第讲.抽屉原理(二）．教师版————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题,因此,也被称为狄利克雷原则.抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理,利用它可以解决很多有趣的问题,并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1)举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
(２)定义一般情况下，把ｎ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案(一)、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：(1）余数＝1, 结论：至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里 (2）余数=x ()()11xn -， 结论：至少有(商＋1）个苹果在同一个抽屉里(３）余数=0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 (二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论,将复杂的题目变得非常简单,也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法.【例 1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个,小聪明和其他六个小朋友一起做游戏,每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选,总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？ 【解析】 从三种颜色的球中挑选两个球,可能情况只有下面6种：红、红；黄、黄;蓝、蓝;红、黄；红、蓝；黄、蓝,我们把6种搭配方式当作6个“抽屉”,把7个小朋友当作7个“苹果”,根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个“抽屉”中,也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样．【巩固】 11名学生到老师家借书,老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明:必有两个学生所借的书的类型相同 【解析】 设不同的类型书为A 、Ｂ、C 、D 四种，若学生只借一本书,则不同的类型有Ａ、B 、Ｃ、D 四种;若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有A Ｂ、AC 、ＡD 、BC 、B Ｄ、ＣD 六种．共有10种类型,把这10种类型看作１0个“抽屉”,把11个学生看作11个“苹果”.如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生,他们所借的书的类型相同．第八讲：抽屉原理（二）【巩固】体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球,问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【解析】以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球,所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9种情况,即有９个抽屉,则：66973÷=,718+=,即至少有8名同学所拿球的种类是一样的.【巩固】幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机,每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【解析】根据题意列下表:小汽车小火车小飞机第一个小朋友√√第二个小朋友√√第三个小朋友√√第四个小朋友有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时,不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同．所以至少要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的．总结：本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解.学生们可能会这么认为:铺垫:2件⨯3种6=件,6件÷2个3=人，要保证有相同的所以至少要有=件,8件÷2个4+=人;对于例题中的题目同样2件⨯4种8314=人,要保证有相同的所以至少+=人.因为铺垫是正好配上数了，而例题中的问题在于4种东西任选两种的选择有几要有415种．可以简单跟学生讲一下简单乘法原理的思想，但建议还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以做到不遗漏,不重复.⨯方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色.是【例 2】红、蓝两种颜色将一个25否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同?第二行第一行第五列第四列第三列第二列第一列【解析】 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形:蓝蓝红蓝蓝红红红将上面的四种情形看成四个“抽屉”,把五列方格看成五个“苹果”,根据抽屉原理,将五个苹果放入四个抽屉,至少有一个抽屉中有不少于两个苹果,也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同.【例 3】 从2、4、6、8、、50这25个偶数中至少任意取出多少个数,才能保证有2个数的和是52?【解析】 构造抽屉：{2,50},{4,48}，{6,46},{8,44},，{24,28},{26}，共13种搭配,即13个抽屉,所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里,这两数和为52,所以应取出14个数.或者从小数入手考虑，2、4、6、、26，当再取28时,与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52．【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个,一定有2个数的和是2０．【解析】 将10个奇数分为五组（1、19)，(3、１7),(５、1５),（7、13)，(9、11），任取6个必有两个奇数在同一组中,这两个数的和为20．【巩固】 从1，4，7，１0，…,3７,40这１4个数中任取８个数,试证：其中至少有2个数的和是4１． 【解析】 构造和为41的抽屉：(1,40)，(4,37)，(7,34)，(10,31),(13,28),(16,25)，(19,22)，现在取8个数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有2个数的和是41.【巩固】 从２、４、6、…、3０这1５个偶数中，任取9个数,证明其中一定有两个数之和是3４． 【解析】 我们用题目中的１5个偶数制造8个抽屉，(2),(4,30),(6,28)，…，(16,18)，凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34．现从题目中的１5个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中．由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34.【例 4】 (北京市第十一届“迎春杯”刊赛)从1，2，3,4，…,1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于９. 【解析】 方法一:把1994个数一次每1８个分成一组,最后１4个数也成一组,共分成１11组.即1,2,3，4,５，６,７，8，9,１０,11，１２，１３，1４，15，1６,17，18;19，20,2１,22，23，24，25,２6,27,2８,29,3０,3１，32,３3,34,3５，36;…………………1９6３，196４，…，1９79，１980；1９81,1982，…，１994．每一组中取前9个数，共取出9111999⨯=(个)数,这些数中任两个的差都不等于9.因此,最多可以取999个数．方法二:构造公差为9的9个数列(除以9的余数){}1,10,19,28,,1990，共计222个数{}2,11,20,29,,1991,共计222个数{}3,12,21,30,,1992,共计222个数{}4,13,22,31,,1993,共计222个数{}5,14,23,32,,1994，共计222个数{}6,15,24,33,,1986,共计221个数{}7,16,25,34,,1987,共计221个数{}8,17,26,35,,1988，共计221个数{}9,18,27,36,,1989，共计221个数每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于９，每个数列中不能取相邻的项.因此，前五个数列只能取出一半,后四个数列最多能取出一半多一个数,所以最多取1119999⨯=个数【巩固】从１、２、3、4、…、19、20这20个自然数中,至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是1２．【解析】在这20个自然数中,差是12的有以下8对:｛20，8｝，｛19，７｝，｛18，6},{１7,5｝，{1６,４}，｛15，3｝,{14，2},｛13,1｝.另外还有４个不能配对的数{9}，｛10},｛1１｝,{１2},共制成1２个抽屉（每个括号看成一个抽屉)．只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选１３个数，即可办到(取１2个数:从12个抽屉中各取一个数(例如取1，2,3,…，12)，那么这1２个数中任意两个数的差必不等于12）.【巩固】（小学数学奥林匹克决赛)从1，2，３,4，…，1988，１９89这些自然数中，最多可以取__＿＿个数，其中每两个数的差不等于４．【解析】将１~1989排成四个数列：1,5，9，…,１985，1９892,6，10，…，1９863,７,11,…,19874,8,12，…,１98８每个数列相邻两项的差是4,因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4,每个数列中不能取相邻的项.因此，第一个数列只能取出一半,因为有(19891)41498-÷+=项，所以最多取出249项,例如1，９,17，…,1985．同样,后三个数列每个最多可取2４9项.因而最多取出⨯=个数,其中每两个的差不等于4.2494996【例 5】（200８年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛)从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出个数,使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．【解析】把这１2个数分成６个组:第1组:１，２,4,8第２组:3，６，１2第３组：5,10第4组:7第5组:９第6组:1１每组中相邻两数都是2倍关系,不同组中没有２倍关系．选没有2倍关系的数，第１组最多2个(1,4或2,8或1,8）,第2组最多2个（３，１2），第３组只有1个,第4,5，6组都可以取,一共2211118+++++=个．如果任意取９个数,因为第３,4,5，6组一共5个数中,最多能取4个数,剩下945-=个数在2个组中,根据抽屉原理,至少有3个数是同一组的,必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系．【巩固】从1到２0这20个数中,任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.【解析】把这20个数分成以下10组,看成10个抽屉:（1,２,４，8，１6)，(３，６,１２),(5，10，２0）,(7，1４)，(9，１８),(11)，(13）,(15),（1７)，(19)，前５个抽屉中,任意两个数都有倍数关系.从这1０个抽屉中任选1１个数,必有一个抽屉中要取2个数,它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求．【巩固】从1，３,5，7,…,97,99中最多可以选出多少个数,使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？【解析】 方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3×33:99，于是从35开始,１～9９的奇数中没有一个是３5~９９的奇数倍（不包括1倍),所以选出35,37,39,…，99这些奇数即可．共可选出3３个数,使得选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数．方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组.（１，3，9，２７,81），(５，１5,45),(7，21，63),(11，33），(1３，39),（17,51），（1９，57)，(２3,69),(２５，７５），(29，87)，(31，９３），(3５），(37),(4１），(４3),…,（97）共３3组.前11组,每组内任意两个数都存在倍数关系,所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出3３个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．评注：1～2n 个自然数中,任意取出n+1个数,则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从２,3．……，2n ＋1中任取n+2个数，必有两个数,它们一个是另一个的整数倍；从1，２，3．……3n 中任取2ｎ+1个数，则其中必有两个数,它们中一个是另一个的整数倍,且至少是３倍；从1,2，3,……， mn 中任取(m －1）n+１个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m 倍（ｍ、n 为正整数).【巩固】 从整数1、２、3、…、１９9、２00中任选1０１个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数,其中的一个是另一个的倍数． 【解析】 把这200个数分类如下:(1)1，12⨯，212⨯,312⨯，…，712⨯, (2)3，32⨯，232⨯,332⨯,…，632⨯, (3)5,52⨯，252⨯，352⨯,…,552⨯,…(50)99，992⨯，(51)1０1,(52)103，…(100)1９9，以上共分为100类,即100个抽屉,显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系．从中任取１0１个数,根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.【例 6】从1，２，3,……４9，５０这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被７整除,则最多能取出多少个数？【解析】将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0],[1]，[2],[3],[4]，[5],[6]，所含的数的个数分别为7,8，7，7,7，7,7.被7除余1与余6的两个数之和是７的倍数，所以取出的数只能是这两种之一;同样的，被７除余２与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被7除余３与余4的两个数之和是７的倍数,所以取出的数只能是这两种之一；两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个．所以最多可以取出877123+++=个【例 7】从1,2，3，…,99,10０这１00个数中任意选出５1个数．证明:(1)在这51个数中,一定有两个数互质;(2)在这５1个数中，一定有两个数的差等于50;（3）在这51个数中,一定存在９个数，它们的最大公约数大于１.【解析】(１)我们将1～1００分成（1,2),(3，4)，(5，6)，（７,8）,…，(９9,1０0）这５0组，每组内的数相邻．而相邻的两个自然数互质.将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质.而现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉,于是这两个数互质.问题得证.(2)我们将1—１00分成(1,５１),(2，52),(3，53),…，(40,90),…(50，100)这５0组，每组内的数相差5０.将这50组数视为抽屉,则现在有51个数放进5０个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉,那么这两个数的差为5０．问题得证.(3）我们将1—100按２的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组,有(2,４，6，8,…,98,1００)，(3,9,15,2１，27,…,93,９9),(5，7，11,１3，17,１9，２３，…,9５，97）这三组．第一、二、三组分别有50、17、３3个元素．最不利的情况下，51个数中有３3个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内,那么至少有9个数在同一组.所以这９个数的最大公约数为２或３或它们的倍数，显然大于１.【例 8】有49个小孩，每人胸前有一个号码,号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩,排成一个圆圈,使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子? 【解析】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成９组，如下：(1×2）、（1×3）、(1×4)、…、（1×49）；（２×3)、(2×４)、(2×5)、…、（2×4９)；(8×９)、(8×10)、(8 ×11)、(8×１2);(9×10)、(9×11).因为每个数只能与左右两个数相乘,也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次,所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中,最多可以取出18个数对,共18 ×2=36次，但是每个数都出现两次,故出现了1８个数．例如：（10×9)、(9×11)、(１×8）、(8×１2)、(1２×7）、(7×13）、(１３×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(４×16)、(1６X 3)、（3×17)、(17×2)、(2×1８）、(１8 ×1）、(1×１0)．共出现l～18号，共１8个孩子.若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成１9个相乘的数对.那么在9组中取出１9个数时，有19＝９×2+1，由抽屉原则知,必有三个数对落入同一组中,这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上),由分析知,这是不允许的.故最多挑出1８个孩子．【例 9】要把6１个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球,问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【解析】每个盒子不超过5个球,最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2、3、４、５这５种各不相同的个数,共有：1234 5 15++++=，611541÷=，最不利的分法是:装1、２、３、４、5个球的各4个,还剩1个球,要使每个盒子不超过5个球，无论放入哪个盒子，都会使至少有５个盒子的球数相同．【例 10】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?【解析】需先跟学生介绍奇偶性:奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数。
第二课时抽屉原理教学目标1. 通过操作、观察、比较、推理等活动，让学生进一步经历“抽屉原理”的探究过程，并逐步理解和掌握“抽屉原理”。
2、会用“抽屉原理”解决生活中简单的实际问题，培养学生有根据、有条理地实行思考和推理的水平。
3.使学生经历将具体问题“数学化”的过程，培养学生的“模型”思想。
4、通过“抽屉原理”的灵活应用让学生感受到数学的魅力，并培养学生对数学的学习兴趣。
教学重难点：通过操作、观察、比较、推理等活动，让学生进一步经历“抽屉原理”的探究过程，并逐步理解和掌握“抽屉原理”。
教学准备：多媒体课件，学生分小组，每个小组两个纸盒、3个苹果（或图片）、5本书等。
教学过程一、创设情境，复习旧知出示复习题：师：老师这儿有一个问题，不知道哪位同学能协助解答一下？课件出示：把3个苹果放进2个抽屉里，总有一个抽屉至少放2个苹果，为什么？二、提供平台，开放探究1.出示例2：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？学生先独立思考，然后再小组探究，师巡视了解各种情况。
2、学生汇报。
学生汇报时，请小组代表汇报自己小组探究的过程和结果，其他小组要认真倾听，有不同想法的再实行汇报，汇报时能够借助演示来协助说明。
3、变式思考。
出示变式题：把7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？学生分小组自由探究，师巡视了解情况。
4、再次汇报。
教师在学生汇报后，相对应的实行板书：7本 2个 3本……余1本（总有一个抽屉里至少有4本书）；9本 2个 4本……余1本（总有一个抽屉里至少有5本书）。
5、观察发现。
师：请同学们看黑板上，2本、3本、4本是怎么得到的呢？学生观察后会发现用除法得到，故教师完成黑板上的除法算式：5÷2=2（本）……1（本）7÷2=3（本）……1（本）9÷2=4（本）……1（本）师：请同学们再次观察这三道除法算式，你还能发现什么？学生讨论交流，发现“总有一个抽屉里至少有几本”只要用“商+1”就能够得到。
