小学奥数和倍差倍问题

Page 1 of 11 和倍差倍问题

考试要求

1、 该知识点不会单独出题，但是思路很重要；

2、 该知识点是典型应用题的基础，是必考内容。

知识框架

一、基本运算律及公式

1、和倍问题

和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作 倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.

和倍问题的数量关系式是：

和÷(倍数+1)=小数

小数×倍数=大数 或 和一小数=大数

如果要求两个数的差，要先求1份数：

1份数×(倍数－1)=两数差.

解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

2、差倍问题

差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．

差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量

差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－ 1)=1 倍数(较小数)

倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数

解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．

年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。

重难点

重点：1、最基本的应用题，但是应用很广；

2、如何画线段图，找等量关系；

难点：1、画图和找等量关系；

2、找到解题的思路和捷径。 Page 2 of 11 课前预习

购 物

圣诞节那一天，我与妈妈到百货大楼去买东西。正巧，大楼正在举办返券销售活动，只见标牌上清清楚楚地写着：购买服装类每付现金100元，返回礼券80元；鞋类每付100元，返回礼券60元；用具类每付100元，返回礼券40元；所付现金不足100元部分不返券，所返的礼券可在返券销售活动期间在商场内购买任何商品。我与妈妈转来转去，最后，我看中了一双320元的运动鞋，妈妈看中了一套498元的衣服；而我们还要买一套245元的炊具。这时，妈妈对我说：“你不是老说你的数学学得很好吗？耳听为虚，眼见为实，今天，妈妈就来考考你。我们把这三样东西全买下来，怎样买才能最省钱呢？”呵，这可难不倒我：“衣服最贵，得的券又最多，当然先用钱买衣服了，这样就可以得到320元的礼券，用这礼券可以买好我的运动鞋，然后再拿出245元买炊具，还能得80元礼券。而用这礼券还能买一些小装饰品呢！一共用现金743元。”我得意得看看妈妈。妈妈摇了摇头说“你这样不是浪费了80元的礼券吗？”我睁大眼睛：“难道还有更省钱的？”“当然了！”妈妈说。我拿出笔和纸算了起来，一会儿，我又设计出了另一种方案，我急着告诉妈妈：“先买鞋，可得到礼券180元，用这些礼券买衣服，需要补付318元，又得到礼券240元，最后买炊具，将礼券用完再补付5元，这样共付现金643元。比刚才的方案足足又省了100元。”妈妈看着我笑了。我们既花了最少的钱，又满足了自己的心愿。

同学们，通过这个故事你明白了什么道理？

例题精讲

模块一：分组凑整

【例 1】 （☆）光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

【考点】等差数列应用题 【难度】☆ 【题型】解答

【解析】 把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）.

所以，女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

男生人数：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）

【答案】200人，560 人

【巩固】 （☆）小强和小明共有50本练习本，小强的练习本比小明的2倍多2本．小强和小明各有几本练习本?

【考点】等差数列应用题 【难度】☆ 【题型】解答

【分析】(50－2)÷(1＋2) ＝48÷3＝16(本)…………………………小明

16×2＋2＝34（本）或50－16＝34（本）…………………小强

【答案】16本，34本 Page 3 of 11

【例 2】 （☆☆）商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】 我们可以把苹果的重量看作1份，如下图：

如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍，香蕉的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍，这时三种水果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，正好是苹果重量的(1＋3＋2)倍，苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷6＝9(千克)，橘子有9×3－3＝24(千克) .

【答案】24千克

【巩固】 （☆☆）果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍.

所以：梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵）；桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）；苹果树的棵数： 140-20=120（棵）

【答案】140棵，292棵，120棵

【例 3】 （☆☆） 智康学校有图书108本，学而思学校有图书140本，要使智康学校图书是学而思学校的3倍．必须从学而思学校拿出多少本放入基础班?

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】 由于要求智康学校图书为学而思学校的3倍，如果将学而思学校的应有图书量看做一倍量，那么智康和学而思存量的总和相当于学而思应有图书量的(1＋3)倍量，从而可求出学而思应有图书 Page 4 of 11 量．再来具体看问题“必须从学而思拿出多少本放入智康”，很明显用学而思原来的有图书量减去应有图书量，便可以解答了．智康、学而思图书的总和108＋140＝248(本)，学而思应有图书量：248÷ (1＋3)＝62(本)，学而思拿出图书数量： 140－62＝78(本)．

【答案】78本

【巩固】 （☆☆）大红有贺卡54张，小琴有贺卡70张，大红给小琴几张卡片后，小琴的卡片张数就是大红的3倍?

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 现在大红和小琴共有贺卡(54+70)张，大红拿出几张贺卡给小琴后，他们的贺卡总数还是(54+70)张.根据例1的解题思路，可求出当小琴的贺卡张数是大红的3倍时，大红有多少张贺卡.比大红原来的54张少了几张，就是大红给小琴的张数.

大红、小琴共有贺卡多少张?54+70=124(张) 小琴贺卡的张数是大红的3倍时大红有多少张?124÷(3+1)=31(张) 大红给了小琴多少张?54-31=23(张)

【答案】23张

【例 4】 （☆☆☆）甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 ① 甲、乙两水池共有水：2600＋1200=3800（立方米）

② 甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米）

③甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）

④经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）

【答案】80分钟

【巩固】 （☆☆☆）喜洋洋有69块棒棒糖，美洋洋有31块棒棒糖，如果喜洋洋每天给美洋洋4块，多少天之后美洋洋的棒棒糖数目是喜洋洋的3倍？

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 ①两羊共有棒棒糖：69+31=100（块）

②喜洋洋剩下的糖：100÷（3+1）＝25（块）

③喜洋洋给美洋洋的糖：69－25＝44（块）

④经过的天数：44÷4＝11（天）

【答案】11天

【例 5】 （☆☆☆）被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？． Page 5 of 11 【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。

把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；

被除数为：70×2=140。

【答案】被除数140，除数70

【解析】 （139-3）÷（1+3）=34

【巩固】 （☆☆☆）被除数，除数，商三个数的和是139，已知商是3，求被除数和除数是多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 （139-3）÷（1+3）=34

【答案】34

模块二、差倍问题

【例 6】 （☆）学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱．

【考点】等差数列应用题 【难度】☆ 【题型】解答

【解析】 这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差倍问题”来解决．见上图，由于白笔比彩笔的4倍多3箱，故把彩笔看做1倍数，(白笔－3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔－3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15－3＝12箱．彩色粉笔的箱数12÷3＝4(箱)，(4)白色粉笔的箱数：4＋15＝19(箱)．

【答案】白粉笔19箱，彩粉笔4箱

【巩固】 （☆）学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】 把彩笔看做1倍数，(白笔＋3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔＋3)少3倍，注意此时白笔比彩笔多15＋3＝18箱．彩色粉笔的箱数18÷3＝6(箱)，白色粉笔的箱数：6＋15＝21(箱)．

【答案】21箱

【例 7】 （☆☆）有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？．

【考点】等差数列应用题 【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】 如上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。