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1.3.1单调性与最大最小值(1)

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教学目标
1．使学生使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．
2．使学生掌握证明函数单调性的方法和步骤，能用单调性解决一些简单问题。

培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．
3经历直观到抽象、有图形语言到数学语言的自主探究活动，体验数学概念的形成，领会数形结合的思想。

培养学生分析问题、认识问题的能力． 教学重点与难点
教学重点：函数单调性的概念的．判断及证明
教学难点：归纳函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。

引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢 ☆ 阅读指导
阅读教材P27-P30的内容，回答下列问题
（1） 什么是函数的性质？请你根据自己的理解举例？ （2） 你能描述一下2,x y x y ==的升降规律吗？
（3） 函数在某个区间递增（递减）在图形如何表现，自变量变化时，函数值如何变化？如
何用准确的数学符号语言去刻画？
（4） 如何定义增函数（减函数），增区间（减区间） （5） 增减函数的定义有没有其他等价形式？ （6） 如何证明函数在某区间的增减性？ ☆学习探究
讨论1：分别作出函数x
y x y x y 1
,,22==+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什
么变化规律？
问题1：随x 的增大，函数值怎样变化？当x 1>x 2时，f (x 1)与f (x 2)的大小关系怎样？
问题2：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
问题3：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
☆ 归纳探索，形成概念
探究：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？
增函数定义：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，
x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）.
主备人： 李春妮 审核人：
王汉华
审批人：
编号： 执教人：
使用时间：
学生姓名：
班级：
小组
试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义 减函数的定义：
思考：①图象如何表示单调增、单调减？ ②增减函数的定义有没有其他等价形式
☆ 运用巩固
例题1如图，定义在[-5,5]上的f (x )，根据图象说出单调区间及单调性.
思考：定义域与单调区间有什么关系？ 例题2物理学中的玻意耳定律k
p V
=
（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明.
☆自主探究
反比例函数x
y 1
=的图像，（1）定义域是什么？（2）它在定义域上的单调性如何？
思考：
①函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，能不能认为函数在B A 上是增（或减）函数．你能举例说明吗？ ②所有函数是不是都具有单调性？
小结归纳，提高认识
① 通过增减函数概念的形成过程，你学到了什么？
② 增减函数的图形有什么特点？如何根据图形指出单调区间？ ③ 证明单调性的基本方法和步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论
☆合作探究，掌握证法，适当延展 1.指出下列函数的单调区间及单调性
（1）2x y -= （2）()||f x x =； （3）122
+--=x x y
2．画出函数9696)(22++++-=x x x x x f 的图象，并指出函数)(x f 的单调区间
3．讨论1-)(3+=x x f 在R 上单调性，并证明
1.定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等实数x,y 总有
0)
()(<--y
x y f x f 成立，则必有 ( )
A..函数在R 上是增函数
B. 函数在R 上是减函数
C. B. 函数在R 上是常函数
D. 函数在R 上单调性不确定 2. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ） A. (,1]-∞ B. [1,)+∞ C. R D.不存在
3. 如果函数()f x kx b =+在 R 上单调递减，则（ ） A. 0k > B. 0k < C. 0b > D. 0b < 4设f(x)是()∞+∞，-上的减函数，则（）
A ．)2()(a f a f >
B )()(2a f a f <．
C ．)()(2a f a a f <+
D ．)()1(2a f a f <+ 5. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ） A ．2y x =- B ．2y x
= C ．||y x =
D ．2y x =-
6. 函数x y -=的单调性是 .
7. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是 8.指出下列函数的单调区间及单调性. （1）3)(+=x x f ； （2）43)(2--=x x x f
（3）2
3
)(-=
x x f （4）32)(2-+=x x x f 9.证明函数x
x x f 2
)(+=在),2(+∞上是增函数．。

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1.3.1 单调性与最大(小)值—第一课时单调性

1.3.1 单调性与最大(小)值—第一课时单调性


练习:
利用刚才 的方法描 述一下左 侧四个函 数图象的 “上升” “下降” 的 情况.
思考
如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”? 有同学认为可以这样描述:在区间(0,+∞)上, x1＜x2时, 有f(x1)＜f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的 说法对吗?
练习:
例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说出函数 的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是 增函数.
第一课时:单调性 :
教学目标:
知识教学目标： 知识教学目标： 1.理解函数的单调性概念 理解函数的单调性概念. 理解函数的单调性概念 2.会判定函数的单调性 会判定函数的单调性. 会判定函数的单调性 能力训练目标： 能力训练目标： 1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力 培养学生利用数学概念进行判断、 培养学生利用数学概念进行判断 推理的能力. 2.加强化归转化能力的训练 加强化归转化能力的训练. 加强化归转化能力的训练 情感渗透目标： 情感渗透目标： 1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规 通过新概念的引进过程培养学生探索问题、 通过新概念的引进过程培养学生探索问题 归纳概括的能力. 律、归纳概括的能力 2.培养学生辨证思维、求异思维等能力 培养学生辨证思维、 培养学生辨证思维 求异思维等能力.
例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定 量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之. 证明: 1 2 1.设(自变量); 2.比(函数值); 3.判(函数值大小关系); 4.结(论) 3 4
函数的基本性质

函数的基本性质

f(x1) f(x1) f(x2) f(x2) x1 x2o x2 x1 x
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间 上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域 为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1， 则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝ ， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数， 当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增 函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若 上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 的． ________ 取值 作差 ， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形 ，________ 定号 ，________. 结论 ________
函数的基本性质-1.3.1单调性与最大(小)值-学生用

函数的基本性质-1.3.1单调性与最大(小)值-学生用

三人行学堂学科老师个性化教案教师 陈永福学生姓名上课日期 上课时段 年 月 日 到 学科数学年级高一（上） 必修一类型新课讲解□ 复习课讲解□教学目标教学内容 单调性与最大（小）值学习问题解决1、函数单调性的证明及判断方法2、由函数的单调性求参数的取值范围3、由函数的单调性解不等式4、求函数的最大（小）值知识清单1、增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f （x ）的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的 两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 <x 2时结论 那么就说函数f(x)在区间D 上是 函数 那么就说函数f(x)在区间D 上是函数图示2、如果函数)(x f y =在区间D 上是 函数或 函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数)(x f y =的 。

3、函数的最大（小）值一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 （1）对于任意的I x ∈，都有 （1）对于任意的I x ∈，都有 （2）存在I x ∈0，使得 （2）存在I x ∈0，使得 那么就称M 是函数)(x f y =的最大值 那么就称M 是函数)(x f y =的最小值方法探究一、函数单调性的证明及判断方法 方法点拨1、函数单调性的证明：现阶段只能用定义证明，其步骤为（1）取值：设x 1，x 2为该区间内任意两个自变量的值，且x 1 <x 2；（2）作差变形：作差f(x 1)-f(x 2)，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）作结论：根据定义作出结论；其中最关键的步骤为作差变形，在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方式，直到符号判断水到渠成。

2、函数单调性的判断方法（1）图像法：先作出函数图象，利用图象直观判断函数单调性；（2）直接法：就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接判断它们单调性。

单调性与最大(小)值说课稿

单调性与最大(小)值说课稿

1.3.1单调性与最大（小）值一、教材1、教材的地位和作用本节课主要学习内容是函数的单调性的概念，判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性以及通过函数的单调性求函数的最大最小值，它是在学生学习了函数的表示的基础上来进行的，为以后学习指、对、幂函数的做知识准备。

因此本节课在知识结构上起了承上启下的作用。

函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。

2、教学目标根据《课程标准》的要求和学生的心理认知特点，确定了以下目标：（1）知识与技能：理解函数的单调性和最大（小）值的定义，学会函数单调性的判断和证明以及最大小值的求解。

通过对函数单调性定义的探究，培养学生观察、归纳的能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

（2）过程与方法：培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质。

（3）情感态度与价值观: 通过函数单调性与最大（小）值学习解决学生身边实际具体事情，使学生感受到数学的魅力，培养数学的敏感性，激发学生学习数学的兴趣。

3、教学重点、难点及确定依据根据《课程标准》的规定、上述教材的分析和学生已有知识的储备，本课的重点、难点如下：重点：函数的单调性和最大（小）值的定义、函数单调性的判断和证明，以及函数的单调性求函数的最大（小）值。

难点：函数单调性的理解和函数单调性的证明。

二、学情学习的对象是高一学生，他们已具备一定的数学基础，逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展。

高中生好奇心强，渴望明白原理、知道方法，同时他们也希望得到平等的交流研讨，厌烦空洞的说教。

三、教法学法1、教法根据本节课的教学目标以及学生的实际情况，为了更有效地突出重点、突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以启发式引导法为主，问答式教学法、反馈式评价法为辅。

在教学中，要注重展开探索过程，充分利用好函数图象的直观性，培养学生数形结合的思想，尽可能多的挖掘学生潜力，使师生、生生配合好。