2015年数学高考专项训练-数列

2015年数学高考专项训练－数列

1. 等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( )

A.8 B.10 C.12 D.14

2. 设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( )

A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0

3. 对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )

A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列

4. 等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于( )

A.6 B.5 C.4 D.3

5. 设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为

.

6. 数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .

7. 若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20

= .

8. 在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .

9. 若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.

10. 设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.

(1)求a1,a2,a3的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

11. 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

12. 设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.

(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;

(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值;

(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.

13. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;

(2)证明++…+<23.

14. 已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.

15.已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式;

(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.

16. 设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).

(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;

(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.

17. 已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=((n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.

(1)求an与bn;

(2)设cn=-(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.

(i)求Sn;

(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.

18. 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.

19. 已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.

(1)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;

(2)若p=,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.

参考答案及其解析

1. C 2. C 3. D 4. C

5. 答案 - 6. 答案1 7. 答案50 8. 答案 4 9. 答案 8

10. 解析 (1)依题有

解得a1=3,a2=5,a3=7.

(2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①

∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②

①-②并整理得an+1=.

由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.

当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;

假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.

则当n=k+1时,ak+1=

=

=2k+3=2(k+1)+1,

即当n=k+1时,结论成立.

综上,∀n∈N*,an=2n+1.

11. 解析 (1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数.

又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,

于是10+3d≥0,10+4d≤0.

解得-≤d≤-.

因此d=-3.

数列{an}的通项公式为an=13-3n.(6分) (2)bn==.(8分)

于是Tn=b1+b2+…+bn

=

==.(12分)

12. 解析 (1)证明:由已知,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.

所以{an}是“H数列”.

(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.

当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.

因此d的值为-1.

(3)证明:设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).

令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(n∈N*),

下证{bn}是“H数列”.

设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得Tn=bm.所以{bn}是“H数列”.

同理可证{cn}也是“H数列”.

所以,对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*).

13. 解析 (1)由an+1=3an+1得an+1+=3. 又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.

an+=,因此{an}的通项公式为an=.

(2)由(1)知=.

因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.

于是++…+≤1++…+=<.

所以++…+<.

14. 解析 (1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,

S4=4a1+×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),

解得a1=1,

所以an=2n-1.

(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1

=(-1)n-1.

当n为偶数时,

Tn=-+…+- =1-

=.

当n为奇数时,

Tn=-+…-+++=1+=.

所以Tn=

15. 解析 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),

所以-=2,即cn+1-cn=2.

所以数列{cn}是以1为首项,2为公差的等差数列,

故cn=2n-1.

(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,

于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,

3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,

相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,

所以Sn=(n-1)3n+1.

16. 解析 (1)由已知,b7=,b8==4b7,有=4×=.

解得d=a8-a7=2.

所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.

(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为

y-=(ln 2)(x-a2), 它在x轴上的截距为a2-.

由题意,a2-=2-,

解得a2=2.

所以d=a2-a1=1.

从而an=n,bn=2n.

所以Tn=+++…++,

2Tn=+++…+.

因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.

所以,Tn=.

17. 解析 (1)由题意a1a2a3…an=(,b3-b2=6,

知a3=(=8.

又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N*),

所以,a1a2a3…an==()n(n+1).

故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N*).

(2)(i)由(1)知cn=-=-(n∈N*),

所以Sn=-(n∈N*).

(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;