第三章：中值定理与导数的应用§3.1 中值定理本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo 定理：Rollo 定理：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ）f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0.证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时，又有二种情况： （1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。
（2）M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对m ≠f(a)同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点得最大值。
下面来证明：f '(ξ)=0首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知：f '(ξ)=ξξξξξ--=--→→x M x f x f x f x x )(lim)()(lim…….(*)因为M 为最大值，⇒对x ∀有 f(x) ≤M ⇒f(x)－M ≤0, 当x>ξ时，有ξξξ--=--x M x f x f x f )()()(≤0当x<ξ时，有ξξξ--=--x M x f x f x f )()()(≥0。
又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即)()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有0)()(lim)()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x 和0)()(lim)()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x 0)(='⇒ξf 。
