理论力学12—2动量矩定理

动量矩定理

蜻蜓、飞机和直升机

儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。

飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。蜻蜓就有这个本事。直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。

直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。

直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。

直升机旋翼的种类

为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：

01

单旋翼直升机

顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。

第十二章动量定理

1质系动量的计算质系的动量或

式中m

为整个质系的质量；对于刚体系常用计算质系的动量，式中vCi为第

i个刚体质心的速度。

2.质系动量定理质系动量定理建立了质系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即

★质系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。

★质系动量守恒定律：当作用于质系的外力系的主矢量，质系动量守恒，即=

常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质系的动量在此轴上的投影守恒，如，则常量。

3.质心运动定理质系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即对于刚体系可表示为

式中aCi表示第i个刚体质心的加速度。

4.变质量质点运动微分方程

5.应用质系动量定理一般可解决质系动力学的两类问题

一类是已知质系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，

求作用在质系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质系上的外力系或外力系在

某一坐标轴上的投影，求质系的动量变化率或质心的加速度。

动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关

系，称为质系的普遍定理。质系动量定理建立了质系动量的变化率与作用于质系上外力系的

主矢量之间的关系。质系动量定理和质心运动定理也是流体动力学及变质量质系动力学的理

论基础。

§12-1质系动量定理

如图12-1所示质系由个质点组成，第i个质点的质量为，速度为vi，作用于质点上的外力记为，内力记为

。牛顿第二定律可表示为其中，称为质点的动量。对于整个系统，求上述个方程的矢量和，得更换求和及求导次序，得式中（12-1）为质系内各质点动量的主矢量，称为质系的动量。为外力的主矢量，

为内力的主矢量，根据牛顿第三定律，内力总是大小相等、方向相反，成对的出现在质系内部，所以，于是得

(12-2)

上式称为质系动量定理，即：质系动量p对时间t的变化率等于作用在质系上外力系的主

矢量，而与内力系无关。在应用动量定理时，应取矢量式（12-2）的投影形式，如动量定理的直角坐标投影式为

力学复习

选择：

力系简化最后结果（平面，空间）

牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动）

平面运动刚体上的点的运动

平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里西算法）

质心运动定理（投影法x，y，z，轨迹）

惯性力系想一点简化

计算：

刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次）

平面运动

速度的综合计算

动能定理应用

动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）

注意：

1.功的单位是mWN 2.注意检验fsNFfF,判断是否是静摩擦，当为临界状态时

maxfssNFFfF，纯滚动为静摩擦SF,且只能根据平衡方程解出，与正压力无关。动摩擦fNFfF。

3. 动静法中惯性力简化

()=-ICiiCICcICcFmacFmacMJ质心过点到底惯性力绕点的惯性力偶二维刚体

4.eciiFmama，

22d,diicccmrrramt

eF=0，则xv=常数=0（初始静止）则cx=常数=坐标系中所在位置，且cS为直线。（一直运动求力） 5.平面运动刚体动能

*222121122cccJTmvJ瞬心法：柯里希法：

6.平面运动速度分析方法：

a,基点法：,BABABAvvvvAB，以Bv为对角线的平行四边形

b,速度投影法：coscosBBAAvv,,BA是以AB为基准。

c,速度瞬心法：***,*,0,0ABccvvBCvaAC

7.平面运动加速度分析：

A.基点法：nBABABAaaaa，其中，多数情况下nAAAaaa，nBBBaaa

注：当牵连运动为转动时，有科氏加速度ka，2krav

大小：2krav，方向：rv向方向转90即可。 8.牵连运动：运动参考系（动系）相对于固定参考系（定系——默认地球）的运动。

定轴转动刚体上一点的速度和加速度：（角量与线量的关系）

1．点的运动

 矢量法 22 , , )(dtrddtvdadtrdvtrr 点的合成运动

reavvvreaaaa（牵连运动为平动时）

kreaaaaa（牵连运动为转动时）

其中， ),sin(2 , 2rerekrekvvava RvRa2Ran全加速度：

2),(natg轮系的传动比： nnnniZZRRnni13221111221212112 , , ABvvvvBABAAB为图形角速度 22 , , )(dtddtddtdtf

质心运动定理

Mac = ∑F ≡ R

2. 动量矩定理：

平行移轴定理

刚体平面运动微分方程

三．动能定理

平面运动刚体的动能：

四． 达朗伯原理

对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：

质点系相对质心的动量矩定理 )()( )(eCeiCrCMFmdtLdABaBA2ABanBA分别为图形的角速度，角加速度 nBABAABaaaaWTT12质点系动能定理的积分形式 )()()(eOeiOOMFmdtLd 一质点系对固定点的动量矩定理

)(22)(

ezzezzMdtdIMI或—刚体定轴转动微分方程

2222221 21)(2121CCCIvMdMI2'mdIIzCz)( , )(eCCCFmIFam()ddeipFt

用动静法求解动力学问题时，对平面任意力系，刚体平面运动可分解为