因式分解知识点归纳

因式分解

知识点回顾

1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算

2、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：)(cbammcmbma

（2）运用公式法： 平方差公式：))((22bababa；

完全平方公式：222)(2bababa

（3）十字相乘法：))(()(2bxaxabxbax

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法

5、同底数幂的乘法法则：mnmnaaa（nm,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：235()()()ababab

6、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(

幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(

如：23326)4()4(4

7、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx

8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且)nm

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab

9、零指数和负指数；

10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。 ppaa1（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。

如：81)21(233

10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：xyzyx3232

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即mcmbmacbam)((cbam,,,都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]

如：)(3)32(2yxyyxx

12、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：)6)(5()3)(23(xxbaba

三、知识点分析：

1.同底数幂、幂的运算：

am·an=am+n(m，n都是正整数).

(am)n=amn(m，n都是正整数).

例题1.若6422a，则a= ；若8)3(327n，则n=

例题2.若125512x，求xx2009)2(的值。

例题3.计算mnxyyx2322

练习

1.若32na，则na6= .

2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于 。

2.积的乘方 (ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1. 计算：43ppmnnmmn

3.乘法公式

平方差公式：22bababa

完全平方和公式：2222bababa

完全平方差公式：2222bababa

例题1. 利用平方差公式计算：2009×2007－20082

例题2.利用平方差公式计算：22007200720082006．

3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

考点一、因式分解的概念

因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算

1、下列从左到右是因式分解的是（ ）

A. x(a-b)=ax-bx B. x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2

C. x2-1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c

2、若2249akabb可以因式分解为2(23)ab，则k的值为______

3、已知a为正整数，试判断2aa是奇数还是偶数

4、已知关于x的二次三项式2xmxn有一个因式(5)x，且m+n=17，试求m，n的值

考点二 提取公因式法

提取公因式法：)(cbammcmbma

公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式

找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母

3、字母的次数-相同字母的最低次数

习题

1、将多项式3222012ababc分解因式，应提取的公因式是（ ）

A、ab B、24ab C、4ab D、24abc

2、已知(1931)(1317)(1317)(1123)xxxx可因式分解为()(8)axbxc，其中a，b，c均为整数，则a+b+c等于（ ）

A、-12 B、-32 C、38 D、72

3、分解因式

（1）6()4()aabbab （2）3()6()axybyx （3）12nnnxxx （4）20112010(3)(3)

4、先分解因式，在计算求值

（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)xxxxxxx 其中x=1.5

（2）22(2)(1)(1)(2)aaaaa 其中a=18

5、已知多项式42201220112012xxx有一个因式为21xax，另一个因式为22012xbx，求a+b的值

6、若210ab，用因式分解法求253()abababb的值

7、已知a，b，c满足3ababbcbccaca，求(1)(1)(1)abc的值。（a，b，c都是正整数）

考点三、用乘法公式分解因式

平方差公式 ))((22bababa

运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反

习题

1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）

A、22x4y B、22x2y1 C、224xy D、224xy

2、分解下列因式

（1）2312x （2）2(2)(4)4xxx （3）22()()xyxy

（4）32xxy （5）2()1ab （6）22229()30()25()ababab

（7）22009201120101

3、若n为正整数，则22(21)(21)nn一定能被8整除

完全平方式 222)(2bababa

运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。

习题

1、在多项式①22x2xyy ②22x2xyy ③22xxy+y ④24x1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）

A、①② B、②③ C、①④ D、②④

2、下列因式分解中，正确的有（ ） ①32224aaba(4ab)②2xy2xyxyxy(x2)③aabaca(abc)④29abc6ab3abc(32a)⑤22222xyxyxy(xy)333

A、0个 B、1个 C、2个 D、5个

3、如果22(3)16xmx是一个完全平方式，那么m应为（ ）

A、-5 B、3 C、7 D、7或-1

4、分解因式

(1)242mxmxm (2) 22-42aa (3)xxx232

（4）22(23)(3)xx （5）2882xyxyy

（6）22224(x-2xy)+2y(x-2xy)+y （7）4x2－12xy+9y2－4x+6y-3

5、已知2ab，2ab，求32231122ababab

6、证明代数式2210845xyxy的值总是正数

7、已知a，b，c分别是ABC的三边长，试比较2222()abc与224ab的大小

考点四、十字相乘法

（1）二次项系数为1的二次三项式2xpxq中，如果能把常数项q分解成两个因式ab、的积，并且ab等于一次项系数p的值，那么它就可以把二次三项式2xpxq分解成

例题讲解1、分解因式：652xx

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5

1 2

解：652xx=32)32(2xx 1 3

=)3)(2(xx 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例题讲解2、分解因式：672xx

解：原式=)6)(1()]6()1[(2xx 1 -1

=)6)(1(xx 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习

分解因式(1)24142xx (2)36152aa (3)542xx

(4)22xx (5)1522yy (6)24102xx

2、二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2

条件：（1）21aaa 1a 1c

（2）21ccc 2a 2c