即)0)((0)(≤'='≥'='x f y x f y 。

由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。

反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来进行讨论。

设函数)(x f 在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导，在[a,b ]上任取两点1x 、2x （1x <2x ），应用拉格朗日中值定理，得到)( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ由于在上式中，012>-x x ，因此，如果在（a,b ）内导数)(x f '保持正号，即0)(>'x f ，那末也有0)(>'ξf ，于是))(()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即)()(21x f x f <表明函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加。

同理，如果在（a,b ）内导数)(x f '保持负号，即0)(<'x f ，那末0)(<'ξf ，于是0)()(12<-x f x f ，即)()(21x f x f >，表明函数)(x f y =在[a,b ]上单调减少。

归纳以上讨论，即得函数单调性的判定法设函数)(x f y =在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导。

（1）如果在（a,b ）内0)(>'x f ，那末函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加；（2）如果在（a,b ）内0)(<'x f ，那末函数)(x f y =在[a,b ]上单调减少。

函数单调性课件

函数单调性课件


图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大 y x >0
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 y x <0
增函数
在区间I内
减函数
在区间I内
y
f(x2)
图 象 f(x1)
y
· y=f(x) f(x1)
·y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
图象 特征
从左至右，图象上升
0
x1
x2 x
从左至右，图象下降
解：函数 y f (x) 的单调区间有 [-4，-2），
[-2，1），[1，2）， [2，3]
其中y f (x) 在区间[-4，-2）， [1，2）
上是减函数，在区间[-2，1），[2，3]上 是增函数
快乐之旅
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2
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6
6个金蛋你可以任选一个，如果出现“恭喜你”的字样， 你将直接过关；否则将有考验你的数学问题，当然你可以 自己作答，也可以求助你的同学.
如果对于函数y=f(x)在给定区间I
上的任意两个不相等的值x1, x2，都有
y
x <0
那么就说f(x)在这个区间上是单调
减函数. I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
小试牛刀
如图是定义在区间[-4，3]上的函数 y f (x) 的图象，根据图象说出y f (x) 的单调区间，以及在每个单调区间上，y f ( x )是增函数还是减函数.
·y=f(x)
·
f(x2)
·
0
x1
x2 x
0
x1
图象 特征
从左至右，图象上升