高一数学复习考点知识讲解课件§3.3抛物线3．3.1抛物线的标准方程考点知识1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.3.了解抛物线定义的实际应用．导语通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k，当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线．一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？一、抛物线的定义与标准方程问题1利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l 上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示点M随着点H运动的过程中，始终有MF＝MH，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．知识梳理 抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线(parabola)，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线(directrix)． 问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？提示过F 作直线FN ⊥直线l ，垂足为N ，以直线NF 为x 轴，线段NF 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，设焦点F 到准线l 的距离为p ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，又设P (x ，y )为抛物线上任意一点．过点P 作PH ⊥l ，垂足为H ，则PF ＝PH ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋p 2， 将上式两边平方并化简，得y 2＝2px (p >0)．知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p2x 2＝2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p2注意点：(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或y )的取值范围． 例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点为直线x ＋3y ＋15＝0与坐标轴的交点．解(1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)．又p2＝2，∴2p ＝8，故所求抛物线的标准方程为x 2＝8y . (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.反思感悟求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型．(2)求参数p的值．(3)确定抛物线的标准方程．提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪训练1(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．答案2x＝－1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1. (2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 答案x 2＝10y 和x 2＝－10y解析设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .二、抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0等于() A ．1B ．2C ．4D ．8 答案A解析∵14＋x 0＝54x 0， ∴x 0＝1.(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由题图可知，点P ，点(0,2)和抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172. 延伸探究1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A (3,2)，求P A ＋PF 的最小值． 解将x ＝3代入y 2＝2x ，得y ＝±6.所以点A 在抛物线内部．设点P 为其上一点，点P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d ， 则P A ＋PF ＝P A ＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，P A ＋d 最小，最小值是72. 即P A ＋PF 的最小值是72.2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l 1：3x －4y ＋72＝0，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解如图，作PQ 垂直于准线l 于点Q ，P A1＋PQ＝P A1＋PF≥A1F min.A1F的最小值为点F到直线3x－4y＋72＝0的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋(－4)2＝1.即所求最小值为1.反思感悟抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．跟踪训练2(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．答案4解析把点A(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.(2)设点A的坐标为(1，15)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋P A的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，点P 到准线x ＝－2的距离为d ＋1，于是PF ＝d ＋1，所以d ＋P A ＝PF －1＋P A 的最小值为AF －1＝4－1＝3.三、抛物线的实际应用例3(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反光镜顶点的距离是() A ．11.25cmB ．5.625cm C ．20cmD ．10cm 答案B解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p ＞0)．∵A (40,30)在抛物线上， ∴302＝2p ×40， ∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4542＝458＝5.625(cm)．(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．答案3.84解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一．设点B的坐标为(2，y B)，解得y B＝－425，点A的坐标为(2，－4)，∴AB＝y B－(－4)＝－425＋4＝3.84，∴最长支柱的长为3.84米．反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点B(4，－5)在抛物线上，故p＝85，得x2＝－165y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，y A)，由22＝－165y A，得y A＝－5 4.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h＝|y A|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2m时，小船开始不能通航．1．知识清单：(1)抛物线的定义．(2)抛物线的标准方程．(3)抛物线的实际应用．2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归．3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是() A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y答案B解析由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.2．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为()A.18B.12C.14D．4答案C解析根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝12y，其中p＝14，则抛物线的焦点到准线的距离p＝14.3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．答案6解析由抛物线的方程得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案2 6解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26米．课时对点练1．已知抛物线的焦点坐标是(－1,0)，则抛物线的标准方程为()A．x2＝4y B．x2＝－4yC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x答案D解析∵抛物线的焦点坐标是(－1,0)，∴抛物线是焦点在x 轴负半轴上的抛物线，且p 2＝1，得p ＝2.∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .2．已知抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则其焦点坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 4 答案A3．抛物线y ＝14x 2的准线方程是() A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案A解析因为y ＝14x 2，所以x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)答案B解析∵抛物线的准线方程为x＝－p 2，∴－p2＝－1，∴p2＝1，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．5．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为()A．y2＝x B．x2＝8yC．x2＝－8y D．y2＝－8x答案AC解析若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝12，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.6．点M(5,3)到抛物线y＝ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案D解析当a >0时，开口向上，准线方程为y ＝－14a ，则点M 到准线的距离为3＋14a＝6，所以a ＝112，所以抛物线方程为y ＝112x 2；当a <0时，开口向下，准线方程为y ＝－14a ，点M 到准线的距离为|3＋14a |＝6，所以a ＝－136或112(舍去)，所以抛物线方程为y ＝－136x 2.综上，抛物线方程为y ＝112x 2或y ＝－136x 2. 7．已知抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，则抛物线方程为________________，双曲线方程为________．答案y 2＝4x 4x 2－43y 2＝1解析因为交点在第一象限，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，由此知道双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程x214－y234＝1.8．在抛物线y2＝－12x上，且与抛物线的焦点的距离等于9的点的坐标是________．答案(－6,62)，(－6，－62)解析由方程y2＝－12x，知抛物线的焦点为F(－3,0)，准线为l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由抛物线的定义知PF＝3－x，又PF＝9，∴3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6 2.∴所求点的坐标为(－6,62)，(－6，－62)．9．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．解不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn，AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m＝n，由△AOB的面积为16，可得12·2m·n＝16，解得m＝n＝4，p＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .10．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．解设焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0， M 点到准线的距离为d ，则d ＝MF ＝10，即9＋p 2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．11．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点()A ．0.5mB ．1mC ．1.5mD ．2m答案B解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，集光板端点A (1,0.25) ，代入抛物线方程可得2×0.25p ＝1，解得p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y ，故焦点坐标是F (0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1m.12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP→＝4FQ →，则QF 等于() A.72B.52C ．3D ．2答案C解析过点Q 作QQ ′⊥l 于点Q ′，如图．∵FP→＝4FQ →， ∴PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，∴QF ＝QQ ′＝3.13．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为()A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案C解析由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.14．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) 答案②④解析抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则MF ＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足； 由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．15．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x轴上方且在双曲线上，则OP →·FP→的最小值为________. 答案3－2 3解析抛物线y ＝18x 2，即x 2＝8y 的焦点为F (0,2)．所以a 2＝22－12＝3，故双曲线的方程为y 23－x 2＝1.设P (x ，y )，因为点P 在x 轴上方，故由双曲线的性质可得y ≥3，OP →＝(x ，y )， FP →＝(x ，y －2)， OP →·FP →＝x 2＋y (y －2)＝x 2＋y 2－2y＝y 23＋y 2－2y －1＝43y 2－2y －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－32y －1 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－74. 因为y ＝34<3，故函数t ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－74在[3，＋∞)上单调递增，当y ＝3时，取得最小值，最小值为43×(3)2－2×3－1＝3－2 3.所以OP →·FP→的最小值为3－2 3. 16.一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB 恰好是拱高OD 的4倍．若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解以拱顶O 为原点，拱高OD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．∵AB 是OD 的4倍，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4. 由点B 在抛物线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝－2p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4， ∴p ＝a 2.∴抛物线方程为x 2＝－ay .设点E (0.8，y 0)为抛物线上一点，代入方程x 2＝－ay ，得0.82＝－ay 0，∴y 0＝－0.64a ，∴点E 到拱底AB 的距离h ＝a 4－|y 0|＝a 4－0.64a ，令h ＞3，则a 4－0.64a ＞3，解得a ＞6＋22415或a ＜6－22415(舍去)．∴a 的最小整数值为13.。
