2024-2025学年广西南宁市高二上学期第三次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．设，则在复平面内对应点位于（ ）32i z =-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在等比数列中，若，，，则公比等于（）{}n a 10a <218a =48a =q A ．B ．C ．D ．或322323-2323-3．设非零向量，满足，则a b a b a b+=- A ．⊥B ．a b =a bC ．∥D ．a ba b> 4．等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ）{}n a 35718a a a ++=A ．54B ．63C ．66D ．725．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）m n αA ．若，，则B ．若，，则//m α//n α//m n //m αn ⊂α//m n C ．若，，则D ．若，，则m n ⊥m α⊥//n αm α⊥//n αm n⊥6．为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉3:2的两局恰好相邻的概率是（）A ．B ．C ．D ．161312237．直线被圆截得的弦长为（）3y kx =+22(2)(3)4-+-=x y k =A ．B ．C ．D ．8．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个公共点，1E 2E 1F 2F P .记椭圆与双曲线的离心率分别为与，则点到中心距离的最1260F PF ∠=︒1e 2e ()12,e M e O 小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本大题共3小题）9．设是等比数列，与分别是它们的前项的和与积，则下列说法正确的有{}n a n S n T n （）A ．是等比数列{}n ka ()k ∈R B ．若，其中，，则nn S Aq B =+A B ∈R 0A B +=C ．若，，则有最大值11a >01q <<n TD ．若，，则是等比数列10a >0q >10．对于，下列正确的有（）π()2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭A ．若，则关于直线对称2ω=()f x 5:π12l x =B ．若，则关于点中心对称2ω=()f x π,06P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．若在上有且仅有4个根，则()1f x =π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)10,13ω∈D ．若在上单调，则()f x π0,3⎡⎤⎢⎣⎦50,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11．已知抛物线，过点的直线依次交抛物线于，两点，2:2(0)C y px p =>(,0)2pE -l A B 为抛物线的焦点，记，，，（为轴），F C AEF α∠=AFB θ∠=AFE β∠=BFX γ∠=X x 直线的斜率为，则下列说法正确的是（）l k A ．恒成立B ．若与抛物线相切，则βγ=l C 1k =±C ．时，D ．存在直线，使得90θ=︒12k =±l αθ=三、填空题（本大题共3小题）12．若是奇函数，则.()22x xf x a -=⋅-a =13．若数列对任意正整数，有（其中，为常数，且）{}n a n n m n a a q +=m +∈N q 0q ≠1q ≠，则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性{}n a m q 等比数列”的前3项为1，1，2，周期为3，周期公比为2，则数列的前13项{}n a {}n a 和为.14．长方体中，，.点，分别是，的中1111ABCD A B C D -12AB AA ==3AD =E F AB 1AA 点，记面为，直线，则直线与所成角的余弦值为.1EFC α11A D P α= BP 1CD 四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角，，的对边分别为，，，且.ABC V A B C a bc a bc -=(1)求角的大小；A (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.2sin sin 1cos ABC =+ABC V BAC ∠BCD 求的长.AD 16．如图，四棱锥中，平面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AD CD ⊥//AD BC ，.为的中点，点在上，且.2PA AD CD ===3BC =E PD F PC 13PF PC =(1)求证：；AE CD ⊥(2)求二面角的正弦值；F AE P --(3)点在上，且.判断，，，四点是否共面，说明理由.G PB 23PG PB =A G E F 17．某校杰出校友为回报母校，设立了教育基金，有A 和B 两种方案.方案A 是在每年校庆日这天向基金账户存入100万元.当天举办仪式奖励优秀的教师和品学兼优的学生共计40万元，剩余资金用于投资，预计可实现10%的年收益.方案B 是今年校庆日一次性给基金账户存入1000万元，校庆日奖励为第一年奖40万，每年增加10万，余下资金同样进行年化10%收益的投资.设表示第年校庆后基金账户上的资金数n a n （万元）.(1)对于A 、B 两种方案，分别写出，及与的递推关系；1a 2a 1n a +n a (2)按两种方案基金连续运作10年后，求基金账户上资金数额.（精确到万，参考数据：，）91.1 2.36=101.12.59=18．已知数列满足，，设.{}n a 11a =112N 221n n n a n k a k a n k *++=⎧=∈⎨=-⎩，，，21n n b a -=(1)写出，，并证明是一个等比数列：1b 2b {}1n b +(2)求数列的通项公式；{}n a (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若k 2k a 21k a +22k a +k 不存在，请说明理由.19．已知椭圆的左､右焦点分别为和，焦距为2.动点C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)1F 2F在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有()00,M x y C 2MF 1F 21cos MF F ∠=(1)求椭圆的标准方程；C (2)如图，过原点作的两条切线，分别与椭圆交于点O ()()22002:3M x x y y -+-=C 和点，直线的斜率分别记为.当点在椭圆上运动时，P Q OP OQ ､12k k ､M ①证明：恒为定值，并求出这个值；12k k ⋅②求四边形面积的最大值.OPMQ答案1．【正确答案】A【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限.32i z =-32i z =+()3,2故选：A2．【正确答案】C 【详解】数列是等比数列，{}n a 242a a q ∴=⋅，2418,8a a == ，242,.93q q ∴=∴=±120,.3a q <∴=- 故选：C.3．【正确答案】A【详解】由平方得，即，则，故选A.a b a b +=- 222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 0a b ⋅= a b ⊥ 本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．【正确答案】A【详解】由等差数列的性质可知，有，3575318a a a a ++==56a =故前9项的和为.()199********a a S a +===⨯=故选：A.5．【正确答案】D利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解：选项A 中直线，还可能相交或异面，m n 选项B 中，还可能异面，m n 选项C ，由条件可得或．//n αn ⊂α故选：D.本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.6．【正确答案】C【详解】若甲队以3:2赢得比赛,则五局的比赛的结果为:甲甲乙乙甲，（表示第一局甲胜，第二局甲胜,第三局乙胜,第四局乙胜,第五局甲胜,以下类同）甲乙甲乙甲，甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，乙乙甲甲甲，共6种结果，其中甲队输掉的两局恰好相邻的结果有3种,甲队输掉的两局恰好相邻的概率是.∴3162p ==故选:C.7．【正确答案】D【详解】由题可得圆圆心为，半径为2，22(2)(3)4-+-=x y ()2,3r =设到距离为d ，因直线被圆所截弦长为，3y kx =+()2,33y kx =+l =则，1l d ===⇒=则22214131d k k k k =⇒=+⇒=⇒=故选：D8．【正确答案】A【详解】设椭圆方程为 ，双曲线方程为()2211221110x y a b a b +=>>，焦距为2c ,()2222222210,0x y a b a b -=>>(0)c >根据焦点三角形的面积公式可得即 ，2221tan60,tan60b b ︒=︒22123b b =又 ，，2221122222b a c b c a ⎧=-⎨=-⎩()2222123a c c a ∴-=-，，即 ，2221234a a c ∴+=22122234a a c c ∴+=2212314e e +=因为点到中心距离为，()12,M e eO d =又因为()2222211222221212331111444e e ee e e e e ⎛⎫++⨯=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当且 ，即22212212344e ee e =2212314e e +=22e=21e =所以.d =≥=故选：A.9．【正确答案】BCD【详解】对于选项A ，当时，数列是常数列，不满足等比数列的定义，0k ={}n ka 0,0,0...故A 错；对于选项B ，，所以，故B 正确；()1111111nn n n a q a aS q A q B qq q -==-⋅=⋅+---0A B +=对于选项C ，，221212111()n nn n n n n T a a a a q q q a q --=⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅ 由于有最小值，且，所以有最大值，故有最大值，2112n n a ->，01q <<22()n nq -221()n n n a q -⋅故C 正确；对于D ，由C 可知，所以，212211()nn n n n n T a q a q --⎛⎫=⋅=⋅⎪⎝⎭121n a q -=因为（常数），所以数列是等比数列，故D 正确.1212121nn a q qa q-==故选：BCD.10．【正确答案】ACD【详解】对于AB ，若，则，2ω=π()2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，得，，所以关于直线对称，故A ππ2π32x k -=+Z k ∈5ππ122x k =+Z k ∈()f x 5:π12l x =正确；令，得，，所以关于，中心对称，故π2π3x k -=Z k ∈ππ62k x =+Z k ∈()f x ππ,162k ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈B 错误；对于CD ，当时，，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦3333ππππx ωω-≤-≤-若在上有且仅有4个根，所以，解得，故C ()1f x =π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦3433ππππω≤-<1013ω≤<正确；若在上单调，则，解得，故D 正确；()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦3332ππππω-<-≤502ω<≤故选：ACD.11．【正确答案】ABD【详解】显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，而，l l ,02p x my m =-≠(,0)2p F 由消去得，，222p x my y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩x 2220y mpy p -+=22244m p p ∆=-对于B ，由，解得，则，即与抛物线相切时，，B 正确；0∆=1m =±1k =±l C 1k =±当时，，设，则，0∆>21m >1122()A x y B x y ,,(,)212122,y y mp y y p +==直线的斜率分别为,FA FB 11221212,22FA FB y y y y k k pp my p my p x x ====----对于A ，，A 正确；22121212122()220()()()()FA FBmy y p y y mp mp k k my p my p my p my p -+-+===----对于C ，，()2122222222212121121FA FBy y p k k m y y mp y y p m p m p p m ====--++-+-解得，则，C错误；m =k =对于D，2112()()()FA FBp y y k k my p my p --==--，==211FAFB k k m =-则，1tan ||||,tan 1FA FB FA FB k k k k mθα-====+若，则，解得，即存在直线，使得，D 正确.αθ=1m =m =l αθ=故选：ABD12．【正确答案】1【详解】定义域为，又是奇函数，所以，解得()22x xf x a -=⋅-R ()f x ()010f a =-=；1a =当时，，，故是奇函数.1a =()22x xf x -=-()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-()f x 故1.13．【正确答案】76【详解】由题意得数列的前13项和为{}n a ，()()()()1311222444888161676S =++++++++++++=故答案为.7614．【正确答案【详解】延长EF ，交于G 点，11B A 因，则G ，又，，G EF EF ∈⊂αα∈1C α∈则，则与交点为P .1GC ⊂α1GC 11A D 连接BP ，因，则直线与所成角等于（该角为锐角）.11//CD BA BP 1CD 1PBA ∠因点，分别是，的中点，则.E F AB 1AA 111AEF A GF AE A G ≅⇒== 又，则.111D PC A PG 111111112A P A G A P PD D C ==⇒=又由题可得.1A B =3PB ==则11cos A B PBA PB ∠==故15．【正确答案】(1)π6【详解】（1）因为，a bc -=所以,()()()c c a b a b =+-即,即222a b c =+cos A =因为，所以.()0,πA ∈π6A =（2）.()2sin sin 1cos 1cos 1cos cos sin sin A B C A B A B A B=+=-+=-+ 所以，从而，()cos 1A B -=π6A B ==所以，2π3C =因为外接圆半径为，所以外接圆直径为，ABC V 2R =ABC V 24R =由正弦定理得，24sin sin sin a bcR A BC ====所以114sin 42,4sin 42,4sin 422a A b B c C ==⨯===⨯====因为的角平分线为，所以，所以BAC ∠AD 15CAD ∠=︒45CDA ∠=︒在中，由正弦定理得，即ACD sin sin AD AC C ADC=∠=AD =16．【正确答案】(1)证明见解析(3)共面，理由见解析【详解】（1）因为平面，平面，所以，PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又因为，，平面，AD CD ⊥PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 所以平面，因为平面，CD ⊥PAD AE ⊂PAD 所以.AE CD ⊥（2）过作的垂线交于点，因为平面，所以，A AD BC M PA ⊥ABCD ,PA AM PA AD ⊥⊥如图建立空间直角坐标系，Axyz则,，()()()0,0,0,2,1,0,2,2,0A B C -()()0,2,0,0,0,2D P 因为为的中点，所以，E PD ()0,1,1E 所以,，()()0,1,1,2,2,2AE PC ==- ()0,0,2AP =所以，1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设平面的法向量为，AEF n =(x,y,z )则即，0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0,2240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩令,则，于是，1z =1,1y x =-=-()1,1,1n =--又因为平面的法向量为，PAE ()1,0,0p = 所以，·cos ,n pn p n p ==由题知，二面角为锐二面角，所以其余弦值为F AE P --（3），，，四点共面，理由如下：A G E F 因为点在上，且，，G PB 23PG PB =()2,1,2PB =-- 所以，2424422,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，由（2）知平面的法向量，AEF ()1,1,1n =-- 所以，4220333AG n ⋅=-++= 又因为点平面，所以直线在平面内，A ∈AEF AG AEF 所以，，，四点共面.A G E F 17．【正确答案】(1)方案A ：；方案B.12160,126, 1.160n n a a a a +===+121960,1006, 1.11040n n a a a a n +===--(2)方案A ：万元；方案B ：万元.9581126【详解】（1）方案A ：，，11004060a =-=()21110%10040126a a =++-=由题意得，.()1110%10040 1.160n n n a a a +=++-=+方案B ：，，1100040960a =-=()()21110%40101006a a =+-+=由题意得，第年发放的奖金为，n ()401011030n n +-=+故.()()1110%10130 1.11040n n n a a n a n +⎡⎤=+-++=--⎣⎦（2）方案A ：∵，1 1.160n n a a +=+∴设，即，故，()1 1.1n n a k a k ++=+1 1.10.1n n a a k +=+0.160,600k k ==∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，{}600n a +1600660a += 1.1∴，解得.910600660 1.1a +=´10958a »方案B ：∵，1 1.11040n n a a n +=--∴设，即，()()11 1.1n n a b n c a bn c ++++=++1 1.10.10.1n n a a bn c b +=++-由得，，0.1100.140b c b =-⎧⎨-=-⎩1001400b c =-⎧⎨=-⎩∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，{}1001400n a n --11001400540a --=- 1.1∴，解得.91010001400540 1.1a --=-´101126a »综上，按方案A 连续运作10年后，基金账户上资金数额约为万元；按方案B 连958续运作10年后，基金账户上资金数额约为万元.112618．【正确答案】(1)，证明见解析；1213b b ，==(2)，；12122121222n n nn k a n k ++⎧-=-⎪=⎨⎪-=⎩，，N k *∈(3)不存在，理由见解析.【详解】（1）由题.111223212213，，b a a a b a a ======+=注意到，因为奇数，则，2111n n b a -+=+21n -212212n n a a --+=+因为偶数，则，22n -()()22232312222121n n n n a a a b ----+=+=+=+则为以为首项，公比为2的等比数列；{}1n b +112b +=（2）由（1）可知，当为奇数时，，故n 212111221n nn n n b a a --+=+=⇒=-1221n na +=-当为偶数时，，n 111221222122n nn n a a -++-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭综上，，；12122121222n n nn k a n k ++⎧-=-⎪=⎨⎪-=⎩，，N k *∈（3）由（2），，，.1222k k a +=-21121k k a ++=-22222k k a ++=-若，，成等比数列，则2k a 21k a +22k a +()()()2112212222k k k +++-=--等式左边为奇数，右边为偶数，故该等式不成立，则不存在正整数使，，成等比数列.k 2k a 21k a +22k a +19．【正确答案】(1)2212x y +=(2)①证明见解析，；②112-【详解】（1）取的中点记为，连结.2MF N 1NF 在中，，所以，12Rt FNF 12212,cos F FNF F =∠=21NF =则1212222a MF MF F F NF =+=+=即，所以椭圆方程为1,1a c b ==∴=2212x y +=（2）①直线与；1:OP y x k =M ()2222201001020r x r k x y k y r ⇔--+-=直线与相切，同理有；2:OQ y k x =M ()2222202002020xr k x y k y r --+-=则是关于的方程的两根，12k k ､x ()22222000020x r x x y x y r --+-=由韦达定理知22002201222220002111232322233x x y r k k x r x x ---+-====----（注：上式中，先由消去的，再代入）220012x y +=0y 223r=②由①问知，如图，设，2112k k =-()()1122,,,P x y Q x y 由，1112212211122112y k x x OP x k y =⎧⎪⇒=⇒===⎨++=⎪⎩同理可得，OQ ===()12OPMQ OPM OQMS S S rOP OQ =+=+=，()222212621k ⎛⎫≤+=+ ⎪⎝⎭，当.∴=1k =()max1OPMQS=。
