2001年开始，全国质量专业中级资格统一考试试题详细解答第一章 概率统计基础知识Ⅰ、单项选择题1、设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不放回地任取2个，则取出的2个产品中恰有1个合格品的概率为（ ）.A 、0.1B 、0.3C 、0.5D 、0.6解：因满足古典概型两个条件：⑴基本事件（样本点）总数有限，⑵等可能，故采用古典概率公式：()k P A n=． 设A={2个产品中恰有1个合格}，则()1132253261!1!0.654102!C C P A C ⋅⋅====⨯． 故选D ．2、从参数0.4λ=的指数分布中随机抽取一个样本量为25的样本，则样本均值251125i i x x ==∑的标准差为（ ）． A 、0.4 B 、0.5 C 、1.4 D 、1.5解：根据结论：当总体分布不为正态分布时，只要其总体均值μ和总体方差2σ存在，则在n 较大时，其样本均值2,xN n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 因指数分布的标准差11 2.50.4σλ===， 故样本均值x的标准差0.5x σ===． 故选B ． 3、设1X ，2X ，……，n X 是来自正态总体()2,N μσ的一个样本，x 与2s 分别是其样本均值与样本方差，则概率()3P X <可按（ ）估计．A 、3s Fx -⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 、23x F s ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、3x s ⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭ D 、x ⎛⎫Φ 解：因⑴正态均值μ的无偏估计有两个：样本均值x ，样本中位数x ， ⑵正态方差2σ的无偏估计只有一个：样本方差2s ，故根据“标准化”定理：若X ～()2,N μσ，则X U μσ-=～()0,1N ，应有()3333X x P X P s μμμσσσ⎛⎫----⎛⎫⎛⎫<=<=Φ=Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选C ．4、设随机变量X 与Y 相互独立，方差分别为2与1，则32U X Y =-的方差为（ ）．A 、8B 、14C 、20D 、22解：因方差性质：⑴()[]2Var aX b a Var X +=， ⑵()()()1212Var X X Var X Var X ±=+故所求()()()()223232Var U Var X Y Var X Var Y =-=+ 924122=⨯+⨯=．故选D ．5、某公司对其250名职工上班途中所需时间进行了调查，下面是频率分布表：(](](](](]01010202030304040500.100.240.340.180.14所需时间，，，，，频率 该公司职工上班所需时间不超过半小时的有（ ）人．A 、160B 、165C 、170D 、175解：根据离散型X 的概率取值的含义，设X ={职工上班所需时间}， 因()300.10.240.340.68P X ≤=++=，故所求人数为250×0.68=170（人）．故选C ．6、设A 与B 为互不相容事件，若()12P A =，()13P B =，()P AB =（ ）． A 、12 B 、13 C 、16 D 、56 解：根据题意，利用维恩图， ()()12P AB P A ==． 故选A ．7、样本空间Ω含有35个等可能的样本点，而事件A 与B 各含有28个和16个样本点，其中9个是共有的样本点，则()P A B =（ ）．A 、913B 、716C 、916D 、1320 解：根据题意，利用维恩图， ()16971616P A B -==． 故选B ．8、可加性公理成立的条件是诸事件（ ）．A 、相互独立B 、互不相容C 、是任意随机事件D 、概率均大于0． 解：根据性质：⑴若A 、B 为任意事件，则P (A ∪B )()()()P A P B P AB =+-, ⑵若1A ,2A ,…,n A 互不相容（“相互独立”比“互不相容”条件高）， 则P （1A ∪2A ∪…∪n A ）()()12P A P A =++…()n P A +， 又“可加性公理”是指⑵，故选B ．9、服从对数正态分布的随机变量取值范围在（ ）．A 、()0,1B 、(),-∞+∞C 、()0,+∞D 、[)0,+∞ 解：因X 不服从正态分布，但ln X 服从正态分布，则称X 服从对数正态分布，又因中学数学即知“零和负数没有对数”，故若ln X ～()2,N μσ，则()0,X ∈+∞．故选C ．10、加工某零件需经过三道工序，已知第一，第二，第三道工序的不合格率分别是2%，4%，7%，且各道工序互不影响，则经三道工序加工出来的批产品的不合格品率是（ ）．A 、0.130B 、0.125C 、0.025D 、0.275 解：设A={经三道工序加工出来的是不合格品}，i A ={第i 道工序加工的是不合格品}，i=1，2，3，则顺此思路解题太繁（因任一道工序出错最后都是不合格品）． 于是，A ={经三道工序加工出来的是正品}，并且，123A A A A =⋅⋅(每道工序都是正品，才能保证最后是正品)． 因123,,A A A 相互独立，故()()()()()123123P A P A A A P A P A P A =⋅⋅=⋅⋅()()()123111P A P A P A =---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.0210.0410.070.875=---,故所求()()110.8750.125P A P A =-=-=．故选B ．11、事件A,B,C 的概率分别标明在下面的维思图上，则()P AB C =( )．A 、110B 、15C 、25D 、12 解：根据“条件概率”和“事件的交”两个定义，()()()0.040.0410.080.160.040.120.410P ABC P AB C P C ====+++． 故选A ．12、某地随机调查了一群20岁左右的男女青年的体重情况，经计算平均体重及标准差分别为：男：60.29X = 4.265s =女：48.52X = 3.985s =为了比较男青年体重间的差异和女青年体重间的差异，应选用的最适宜的统计量是（ ）．A 、样本均值B 、样本方差C 、样本标准差D 、样本变异系数 解：因样本标准差s 与样本均值x 之比称为样本变异系数V C s x =， 又因样本变异系数是在消除量纲影响后反映了样本的分散程度， 故选D ．13、若一次电话的通话时间X （单位：分）服从参数为0.25的指数分布，打一次电话所用的平均时间是（ ）分钟．A 、0.25B 、4C 、2D 、2.25解：因若X ～()Exp λ，即X 服从参数为λ＞0的指数分布，其中(),00,0x e x p x x λλ-⎧≥=⎨<⎩又因指数分布()Exp λ的均值()1E X λ=， 故所求平均时间为()140.25E X ==（分钟）． 故选B ．14、已知()0.3P A =，()0.7P B =，P (A ∪B )0.9=，则事件A 与B ( )．A 、互不相容B 、互为对立事件C 、互为独立事件D 、同时发生的概率大于0 解：因若A,B 为任意事件，则()()()()P AB P A P B P A B =+-, 故“移项”得()()()()P A B P A P B P A B =+-0.30.70.90.1=+-=,这说明A 与B 同时发生的概率为0.1，故选D ．15、设随机变量X 服从参数2λ=的泊松分布，则()2P X ≤=（ ）．A 、2e -B 、23e -C 、25e -D 、27e -解：因若X ～()P λ,即X 服从参数为λ＞0的泊松分布，其中(),0,1,2,!xP X x e x x λλ-===…故所求()()()()2012P X P X P X P X ≤==+=+= 0122222220!1!2!e e e ---=++ 2222225ee e e ----=++=，故选C ．16、设X 与Y 为相互独立的随机变量，且()4Var X =,()9Var Y =，则随机变量2Z X Y =-的标准差为（ ）．A 、1BC 、5 D解：因方差性质：⑴()()2Var aX b a Var X +=， ⑵()()()1212Var X X Var X Var X ±=+，故方差()()()()222Var Z Var X Y Var X Var Y =-=+ =4×4+9=25,故所求标准差为()5Z σσ====．故选C ．17、设二项分布的均值等于3，方差等于2.7，则二项分布参数p =（ ）．A 、0.9B 、0.1C 、0.7D 、0.3解：因若X ～(),b n p ，即X 服从参数为n 、p 的二项分布，其中 ()()1n x x n P X x p p x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，0,1,2,x =…，n 又因二项分布(),b n p 的均值与方差分别为()()(),1E X np Var X np p ==-，故()3 2.710.90.1,31 2.7np p p np p =⎧⎪⎪⇒-==⇒=⎨⎪-=⎪⎩ 故选B ．18、某种型号的电阻服从均值为1000欧姆，标准差为50欧姆的正态分布，现随机抽取一个样本量为100的样本，则样本均值的标准差为（ ）．A 、50欧姆B 、10欧姆C 、100欧姆D 、5欧姆解：因电阻～()21000,50N ,又因当总体分布为正态分布()2,N μσ时，样本均值x 的抽样分布就是2,N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x的标准差x σ= 故所求x的标准差为5x σ==（欧姆）． 故选D ．19、某种动物能活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，如今已活到20岁的这种动物至少能再活5年的概率是（ ）．A 、0.3B 、0.4C 、0.5D 、0.6解：设x A ={能活到x 岁}，则()()20250.8,0.4.P A P A == 因()()()2025252020P A A P A A P A ⋅=, 又因动物活到25岁必先活到20岁，即2520A A ⊂,故上式分子()()202525P A A P A ⋅=， 故所求()()()252520200.40.5.0.8P A P A A P A === 故选C ．Ⅱ、多项选择题20、事件的表示有多种方法，它们是（ ）．A 、用明白无误的语言表示B 、用集合表示C 、用随机变量的数学期望表示D 、用随机变量的取值表示解：根据随机事件的概念，故选A 、B 、D ．21、设u α是标准正态分布的α分位数，则有（ ）．A 、0.2u ＞0B 、0.3u ＜0C 、0.50u =D 、0.7u ＜0E 、0.8u ＞0 解：根据分位数的概念，如图，U 的α分位数u α是满足下式的实数：()P U u αα≤=，其中01α≤≤．故选B 、C 、E ．22当用估计量θ∧估计参数θ时，其均方差2MSE B Var θθθ∧∧∧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 一个好的估计要求（ ）．A 、B θ∧⎛⎫ ⎪⎝⎭愈小愈好 B 、B θ∧⎛⎫ ⎪⎝⎭愈大愈好 C 、Var θ∧⎛⎫ ⎪⎝⎭愈大愈好 D 、Var θ∧⎛⎫ ⎪⎝⎭愈小愈好 解：设θ∧是θ的估计量，则θ∧的均方误差为222.M S E E E E B V a r θθθθθθθ∧∧∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中：⑴偏倚B E θθθ∧∧⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是θ∧的均值与θ的差， 当0B θ∧⎛⎫= ⎪⎝⎭，即E θθ∧⎛⎫= ⎪⎝⎭时称θ∧是无偏的．故选A ． ⑵方差2Var E E θθθ∧∧∧⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是θ∧对其均值E θ∧⎛⎫ ⎪⎝⎭差的平方的均值，显然，对于无偏估计，方差Var θ∧⎛⎫ ⎪⎝⎭越小越好． 故选D ．23、设U 为标准正态随机变量，其分布函数记为()U Φ．若a 为正数，则下列等式中正确的有（ ）.A 、()()P U a a >=ΦB 、()()21P U a a <=Φ-C 、()()P U a a >-=ΦD 、()()22P U a a <=ΦE 、()()21P U a a >=-Φ⎡⎤⎣⎦ 解：如图，理解并记忆标准正态分布：()()P U a a ≤=Φ． ⑴()()21P U a a <=Φ-．故选B ．⑵由()()()()1,1a a P U a a Φ-=-Φ>=-Φ，得()()1P U a a >-=-Φ-()11a =--Φ⎡⎤⎣⎦()a =Φ．故选C ．⑶利用⑴，()()()1121P U a P U a a >=-<=-Φ-⎡⎤⎣⎦ ()()2221a a =-Φ=-Φ⎡⎤⎣⎦．故选E ．24、设随机变量X 服从二项分布()16,0.9b ，则其均值与标准差分别为（ ）． A 、() 1.6E X = B 、()14.4E X =C 、() 1.44X σ=D 、() 1.2X σ=解：根据结论，若X ～(),b n p ，则()(),E X np X σ==由X ～()16,0.9b ，得：⑴()160.914.4E X =⨯=.故选B ．⑵() 1.2X σ==. 故选D ．25、设A 与B 是任意两个事件，其概率皆大于0，则有（ ）．A 、()()()P AB P A P B =+ B 、()()()P A B P A P AB -=-C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()()P A B P B P B A P A = 解：依选项顺序逐个讨论：对于A ，缺少条件“A 、B 互不相容”，故弃A ．对于B ，利用维恩图，()()()P A B P A P A B -=-()()P A P AB =-．故选B ．对于C ，缺少条件“相互独立” ．故弃C ．对于D ，由条件概率和乘法公式：()()()()()P AB P A B P B P B A P A =⋅=⋅．故选D ．26、在统计假设检验中，关于样本量、犯第一类错误的概率α、犯第二类错误的概率β之间的关系，叙述正确的有（ ）.A 、在相同样本量下，减小α，必导致β增大B 、在相同样本量下，减小α，β不一定增大C 、在相同样本量下，减小β，必导致α增大D 、在相同样本量下，减小β，α不一定增大E 、要使α、β皆小，只有增加样本量．解：根据结论：⑴在相同样本量n 下，要使α小，必导致β大．故选A ．⑵在相同样本量n 下，要使β小，必导致α大．故选C ．⑶要使α、β都小，只有增大样本量n 才可.故选E ．27、某打字员在一页纸上打错字的字数X 服从 2.3λ=的泊松分布，则有（ ）．A 、一页纸上无打错字的概率为 2.3e -B 、一页纸上平均错字数为2.3个C 、一页纸上错字数的标准差为2.3个D 、一页纸上有多于1个错字的概率为 2.31 3.3e --解：因若X ～()P λ，即X 服从参数为0λ>的泊松分布，其中(),0,1,2,!xP X x e x x λλ-===…并有结论，()()(),,E X Var X X λλσ===故：⑴0x =时，()02.3 2.32.300!P X e e --===．故选A ． ⑵根据均值的含义，() 2.3E X =．故选B ．⑶()()()()111101P X P X P X P X >=-≤=-=+=⎡⎤⎣⎦12.3 2.32.3 2.310!1!e e --=-- 2.3 2.3 2.31 2.31 3.3e e e ---=--=- ．故选D ．28、设随机变量X 服从二项分布(),b n p ，已知() 2.4E X =，() 1.44Var X =，则两个参数n 与p 为（ ）． A 、0.4p = B 、0.6p = C 、6n = D 、4n =解：因有结论，若X ～(),b n p ，则()()(),1E X np Var X np p ==-， 故()2.4 1.4410.610.60.4..2.41 1.44np p p A np p =⎧⎪⎪⇒-==⇒=-=⎨⎪-=⎪⎩故选 将0.4p =代入 2.42.460.4np n =⇒==．故选C ． 29、描述样本数据的分散程度的统计量是（ ）．A 、样本极差B 、样本方差C 、样本标准差D 、样本中位数 解：因有结论，描述样本分散程度的统计量有：⑴样本极差()()1n R x x =-．故选A ．⑵样本方差()22111ni i s x x n ==--∑．故选B ．⑶样本标准差s =C ．30、从均值μ已知，方差2σ未知的总体中抽得样本123,,X X X ,以下属于统计量的是（ ）．A 、 {}123max ,,X X XB 、12X X μ+-C 、12X X +D 、1X μσ-解：因不含未知参数的样本函数称为统计量，又因μ是已知，2σ是未知，故：⑴ {}123max ,,X X X 是统计量．故选A ．⑵12X X μ+-是统计量．故选B ．⑶12X X +是统计量．故选C ．31、随机变量是1X 和2X 服从的分布分别是()21,N μσ和()22,N μσ，概率密度函数分别是()1p x 和()2p x ，当12σσ<时，研究()1p x 和()2p x 的图形，下述说法正确的是（ ）.A 、()1p x 和()2p x 图形的对称轴相同B 、()1p x 和()2p x 图形的形状相同C 、 ()1p x 和()2p x 图形都在x 轴上方D 、()1p x 的最大值大于()2p x 的最大值解：根据正态分布X ～()2,Nμσ中两个参数μ、σ对图形的影响： ⑴μ→小，对称轴越靠近原点；μ→大，对称轴越远离原点. ⑵σ→小，钟形线高瘦；σ→大，钟形线矮胖．故：⑴因()1p x 、()2p x 的μ相等，故选A ．⑵根据密度函数的非负性，故选C ．⑶因12σσ<且μ相等，故选D ．32、考察如下三个样本，它们在数轴上的位置如下图所示：样本1 均值1x ，方差21s ， 样本2 均值2x ，方差22s ， 样本3 均值3x ，方差23s ， 它们的均值与方差间存（ ）关系. A 、123X X X == B 、123X X X >>C 、222132s s s >> D 、222123s s s >> D 、222312s s s >> 解：根据：⑴样本均值x 是描述样本的集中位置，11ni i x x n ==∑；⑵样本方差2s 是描述样本的分散程度，()22111ni i s x x n ==--∑. 故：⑴1235x x x ===，故选A ．（可以具体计算，这里省略，其实可以由图用眼看出结论）． ⑵因2s 是描述样本的分散程度，故选E ．（仅对此小题而言，因考场上的时间十分宝贵，故千万别去具体计算，靠理解，靠用眼看即容易得到结论）．33、设某产品长度X ～()215,0.05N ,若产品长度的规范限为150.1±，则不合格品率为（ ）．A 、()()22Φ+Φ-B 、 ()22Φ-C 、()22ΦD 、()212-Φ⎡⎤⎣⎦E 、()()22Φ-Φ-解：依题意，均值15μ=，标准差0.05σ=，而所谓不合格是指：包括⑴低于下规格限150.114.9L T =-=；⑵高于上规格限150.115.1U T =+=．因分别求概率：()()14.91514.920.05P X -⎛⎫<=Φ=Φ- ⎪⎝⎭, ()()15.11515.11120.05P X -⎛⎫>=-Φ=-Φ⎪⎝⎭ ． 故所求不合格率()()212P =Φ-+-Φ()()2112=Φ-+--Φ-⎡⎤⎣⎦()22=Φ- 故选B ．()212=-Φ⎡⎤⎣⎦． 故选D ．34、设 u α为标准正态分布的分位数，下列命题中正确的有（ ）．A 、0.30u >B 、0.50u =C 、0.70u <D 、0.30.70u u +=E 、0.30.71u u +=解：⑴参见21题图，因0.50u =，故选B.⑵因1u u αα-=-，故0.30.70u u +=，故选D.35、设A 、B 是两个随机事件，则有（ ）．A 、()()()P AB P A P B ≥+ B 、()()()P A B P A P B ≤+C 、()()(){}min ,P AB P A P B ≥D 、()()(){}min ,P AB P A P B ≤E 、()()P A B P AB ≥解：利用一般意义下的维恩图，故选B 、D 、E ．36、随机变量X 有如下概率分布23580.20.40.30.1XP 下列计算中，正确的有（ ）．A 、()30.5P X ≤=B 、()2.7 5.10.7P X <<=C 、() 2.9E X =D 、() 3.9E X = E 、()4.20.1P x ≥=解：根据离散型X 的分布：⑴()2.7 5.10.40.30.7P X <<=+=，故选B ．⑵()20.230.450.380.1 3.9i iE X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，故选D ． 37、在随机试验中，若事件A 发生的概率为0.05，下面诸陈述中正确的是（ ）．A 、做100次这种试验，A 必发生5次B 、做100次这种试验，A 可能发生5次左右C 、做40次这种试验，A 发生2次左右D 、多次重复（如10000次）这种试验，A 发生的频率约为5%解：根据随机事件A 发生的概率()0.055%P A ==的含义，故选B 、D ．（其中C 的数量关系不对）38、设某质量特性X ～()2,N μσ，USL 与LSL 为X 的上、下规范限，则不合格品率L U p p p =+，其中（ ）．A 、L LSL p μσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭B 、1L LSL p μσ-⎛⎫=-Φ ⎪⎝⎭C 、 U USL p μσ-⎛⎫=Φ⎪⎝⎭ D 、1U USL p μσ-⎛⎫=-Φ ⎪⎝⎭ 解：⑴参见教材32页，必须记忆符号：①下规格限L T LSL =;②上规格限U T USL =． ⑵参见33题，设低于下规格限概率为()L L L T p P X T μσ-⎛⎫=<=Φ ⎪⎝⎭, 高于上规格限概率为()1U U U T p P X T μσ-⎛⎫=>=-Φ⎪⎝⎭ 则不合格率L U p p p =+．故选A 、D ．39、设12,,x x …，n x 是简单随机样本，则有（ ）.A 、12,,x x …n x 相互独立B 、12,,x x …n x 有相同分布C 、12,,x x …n x 彼此相等D 、1x 与()122x x +同分布E 、1x 与n x 的均值相等解：根据“简单随机样本”的两个条件：⑴随机性；⑵独立性. 故选A 、B 、E ．40、设12,x x ，…n x 是来自正态分布总体()2,Nμσ的一个样本，则有（ ）．A 、11ni i X n =∑是μ的无偏估计 B 、211n i i X n =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑是2μ的无偏估计 C 、()2111ni i X X n =--∑是2σ的无偏估计Dσ的无偏估计E 、211n i i X n =∑是μ的无偏估计 解：根据结论：若12,x x ，…n x 是来自正态分布总体()2,N μσ的一个样本， 则：⑴正态均值μ的无偏估计有两个：样本均值x ，样本中位数x ； ⑵正态方差2σ的无偏估计只有一个：样本方差2s ．故选A 、C ．41、设[],L U θθ是θ的置信水平为1α-的置信区间，则有（ ）．A 、α愈大，置信区间长度愈短B 、α愈大，置信区间长度愈长C 、α愈小，置信区间包含θ的概率愈大D 、α愈小，置信区间包含θ的概率愈小E 、置信区间长度与α大小无关解：根据“1α-置信区间”的含义是：所构造的区间[],L U θθ能盖住未知参数θ的概率等于1α-．（一般取190%0.1αα-=⇒=） 故选A 、C ．42、设随机变量X ～()2,N μσ，下列关系式中正确的有（ ）． A 、()()P X P X μσμσ>+=≤-B 、()()22P X P X μσμσ≥+><+C 、()()23P X P X μσμσ<->>+D 、()()P X P X μσμσ>-<<+E 、()()1P X P X μσμσ>++≤-=解：借助一般正态分布X ～(),N μσ的曲线（即钟形线）形象直观， 故选A 、C ．第一章试题解答完。
