华师大版初二数学因式分解知识点及例题详解

整式的乘除和因式分解【本讲教育信息】一、教学内容：期末复习1. 全等三角形2. 轴对称3. 实数4. 一次函数5. 整式的乘除和因式分解二、知识要点：1. 全等三角形的定义、性质、判定（1）____________________的三角形叫全等三角形，全等三角形的__________、__________相等．（2）一般三角形全等的判定方法有____________________． （3）直角三角形全等的特有判定方法是__________． 2. 角平分线、线段垂直平分线的性质和判定A BC OP D EA3. 轴对称图形和轴对称的定义和性质 轴对称图形：一个图形，特殊形状 轴对称：两个图形，特殊位置关系4. 等腰三角形（等边三角形） （1）定义顶角底角底边腰底角腰（2）性质：等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合．（3）等边三角形的性质和判定：等边三角形的三个角__________，每个角为__________；__________的三角形为等边三角形．（4）在直角三角形中，如果有一个锐角为30°，那么____________________． （5）点关于坐标轴对称的特征：（x 、y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，－y ）； （x 、y ）关于y 轴对称的点的坐标为（－x ，y ）． 5. 实数相关概念及化简运算（1）平方根；（2）算术平方根；（3）立方根；（4）开方、±a （a ≥0）、3a ；（5）无理数．6. 一次函数的图象及其性质b ＝0b ＜0＞0k ＜0,k k ＜0,b7. 一次函数和一元一次不等式、方程组的关系从数的角度看：y ＝kx ＋b y ＝0时，求x解方程kx ＋b ＝0y ＝kx ＋b y ＞0（y <0）时，求x 的取值范围解不等式kx ＋b >0（kx ＋b <0） 从形的角度看：（1）y ＝0时，直线与x 轴交点横坐标的值．（2）y ＞0或y ＜0时，射线（x 轴上方或下方的图象）对应的x的取值范围．8. 幂的运算a m ·a n ＝a m ＋n ，（a m ）n ＝a mn ，（ab ）m ＝a m b m ，a m ÷a n ＝a m －n ，a 0＝1（a ≠0）． 9. 整式的乘除 平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2； 完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2＋b 2±2ab ；因式分解：①提公因式法，②运用公式法：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ），a 2＋b 2±2ab ＝（a ±b ）2．三、重点、难点：三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的性质及应用，幂的运算和因式分解．四、考点分析：这个学期的教学内容在中考中是比较重要的，其中一次函数和三角形往往会各出现一道解答题，每题在8分左右．轴对称、实数、整式乘除和因式分解往往是以选择题或填空题的形式出现，各占3分左右．也就是说这部分内容会占到24分至30分．【典型例题】例1. 完成下列各题：（1）如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BC ＝12cm ，BD ＝8cm ，则点D 到AB 的距离为__________．ABCD(1)12ABCE (2)BCD (3)（2）如图所示，∠1＝∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加一个条件是__________．（填一个即可）（3）如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，∠A ＝30°，若AB ＝12cm ，则BD ＝__________．（4）若点M （m ，－4）、N （2，n ）关于x 轴对称，则m ＝__________，n ＝__________． （5）（2008年长沙）下面计算正确的是（ ） A. （－2）0＝－1 B. 4＝±2 C. （m ·n 3）2＝m ·n 6 D. m 6÷m 2＝m 4 （6）若点A （2，4）在函数y ＝kx －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A. （0，－2）B. （32，0）C. （8，20）D. （12，12）解：（1）4cm ；（2）BE ＝CE 或∠B ＝∠C 或∠BAE ＝∠CAE ；（3）3cm ；（4）2，4；（5）D ；（6）A例2. 某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们确信房梁是水平的．他们的判断对吗？为什么？分析：根据题意，利用等腰三角形的“三线合一”的性质和铅锤的作用是解答本题的关键，等腰三角形底边上的中线应垂直于底边，如果线绳经过直角顶点，说明房梁是水平的，根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．解：他们的判断是正确的．因为铅锤线过三角尺的直角顶点C 和底边中点O ，根据等腰三角形的“三线合一”性质，所以铅锤线是底边AB 的垂线，所以房梁是水平的．评析：他们的判断是否正确，其实就是把同学们的检测过程转化成数学问题，如果转化后的数学问题和某些数学理论相符，他们的判断就是正确的；如果和某些数学理论相违背，他们的判断就是错误的．例3. 已知xy ＝5，a －b ＝6，求xya 2＋xyb 2－2abxy 的值． 分析：先化简，再代入求值． 解：xya 2＋xyb 2－2abxy ＝xy （a 2＋b 2－2ab ） ＝xy （a －b ）2因为xy ＝5，a －b ＝6， 所以原式＝5×62＝180．所以当xy ＝5，a －b ＝6时，xya 2＋xyb 2－2abxy 的值是180．评析：注意整体思想方法的运用．例4.如图所示，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．问AB＝AC，AD＝AE成立吗？AEDB C分析：要证明结论中的两个式子AB＝AC，AD＝AE，可借助△ABD≌△ACE，从而得证．解：成立．因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．又因为∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，所以△ABD≌△ACE（AAS），所以AB＝AC，AD＝AE．评析：几何问题，要善于将已知条件的数量关系和图形相结合来处理，同时要把握问题的形式，准确确定要解决问题的方向．例5.某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国有出租车公司中的一家签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1、y2与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象回答下列问题．（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家车合算？分析：此题是一道图文信息题，理解图象上的点所表示的实际意义是解本题的关键．解：（1）每月行驶的路程小于1500km时，租国有出租车公司的车合算．（2）每月行驶的路程等于1500km时，租两家车的费用相同．（3）如果每月行驶路程为2300km，那么这个单位租个体车主的车合算．评析：解答本题应抓住特殊点——两个图象的交点，交点左边的两个图象为横坐标相同时，上面的图象上的点的纵坐标总比下面的大，而交点右边的两个图象则相反．【方法总结】这部分用到的数学思想方法很多，比较典型的是整式乘除部分用到的整体思想、一次函数部分用到的数形结合思想、三角形全等和等腰三角形部分用到的转化思想等．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. （2007年南京）14的算术平方根是（ ）A. －12B. 12C. ±12D. 1162. （2007年济南）点P （－2，1）关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A. （2，1） B. （－2，－1） C. （2，－1） D. （1，－2）3. （2007年山东淄博）估计88的大小应（ ） A. 在9.1～9.2之间 B. 在9.2～9.3之间 C. 在9.3～9.4之间 D. 在9.4～9.5之间4. （2007年山东淄博）如图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离．．（y ）与时间（x ）之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（ ）xyOA B O5. （2007年天津）下列判断中错误．．的是（ ） A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等6. （2007年台湾）如图，△ABC 中，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝50°，且D 、E 两点分别在BC 、AB 上．若AD 为∠BAC 的平分线，AD ＝AE ，则∠AED ＝？（ ）A. 50°B. 60°C. 65°D. 80°ABCDE30°50°7. （2008年广东汕头）下列图形中是轴对称图形的是（ ）8. （2008年济南）下列计算正确的是（ ） A. a 3＋a 4＝a 7 B. a 3·a 4＝a 7 C. （a 3）4＝a 7 D. a 6÷a 3＝a 2*9. （2007年厦门）下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形.则以上结论正确的是（ ）A. 只有命题①正确B. 只有命题②正确C. 命题①、②都正确D. 命题①、②都不正确**10. （2008年海南）如图，直线l1和l2的交点坐标为（）A. （4，－2）B.（2，－4）C.（－4，2）D. （3，－1）二. 填空题1. （2008年海南）计算：（a＋1）（a－1）＝__________．2. （2008年北京）分解因式：a3－ab2＝_______ ___．3. （2007年中山）如图，在不等边△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝60°，图中等于60°的角还有__________．AD EB C4. （2007年宜宾）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D. 请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是__________．AB CD*5. （2007年武汉）如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是__________．三. 解答题1. （2007年北京）已知x2－4＝0，求代数式x（x＋1）2－x（x2＋x）－x－7的值．2. （2007年北京）已知：如图所示，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB ＝OD. 求证：AB＝CD.AB CDOP3. （2008年四川成都）如图，已知点A 是锐角∠MON 内的一点，试分别在OM 、ON 上确定点B 、点C ，使△ABC 的周长最小．写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点_______________________________________________（要求画出草图，保留作图痕迹）4. （2008年贵阳）如图所示，在平面直角坐标系x O y 中，A （－1，5），B （－1，0），C （－4，3）．（1）求出△ABC 的面积．（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1． （3）写出点A 1、B 1、C 1的坐标．*5. （2007年长春）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，连接AD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 是垂足．图中共有多少对全等三角形？请直接用“≌”符号把它们分别表示出来（不要求证明）．ADBCE F**6. （2007年太原）今年的全国助残日这天，某单位的青年志愿者到距单位6千米的福利院参加“爱心捐助活动”．一部分人步行，另一部分人骑自行车，他们沿相同的路线前往．如图，l 1、l 2分别表示步行和骑自行车的人前往目的地所走的路程y （千米）随时间x （分钟）变化的函数图象．（1）分别求l 1、l 2的函数表达式；（2）求骑车的人用多长时间追上步行的人．xy O246l 1l 230405060（分钟）（千米）【试题答案】一. 选择题1. B2. B3. C4. D5. B6. C7. C8. B9. C 10. A二. 填空题1. a 2－12. a （a ＋b ）（a －b ）3. ∠ABC4. BD ＝CD 或∠ABD ＝∠ACD 等5. x ＞－2三. 解答题1. 原式＝x 2－7＝－32. 提示：证明△AOB ≌△COD3. 作点A 关于OM 的对称点E ，作点A 关于ON 的对称点F ，连接EF 交OM 于点B ，交ON 于点C.4. （1）152（2）略（3）A 1（1，5），B 1（1，0），C 1（4，3）5. 共有3对．△ABD ≌△ACD ；△ADE ≌△ADF ；△BDE ≌△CDF6. （1）设l 1的表达式为y 1＝k 1x ，由图象知l 1过点（60，6），∴60k 1＝6，k 1＝110，∴y 1＝110x )60x 0(≤≤，设l 2的表达式为y 2＝k 2x ＋b 2，由图象知l 2过点（30，0）和（50，6）两点 ∴y 2＝310x －9)50x 30(≤≤（2）当骑车的人追上步行的人时，y 1＝y 2，即110x ＝310x －9 ∴x ＝45，45－30＝15（分钟）答：骑车的人用15分钟追上步行的人．。

分解因式的常用方法【精练】把下列各式因式分解（1）a ax ax +-442 （2）362-x分析：在分解因式时，一定先要认真观察，不要盲目下笔．通过观察发现（1）题的多项式含有公因式a ，因此先提取公因式a ，余下的因式1442+-x x 又可以利用公式法继续分解；而（2）题可以直接考虑用平方差公式．解答：（1）362-x a ax ax +-442=22)12()144(-=+-x a x x a （2）362-x =()()66-+x x点评：因式分解一般先考虑提公因式，然后再考虑用公式，并且要分解到底．拓广：因式分解：a a a4423++=【知识规律串讲】一、基础知识（1）因式分解：把一个多项式和的形式化为积的形式，叫做因式分解.（2）公因式：几个单项式中相同因式最低次幂的积叫做这几个单项式的公因式. 确定公因式的方法是：系数——取多项式的各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂．；（3）提公因式法：实际上是逆用乘法分配律，即()()c b a m mc mb ma ++=++（4）公式法：利用平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 利用完全平方公式：()2222b a b ab a +=+± （5）因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；③分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．二、分解因式的几种常用方法．1．按公因式分解例1 分解因式7x 2－3y+xy+21x ．分析：第1、4项含公因式7x，第2、3项含公因式y，分组后又有公因式(x－3)，解：原式=(7x2－21x)+(xy－3y)=7x(x－3)+y(x－3)=(x－3)(7x+y)．2．按系数分解例2 分解因式x3+3x2+3x+9．分析：第1、2项和3、4项的系数之比1：3，把它们按系数分组．解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．3．按次数分组例3 分解因式m2+2m·n－3m－3n+n2．分析：第1、2、5项是二次项，第3、4项是一次项，按次数分组后能用公式和提取公因式．解：原式=(m2+2m·n+n2)+(－3m－3n)=(m+n)2－3(m+n)＝(m+n)(m+n－3)．4．按乘法公式分组分析：第1、3、4项结合正好是完全平方公式，分组后又与第二项用平方差公式．5．展开后再分组例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．分析：将括号展开后再重新分组．解：原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．6．拆项后再分组例6 分解因式x2－y2+4x+2y+3．分析：把常数拆开后再分组用乘法公式．解：原式=x2－y2+4x+2y+4－1=(x2+4x+4)+(－y2+2y－1)=(x+2)2－(y－1)2=(x+y+1)(x－y+3)．7．添项后再分组例7 分解因式x4+4．分析：上式项数较少，较难分解，可添项后再分组．解：原式=x4+4x2－4x2+4=(x2+2)2－(2x)2=(x2+2x+2)(x2－2x+2)8．用换元法进行因式分解用添加辅助元素的换元思想进行因式分解就是原式繁杂直接分解有困难，通过换元化为简单，从而分步完成．例8 分解因式(x2+3x－2)(x2+3x+4)－16．分析：将令y=x2+3x，则原式转化为(y－2)(y+4)－16再分解就简单了．解：令y=x2+3x，则原式=(y－2)(y+4)－16=y2+2y－24=(y+6)(y－4)．因此，原式=(x2+3x+6)(x2+3x－4)=(x－1)(x+4)(x2+3x+6)．9．用求根法进行因式分解例9 分解因式x2+7x+2．分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成，但仍可以分解，可用先求该多项式对应方程的根再分解．10．用待定系数法分解因式．例10 分解因式x2+6x－16．分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x－16相比较得b1+b2=6，b1·b2=－16，可得b1，b2即可分解．解：设x2+6x－16=(x+b1)(x+b2)则x2+6x－16=x2+(b1+b2)x+b1·b2∴x2+6x－16=(x－2)(x+8)．。

因式分解1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。

2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。

一、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式解。

注意: （1） 因式分解的对象是多项式；（2）因式分解的结果一定是整式乘积的形式；（3）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； （4） 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；（5） 结果如有相同因式，应写成幂的形式；（6）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；（7） 因式分解的一般步骤是：①通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；②若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 二、因式分解的方法 1. 提公因式法提公因式法：多项式中的每一项都含有相同的因式，这个相同的因式叫做公因式．把多项式的公因式提出来，化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式）形如：)(c b a m mc mb ma ++=++教学目标学习内容知识梳理2．公式法(1)平方差公式：))((22b a b a b a -+=-. (2)完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±. 其中，222b ab a +±叫做完全平方式.(3)补充：2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++3．分组分解法形如：))(()()()()(b a n m n m b n m a bn bm an am bn bm an am ++=+++=+++=+++，把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. （1）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

初二数学乘法公式 因式分解华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：乘法公式 因式分解教学目标：1. 会由整式的乘法推导乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景。

2. 体会公式在运算中的应用，熟练地利用公式进行简单的计算。

3. 了解因式分解的意义，感受因式分解与整式乘法之间的互逆变形。

4. 会用提公因式法，公式法进行因式分解。

知识内容： 一. 乘法公式重点：理解掌握平方差公式，两数和的完全平方公式的结构特征，正确地应用公式。

1. 平方差公式：()()a b a b a b +-=-22它的结构特征是：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一个完全相同，另一个互为相反数。

②右边是乘式中两个项的平方差。

③公式中的a ，b 可以是任意一个整式（数、字母、单项式或多项式） 2. 两数和的完全平方公式：()a b a ab b +=++2222它的结构特征是：①左边是两个相同的二项式相乘。

②右边是二次三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式中两项积的2倍。

③式中的a ，b 可以是数，单项式或多项式。

3. 两数差的完全平方公式：()a b a ab b -=-+2222二. 因式分解重点：理解因式分解的含义，会用提公因式法和公式法进行因式分解。

1. 因式分解把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。

因式分解与整式乘法互为逆运算。

2. 提公因式法多项式ma ＋mb ＋mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。

把公因式提出来，多项式ma ＋mb ＋mc 就可以分解为两个因式m 和（a ＋b ＋c ）的乘积了，像这样因式分解的方法，叫提公因式法。

am bm cm m a b c ++=++()3. 公式法利用乘法公式对多项式进行因式分解的方法，叫公式法。

a b a b a b 22-=+-()() a ab b a b 2222++=+() a ab b a b 2222-+=-()4. 分组分解法要把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式，没有公因式可提，也不能直接运用公式，如果先把前两项分成一组，并提出公因式a ，把它的后两项分成另一组，提出公因式b ，从而得到a m n b m n ()()+++，这时又有公因式()m n +，于是提出()m n +，从而得到()()m n a b ++，这种方法叫分组分解法。