(完整版)线性规划案例
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1 1.人力资源分配问题
例1. 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
班次 时间 所需人数 班次 时间 所需人数
1 6:00~10:00 60 4 18:00~22:00 50
2 10:00~14:00 70 5 22:00~2:00 20
3 14:00~18:00 60 6 2:00~6:00 30
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,
这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70
x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 50
x4 + x5 ≥ 20
x5 + x6 ≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
运用 lingo求解：
Objective value: 150.0000
ariable Value Reduced Cost
X1 60.00000 0.000000
X2 10.00000 0.000000
X3 50.00000 0.000000
X4 0.000000 0.000000
X5 30.00000 0.000000
X6 0.000000 0.000000
例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
时间 所需售货员人数
星期日 28
星期一 15
星期二 24
星期三 25
星期四 19
星期五 31
星期六 28
2
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24
x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25
x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19
x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31
x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
lingo求解
Objective value: 36.00000
Variable Value Reduced Cost
X1 12.00000 0.000000
X2 0.000000 0.3333333
X3 11.00000 0.000000
X4 5.000000 0.000000
X5 0.000000 0.000000
X6 8.000000 0.000000
X7 0.000000 0.000000
例3. 某储蓄所每天的营业时间为上午9:00到下午17:00，根据经验，每天不同时间段所需要的服务员的数量为：
时间段 9~10 10~11 11~12 12~13 13~14 14~15 15~16 16~17
服务人员数量 4 3 4 6 5 6 8 8
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬为100元，从上午9:00到下午17:00工作，但中午12:00到下午14:00之间必须安排1小时的午餐时间；储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬为40元。问：
1) 储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？
2) 如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少经费？
3) 如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少经费？
解：设x1, x2分别表示12~13，13~14进行午餐的全时服务人员，
y1，y2，y3，y4，y5分别表示9~10，10~11，11~12，12~13，13~14开始工作的半时服务人员，则问题1的模型如下所示：
min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;
x1+x2+y1>4;
x1+x2+y1+y2>3;
x1+x2+y1+y2+y3>4;
x2+y1+y2+y3+y4>6;
x1+y2+y3+y4+y5>5;
x1+x2+y3+y4+y5>6;
x1+x2+y4+y5>8;
x1+x2+y5>8;
y1+y2+y3+y4+y5<3; 3 @gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);
Objective value: 820.0000
Variable Value Reduced Cost
X1 3.000000 100.0000
X2 4.000000 100.0000
Y1 0.000000 40.00000
Y2 2.000000 40.00000
Y3 0.000000 40.00000
Y4 0.000000 40.00000
Y5 1.000000 40.00000
2）把y1+y2+y3+y4+y5<3；修改为y1+y2+y3+y4+y5=0；
min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;
x1+x2+y1>4;
x1+x2+y1+y2>3;
x1+x2+y1+y2+y3>4;
x2+y1+y2+y3+y4>6;
x1+y2+y3+y4+y5>5;
x1+x2+y3+y4+y5>6;
x1+x2+y4+y5>8;
x1+x2+y5>8;
y1+y2+y3+y4+y5=0;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);
Objective value: 1100.000
Variable Value Reduced Cost
X1 5.000000 0.000000
X2 6.000000 0.000000
Y1 0.000000 100.0000
Y2 0.000000 0.000000
Y3 0.000000 0.000000
Y4 0.000000 0.000000
