2023—2024学年大联考安徽高二(上)期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知A ,B ,C ,D 是空间中互不相同的四个点,则AB DB AC −−=( )A .ADB .CDC .BCD .DA2.直线310x ++=的倾斜角θ为( ) A .30°B .60°C .120°D .150°3.经过点(1,2)A ,且以(1,1)B −为圆心的圆的一般方程为( ) A .222230x y x y ++−−= B .222230x y x y +−+−= C .222270x y x y ++−−=D .222270x y x y +−+−=4.设a ∈R ,则“1a =”是“直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +−=平行”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知向量(2,,2)a x =− ,(2,4,)b y = ,若||3a = ,且a b ⊥ ,则xy 的值为( )A .0B .4C .0或4D .1或46.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点为1F ,2F ,且焦距为4,点M 在C 上,若12MF MF ⋅的最大值为25,则C 的离心率为( )A B .25C .23D .347.若直线(1)2y m x =−+与曲线y =m 的取值范围是( )A .4(,0),3 −∞+∞B .4,(0,)3−∞−+∞C .24,0,233−D .422,0,33 −−8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点在圆22(2)(4x y ++−=上,则该椭圆的离心率不可能是( )A .13B .12C D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.过点(2,1)P 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( ) A .30x y +−=B .30x y ++=C .10x y −−=D .20x y −=10.下列结论中正确的是( )A .若(1,1,2)a −,(2,2,1)b =− 分别为直线l ,m 的方向向量,则l m ⊥B .若(1,1,2)k −为直线l 的方向向量,(3,1,1)n = 为平面α的法向量,则//l α或l α⊂C .若1(4,2,1)n =−,2(2,1,2)n − 分别为两个不同平面α,β的法向量,则//αβ D .若向量(,1,)c s t =是平面ABC 的法向量,向量(1,2,0)AB − ,(1,1,1)BC − ,则1t =11.已知圆221:(1)(1)1C x y ++−=与圆2222:244210C x y mx my m m +−++−−=,则下列说法正确的是( )A .圆2C 的圆心恒在直线20x y +=上B .若圆2C 经过圆1C 的圆心,则圆2C 的半径为12C .当2m =−时,圆1C 与圆2C 有4条公切线D .当0m =时,圆1C 与圆2C 12.法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的任意两条互相垂直的切线的交点QG 的四边均与椭圆22:154x y C +=相切,则下列说法正确的是( )A .C 的蒙日圆的方程为229x y += B .若G 为正方形,则G的边长为C .若圆22(4)()4x y m −+−=与C 的蒙日圆有且仅有一个公共点,则3m =±D .过直线:230l x y +−=上一点P 作C 的两条切线,切点分别为M ,N ,当MPN ∠为直角时,直线OP(O 为坐标原点)的斜率为43−三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知平面α的一个法向量为(2,1,1)m =−,点(3,2,1)A −,(,1,2)B t −在平面α内,则t =__________.14.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________.15.已知()()000,0P x y x ≠是圆22:(2)(1)9M x y −+−=上的动点,002y a x +=,则实数a 的取值范围是__________.16.已知椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,M 是C 上异于顶点的一点,O 为坐标原点,E 为线段1MF 的中点,12F MF ∠的平分线与直线EO 交于点P ,当四边形12MF PF的面积为21sin MF F ∠=__________. 四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知圆22:240M x y ay b +−+−=经过(0,3)A ,(2,1)B 两点. (Ⅰ)求圆M 的半径;(Ⅱ)判断圆()222:21N x y m +++=(m ∈R 且0m ≠)与圆M 的位置关系.18.(12分)已知直线:34120m x y ++=和圆22:2440C x y x y ++−−=. (Ⅰ)求与直线m 垂直且经过圆心C 的直线的方程; (Ⅱ)求与直线m 平行且与圆C 相切的直线的方程.19.(12分)已知空间中三点(2,1,1)A −,(1,1,0)B ,(4,3,3)C −.设a AB =,b AC = . (Ⅰ)求2a b −;(Ⅱ)若2ka b − 与a kb +互相垂直,求实数k 的值.20.(12分)已知圆C 的圆心在坐标原点,面积为9π. (Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)若直线l ,l ′都经过点(0,2),且l l ′⊥,直线l 交圆C 于M ,N 两点,直线l ′交圆C 于P ,Q 两点,求四边形PMQN 面积的最大值. 21.(12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C −中,BA BC =,E 为棱AB 的中点,12AC =,二面角1E AC A−−的大小为π6.(Ⅰ)求证:1//BC 平面1EAC ;(Ⅱ)求直线1B C 与平面1EAC 所成角的正弦值. 22.(12分)已知圆C 的圆心为(,)C a b (0a >且0b >),1ab =,圆C 与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点(与坐标原点O 不重合),且线段AB 为圆C 的一条直径. (Ⅰ)求证:AOB △的面积为定值;(Ⅱ)若直线0x y −=经过圆C 的圆心,求圆C 的方程;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设P 是直线:220l x y ++=上的一个动点,过点P 作圆C 的切线PG ,PH ,切点为G ,H ,求线段GH 长度的最小值.2023—2024学年大联考安徽高二(上)期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学·答案一、单项选择题 1.答案B【命题意图】本题考查空间向量的线性运算.【解析】AB DB AC AB BD AC AD AC CD −−=+−=−=.2.答案C【命题意图】本题考查直线的斜率与倾斜角.【解析】直线310x ++=的斜率k =θ满足0180θ<°≤°,因为tan θ=,所以120θ=°.3.答案A【命题意图】本题考查圆的一般方程.【解析】由题意得,圆的半径||r AB 所以圆的标准方程为22(1)(1)5x y ++−=,所以圆的一般方程为222230x y x y ++−−=. 4.答案A【命题意图】本题考查两直线平行的定义.【解析】直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +−=平行的充要条件是212a a +=且5(1)6a a −+≠,解得1a =或12a =−. 5.答案C【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算.【解析】由(2,,2)a x =− ,且||3a = 3=①.由a b ⊥ ,得4420a b x y ⋅=+−= ②.由①②可得1,4x y ==或1,0,x y =− = 则xy 的值为0或4. 6.答案B【命题意图】本题考查椭圆的性质及基本不等式.【解析】因为122MF MF a +=,所以221212252MF MF MF MF a+⋅≤== (当且仅当1MF =25MF =时,等号成立).由题可知C 的半焦距2c =,所以离心率25c e a ==. 7.答案D【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.【解析】显然直线(1)2y m x =−+恒过点(1,2)A ,曲线y =2=,解得0m =或43m =−,由如图所示的图象知直线过点(2,0)−时,斜率23m =,直线过点(2,0)时,斜率2m =−,所以半圆y=(1)2y m x =−+有两个不同的交点时,203m <≤或423m −≤<−,所以实数m 的取值范围为422,0,33−−.8.答案C【命题意图】本题考查椭圆的离心率.【解析】设椭圆的半焦距为(0)c c >.圆22(2)(4x y ++=与坐标轴的公共点为()3,0−,()1,0−,(,又椭圆的焦点在x 轴上,所以,①若椭圆的上顶点为(,左焦点为()3,0−或()1,0−,即b =,3c =或1c =,则a =2a =,离心率e =12;②若椭圆的左顶点为()3,0−,左焦点为()1,0−,则3a =,1c =,离心率13e =. 二、多项选择题 9.答案ACD【命题意图】本题考查直线的方程.【解析】当直线的截距不为0时,设直线的截距式方程为1x y a b +=,由题可得211,||||,a ba b += = 所以211,a b a b +== 或211,,a ba b +==− 解得3,3a b = = 或1,1,a b = =− 所以直线方程为30x y +−=或10x y −−=,故A 正确,B 错误,C 正确;当直线的截距为0时,设直线方程为y kx =,由题可知12k =,故直线方程为20x y −=,D 正确. 10.答案BD【命题意图】本题考查空间向量的应用.【解析】(1,1,2)a −,(2,2,1)b =−,(1)2122(1)20a b ∴⋅=−×+×+×−=−≠,∴直线l 与m不垂直,故A 错误;3120k n ⋅=−++= ,//l α∴或l α⊂,故B 正确;421212−=≠− ,1n ∴ 与2n 不共线,//αβ∴不成立,故C 错误;由题可知0,0,c AB c BC ⋅=⋅=即20,10,s s t −+= −++= 解得1t =,故D 正确. 11.答案BC【命题意图】本题考查圆与圆的位置关系.【解析】圆2C 的方程可化为222()(2)(1)x m y m m −++=+,圆心为点(,2)m m −,恒在直线20x y +=上,故A 错误;由题可知222(1)(12)(1)m m m −−++=+,解得12m =−,所以圆2C 的半径为12,故B 正确;当2m =−时,12|1|12C C m =>++=,两圆相离,所以圆1C 与圆2C 有4条公切线,故C 正确;当0m =时,圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为10x y −+=,1(1,1)C −到公共弦=,所以圆1C 与圆2C的公共弦长为D 错误. 12.答案ABC【命题意图】本题考查数学文化.【解析】由题可知C3=,则蒙日圆的方程为229x y +=,故A 正确;设正方形G 的边长为(0)t t >,由题可知2222(2)(2)36t t a b +=+=,则t =B 正确;易知点(4,)m 在圆229x y +=外部,所以若圆22(4)()4x y m −+−=与C的蒙日圆有且仅有一个公共点,则两圆外切,所以32=+,解得3m =±,故C 正确;设直线l 与圆229x y +=交于A ,B 两点,联立22230,9,x y x y +−= +=可得119,512,5x y=− =223,0,x y = = 不妨设912,55A − ,(3,0)B ,当点P 与点A 或B 重合时,MPN ∠为直角,且43OA k =−,0OB k =,所以直线OP 的斜率为43−或0,故D 错误.三、填空题 13.答案6【命题意图】本题考查平面的法向量的定义.【解析】因为(3,3,3)AB t =−−,且AB m ⊥ ,所以2(3)330t −−−=,解得6t =.14.答案32【命题意图】本题考查椭圆的性质及点到直线的距离.【解析】由题可知椭圆的右焦点坐标为,所以右焦点到直线y =的距离是|30|322−=. 15.答案12,[0,)5−∞−+∞【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.【解析】设(0,2)A −,由题知圆M 的圆心为(2,1)M ,半径3r =,a 表示直线PA 的斜率,不妨设过点A 的圆的切线方程为2y kx =−,则圆心M 到切线的距离3d,解得0k =或125−,再结合图可知,实数a 的取值范围为12,[0,)5−∞−+∞.16 【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质.【解析】由题可知12F F =,124MF MF +=.因为MP 平分12F MF ∠,所以P 到1MF ,2MF 的距离相等,设为h ,则()1212122MF PF S MF MF h h =+=.易知OE 是12F MF △的中位线,延长1F P ,2MF 交于点G ,则P 为1FG 的中点,过1F 作1F H MG ⊥于H ,易得112212sin F H h F F MF F ==∠,则1221MF PF S MF F ∠,从而21sin MF F ∠ 四、解答题17.【命题意图】本题考查圆的方程及圆与圆的位置关系. 【解析】(Ⅰ)由题可得9640,41240, a b a b −+−=+−+−=解得1,1,a b = = 所以圆M 的一般方程为22230x y y +−−=,标准方程为22(1)4x y +−=, 故圆M 的半径为2.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知(0,1)M .又()20,2N m −−,所以2||3MN m =+. 因为23312m +>=+,所以圆M 与圆N 外离. 18.【命题意图】本题考查求直线的方程.【解析】(Ⅰ)设与直线:34120m x y ++=垂直的直线的方程为430x y a −+=. 圆C 可化为22(1)(2)9x y ++−=,圆心为(1,2)C −,因为直线430x y a −+=经过圆心C ,所以4(1)320a ×−−×+=,即10a =, 故所求直线的方程为43100x y −+=.(Ⅱ)设与直线:34120m x y ++=平行的直线的方程为340(12)x y c c ++=≠. 因为直线340x y c ++=与圆C 相切,所以圆心(1,2)C −到直线340x y c ++=3=,所以|5|15,20c c +==−或10,故所求直线的方程为34200x y +−=或34100x y ++=. 19.【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算.【解析】(Ⅰ)(2,1,1)A − ,(1,1,0)B ,(4,3,3)C −,a AB = ,b AC = ,(1,2,1)a ∴=−−,(2,2,2)b =− , 于是2(2,4,2)(2,2,2)(4,6,4)a b −=−−−−=−−,2a b ∴−=(Ⅱ)()()()22,4,22,2,222,42,22ka b k k k k k k −=−−−−=−−+−−, ()()()1,2,12,2,221,22,21a kb k k k k k k +=−−+−=−−−, 又2ka b − 与a kb + 互相垂直,(2)()0ka b a kb ∴−⋅+=,即(22)(21)(42)(22)(22)(21)0k k k k k k −−−++−+−−−=,212k ∴=,k = 20.【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系. 【解析】(Ⅰ)由题可知圆C 的圆心为(0,0)C ,半径3r =. 所以圆C 的方程为229x y +=.(Ⅱ)当直线l 的斜率存在且不为0时,设直线l 的方程为2y kx =+,圆心到直线l 的距离为d ,则d =,||MN同理可得||PQ则11||||22PMQNS MN PQ=⋅=×22244991411kk k≤−+−=++,当且仅当222449911kk k−=−++,即21k=时等号成立.当直线l的斜率不存在时,||6MN=,||PQ=此时11||||622PMQNS MN PQ=⋅=××=.当直线l的斜率为0时,根据对称性可得PMQNS=.综上所述,四边形PMQN面积的最大值为14.21.【命题意图】本题考查线面平行与线面角.【解析】(Ⅰ)如图,连接1AC交1AC于点O,连接OE,显然O是1AC的中点,因为E为AB的中点,所以OE为1ABC△的中位线,1//OE BC,而1BC⊂/平面1EAC,OE⊂平面1EAC,所以1//BC平面1EAC.(Ⅱ)设11AC的中点为1M,连接1M O并延长交AC于点M.因为BA BC=,所以1111B A B C=,于是有1111B M AC⊥.因为三棱柱111ABC A B C−是直三棱柱,所以平面111A B C⊥平面11A ACC,而平面111A B C 平面1111A ACC AC=,所以11B M⊥平面11A ACC.因为侧面11A ACC是矩形,所以111AC M M⊥.以1M 为原点,分别以直线11AC ,1M M ,11B M 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设(1)BA BC t t ==>,则1(1,0,0)A −,C,12E − ,于是1(2,CA =−,32CE =− . 设平面1EAC 的法向量为(,,)n x y z = ,则有10,0,n CA n CE ⋅= ⋅=即20,30,2x x z −= −+= 令1x =,可得1,n = . 易知平面1ACA 的一个法向量为(0,0,1)m = . 因为二面角1E AC A −−的大小为π6,所以π||cos 6||||m n m n ⋅===t =. 故1(0,0,1)B,11)B C =−,(1,n = .设直线1B C 与平面1EAC 所成的角为θ,则11sin ||B C n B C n θ⋅== ,即直线1B C 与平面1EAC22.【命题意图】本题考查直线与圆的综合应用.【解析】(Ⅰ)由题可知点O 在圆C 上,且圆C 的方程为2222()()x a y b a b −+−=+, 整理得22220x y ax by +−−=,则(2,0)A a ,(0,2)B b . 所以122222AOB S a b ab =××==△,为定值.(Ⅱ)因为直线0x y −=经过圆C 的圆心,所以a b =.又1ab =,0a >且0b >,解得1a b ==.所以圆C 的方程为22(1)(1)2x y −+−=.(Ⅲ)显然P ,G ,C ,H 四点共圆,且PC 为该圆的一条直径,设这四点所在的圆为圆N ,(22,)P m m −−,则圆N 的方程为22221213212222m m m m x y +++− ++−=+, 即22(21)(1)20x y m x m y m +++−+−−=,①又圆C 的半径r =,方程可化为22220x y x y +−−=,② ①-②,得圆C 与圆N 的相交弦GH 所在直线的方程为(23)(1)20m x m y m ++−−−=.点(1,1)C 到直线GH 的距离d所以||GH ,所以当1m =−时,||GH ,故线段GH .。